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sexta-feira, 8 de setembro de 2017

Elipse como sendo o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a uma circunferência $d$, com centro $C$ e raio $r$, e que passa por um ponto $F\neq C$ interno à $d$

Nesta postagem, vamos responder a seguinte pergunta: Qual o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a uma circunferência $d$, com centro $C$ e raio $r$, e que passa por um ponto $F\neq C$ interno à $d$? Na postagem Associando pontos da circunferência a uma elipse ou hipérbole, apresenta uma construção que sugere que a resposta da nossa pergunta é uma elipse. Assim, vamos provar a nossa tese.

segunda-feira, 17 de julho de 2017

Utilizando uma circunferência para construir uma hipérbole

Vamos fazer um estudo sobre a hipérbole que pode ser obtida a partida da construção da postagem no link http://www.benditamatematica.com/2017/07/associando-pontos-da-circunferencia-uma.html.

A definição mais usual para hipérbole é
Sejam $F_1$ e $F_2$ dois pontos distintos do planos e $2c$ é a distância entre eles. A hipérbole é o lugar geométrico do ponto $P$ tal que a diferença das distância entre $P$ e cada um dos focos é $2a$, com $0 < a < c$ 


Na Construção 1, vamos considerar que a circunferência $d$ tem raio $p$, ou seja, $\overline{CP_1}=p$, a distância entre $P_1$ e $P$ será $m$, como $P$ é equidistante de $P_1$ e $F$, então, $\overline{P_1P}=\overline{PF}=m$, ver Figura 1.

Figura 1
Assim, temos:


$$\left\{\begin{array}{l}

\overline{CP}=p+m \\

\overline{PF}=m

\end{array}\right.\Rightarrow \left|\overline{CP}-\overline{PF}\right|=\left|p+m-m\right|=p$$

Deste modo, verificamos que quando $F$ é externo a $d$, o lugar geométrico de $P$ é uma hipérbole com foco $C$ e $F$. Na Figura 2, os pontos $A_1$ e $A_2$ são os vértices da parábola, assim $\overline{A_1A_2}$ é o eixo focal, $A_1$ é associado ao ponto $A'_1$ e $A_2$ é associado ao ponto $A'_2$. Sendo $p$ o raio de $d$ e $n$ a distância entre $A_2$ e $F$, vamos determinar a medida $2a$ do eixo focal.
Figura 2
A distância entre $A_1$ e $F$ é
$$d(A'_1,F)=2p+2n$$
Como $A_1$ é ponto médio de $A'_1$ e $F$, então
$$d(A_1,F)=\frac{d(A'_1,F)}{2}=\frac{2p+2n}{2}=p+n$$
Veremos que a distância entre os vértices da hipérbole é igual ao raio da circunferência $d$
$$d(A_1,A_2)=d(A_1,F)-d(A_2,F)=p+n-n=p$$
Como $A_2$ é o ponto médio entre $A'_2$ e $F$, então, a distância, 2c, entre os focos $C$ e $F$ é
$$d(C,F)=d(C,A'_2)+d(A'_2,F)=p+2n$$

Na Figura 3, $M$ é o centro da hipérbole e $\overline{B_1B_2}$ é o eixo não focal. Então, $\overline{MA_2}=\dfrac{p}{2}$ e $\overline{B_1A_2}=\dfrac{p+2n}{2}$. Vamos determina a medida $2b$ do eixo não focal utilizando a relação
$$c^2=a^2+b^2\Rightarrow\left( \dfrac{p+2n}{2} \right)^2=\left( \dfrac{p}{2} \right)^2+b^2 \Rightarrow b=\dfrac{\sqrt{n\left( 2p+n \right)}}{2}\Rightarrow \overline{B_1B_2}=2b=\sqrt{n\left( 2p+n \right)}$$
Figura 3
Sejam as reta $t_1$ e $t_2$ tangentes à circunferência $d$ nos pontos $P_1$ e $P_2$, respectivamente, e passam por $F$. Neste caso, não há circunferência que tangencie $d$ em $P_1$ ou $P_2$ e passe por $F$. Desta forma, vamos mostrar que as mediatrizes de $\overline{P_1F}$ e $\overline{P_2F}$ são as assíntotas da parábola.

Sabemos que as assíntotas têm coeficientes angulares $\dfrac{b}{a}$ e $-\dfrac{b}{a}$ e passa pelo centro da hipérbole. Assim, considere a Figura 4.
Figura 4
A circunferência $e$ tem centro em $M$ e raio $c=\overline{MF}=\dfrac{p+2n}{2}$, $P_1$ pertence a interseção de $d$ e $e$ e $t_1=\overline{P_1F}$. 

O triângulo $\triangle CP_1F$ é retângulo em $P_1$, pois $C\widehat{P_1}F=90^\circ$ porque é o ângulo do arco capaz da diagonal  de $e$. Como $\overline{CP_1}=2a$ e $\overline{CF}=2c$, então $\overline{P_1F}=2b=\sqrt{n\left( 20+n \right)}$, por causa da relação $c^2=a^2+b^2$. Então, temos $$tg \left(C\widehat{P_1}F\right)=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{n\left( 20+n \right)}}{p}$$
A mediatriz $s$ de $P_1$ e $F$ é perpendicular a $\overline{P_1F}$, então, $s // \overline{CP_1}$ e, como $M$ é equidistante de $P_1$ e $F$, então $s$ passa por $M$, logo $s$ é assíntota da hipérbole. De forma análoga, podemos mostrar que a mediatriz entre entre $F$ e $P_2$, o outro ponto de interseção entre $d$ e $e$, é a outra assíntota da parábola, ver Figura 5.
Figura 5

domingo, 16 de julho de 2017

Associando pontos da circunferência a uma elipse ou hipérbole

Na Revista do Professor de Matemática Nº 66 tem um artigo com o título Obtendo as cônicas com dobraduras que apresenta construções, que podem ser feitas no software de Geometria Dinâmica. Segue os passos da construção que fiz no Geogebra, os comandos apresentados em cada um dos passos deverão ser colocados no Campo Entrada, no Geogebra.

  1. Coloque três pontos distintos $C,F$ e $R$;
  2. Insira o comando "d=Círculo(C, R)", criando assim a circunferência $d$ com centro em $C$ e raio $\overline{CR}$;
  3. Coloque o ponto $P_1$ na circunferência $d$ utilizando o comando "P_1=Ponto(d)";
  4. Trace a reta $r=\overline{CP_1}$ com o comando "r=reta(C,P_1)";
  5. Trace a mediatriz $s$ dos pontos $P-1$ e $F$ com o comando "s=Mediatriz(P_1, F)";
  6. Marque o ponto $P\in r\cap s$ utilizando o comando "P=Interseção(r, s)".
  7. Identifique o lugar geométrico $c$ do ponto $P$ através do comando "c=LugarGeométrico(P, P_1)".
A seguir, apresentamos a construção feita no Geogebra


Na Construção 1, mova o ponto $C$ para alterar a posição da circunferência $d$, movendo o ponto $R$ alterará o raio de $d$, movendo o ponto $F$ alterá a cônica e movendo o ponto $P_1$, moverá o ponto $P$.

Observe que se o ponto $F$ é externo à circunferência $d$, então, o lugar geométrico de $P$ sugere ser uma hipérbole com focos $C$ e $F$; e se $F$ é interno à $d$ e distinto de $C$, a construção sugere que o lugar geométrico de $P$ é uma elipse com focos $C$ e $F$.