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sábado, 17 de setembro de 2016

Inversão de reta em relação à circunferência

Estudamos na escola que há três posições relativas entre uma reta e uma circunferência no plano:
    • A reta é externa à circunferência;
    • A reta é tangente à circunferência; e
    • A reta é secante à circunferência 
    Em se tratando de inversão na circunferência, há mais uma posição entre reta e circunferência que devemos considerar:
    • A reta passa pelo centro de inversão
    Pois, apenas nesta última, um ponto pertencente à reta tem seu inverso, em relação à circunferência de inversão, pertencente a mesma reta.


    Teorema 1 - Considere, no plano euclidiano $\mathbb{E}$, uma circunferência de inversão $\alpha$ com centro num ponto $O$ e raio $r>0$ e uma reta $s$. Seja $s'$ o inverso da reta $s$.
    1. se $s$ não passa pelo centro de inversão, ponto $O$, então $s'$ é uma circunferência que passa pelo centro de inversão;
    2. se $s$ passa pelo centro de inversão, ponto $O$, então $s'=s$.
     DEMONSTRAÇÃO

    I. Sendo $s$ uma reta que não intersecta o ponto $O$, temos que considerar as três primeiras posições relativas entre uma reta e uma circunferência no mesmo plano, mencionadas no início deste post.

    Vamos analisar quando $s$ é externa a $\alpha$. Observe a Figura 1.
    Figura 1: Reta $s$ externa à circunferência $\alpha$
    $A$ é um ponto qualquer da reta $s$ e $A'$ é o seu inverso. $P\in s$ é tal que $\overline{OP}\perp s$ e $P'$ é o inversos de $P$. Temos

    $$\overline{OA}\cdot\overline{OA'}=\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2\Rightarrow\dfrac{\overline{OA}}{\overline{OP}}=\dfrac{\overline{OP'}}{\overline{OA'}}$$

    Vemos ainda que

    $$\angle AOP\cong \angle A'OP'\text{, ângulo comum}$$

    Pelo caso de semelhança de triângulos lado-ângulo-lado (LAL), os triângulo $\triangle_{AOP}$ e $\triangle_{A'OP'}$ são semelhantes. Assim, $\angle APO\cong\angle OA'P'\cong 90^\circ$.

    Por arco capaz, verificamos que o lugar geométrico do ponto $A'$ é uma circunferência que passa por $O$ ($A'=O$ se $A=\Omega$, ver Definição 4 - Inversão na circunferência). Portanto, $s'$ é uma circunferência que passa no centro de inversão.

    De forma análoga, veremos que se $s$ é uma reta tangente à $\alpha$ no ponto $P$, teremos que $P=P'$ e $s'$ é uma circunferência que passa por $O$ e passa por $P$. E se $s$ é uma reta que intersecta $\alpha$ em dois pontos $M$ e $N$, então $s'$ é uma circunferência que passa por $O, M$ e $N$, ver Figura 2.

    Reta $s$ é tangente à $\alpha$
    Figura 2: Inversão da Reta $s$ tangente ou secante à $\alpha$
    II. Sendo $A\in s$ e $A'$ pontos inversos, pela definição de ponto inverso (ver Definição 1 - Inversão na circunferência) os pontos $O, A$ e $A'$ são colineares, portanto, o ponto $A'\in s$, então o lugar o geométrico de $A'$ é a própria reta $s$, assim, $s'=s$.
    Figura 3: Reta $s$ passa no centro de inversão
    $\square$

    Na Construção 1, é possível observar a inversão da reta $s$ em relação à circunferência $\alpha$.

    Arraste os pontos $M$ e $N$ para mover a reta $s$ e deslize o ponto $A$ para que $A'$ descreva a circunferência $s'$ que é o inverso de $s$.


    Construção 1: Inversão da reta $s$ em relação à circunferência $\alpha$