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terça-feira, 28 de fevereiro de 2017

5 TRUQUES MATEMÁTICOS QUE VÃO EXPLODIR SUA MENTE

sexta-feira, 13 de janeiro de 2017

Arco triplo

Recordação

Encontramos em livros didáticos cálculos relacionados ao seno, cosseno e tangente com ângulos notáveis (30°, 45° e 60°), podendo encontrar o seno, cosseno e a tangente dos ângulos que são múltiplos de 15°, utilizando a fórmula das relações trigonométricas da soma e subtração de ângulos. Vamos recordar!

Considere dois ângulos, $\alpha, \beta\in [0°, 360°[$, assim
$$\begin{equation}\label{eqtan}
\mathrm{tg}(\alpha)=\dfrac{\mathrm{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)}
\end{equation}$$

$$\begin{equation}\label{eqrf}
\mathrm{sen}^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1
\end{equation}$$

$$\begin{equation}\label{eqsenosoma}\mathrm{sen}(\alpha +\beta)=\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\cos(\beta) +\cos(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta)\end{equation}$$

A partir da Fórmula $\ref{eqsenosoma}$ é possível demonstra que
$$\begin{equation}\label{eqsct}\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(\alpha-\beta) & = & \mathrm{sen}(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta) \\
\cos(\alpha\pm\beta) & = & \cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)\mp\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta) \\
\mathrm{tg}(\alpha\pm\beta) & = & \dfrac{\mathrm{tg}(\alpha)\pm\mathrm{tg}(\beta)}{1\mp\mathrm{tg}(\alpha)\cdot\mathrm{tg}(\beta)}
\end{array}\right.\end{equation}$$

Assim, para calcular $\cos 15°$, vamos tomar $15°=45°-30°$, e utilizando a fórmula $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta)$, onde $\alpha=45°$ e $\beta=30°$, temos:

$$\cos 15°=\cos(45°-30°)=\cos(45°)\cdot\cos(30°)+\mathrm{sen}(45°)\cdot\mathrm{sen}(30°)$$

Como $\cos(45°)=\mathrm{sen}(45°)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos(30°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $\mathrm{sen}(30°)=\dfrac{1}{2}$, temos

$$\cos 15°=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$$

Também podemos encontrar $\mathrm{sen}(15°)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ e $\mathrm{tg}(15°)=\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}$ usando as Fórmulas $\eqref{eqsct}$.

Podemos calcular o seno, cosseno e a tangente de $75°$ se tomarmos $75°=45°+30°$.

$$\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(75^\circ)& = & \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \\
\cos(75^\circ)&= & \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\mathrm{tg}(75^\circ)&= & 2+\sqrt{3}
\end{array}\right.$$

Através das Fórmulas $\eqref{eqsenosoma}$ e $\eqref{eqsct}$ é possível demonstrar as fórmulas do ângulo (arco) duplo se considerarmos $2\alpha=\alpha+\alpha$.

$$\begin{equation}\label{eqad}
\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(2\alpha) & = &2\cdot\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\cos(\alpha) \\
\cos(2\alpha)& = & \cos^2(\alpha)-\mathrm{sen}^2(\alpha) \\
\mathrm{tg}(2\alpha) & = & \dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\alpha)} {1-\mathrm{tg}^2(\alpha)}
\end{array}\right.
\end{equation}$$

Com as Fórmulas $\eqref{eqad}$ e $\eqref{eqrf}$, é possível demonstrar as fórmulas do ângulo (arco) metade, se considerarmos $2\alpha=\beta\Rightarrow\alpha=\dfrac{\beta}{2}$

$$\begin{equation}\label{eqam}
\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}\left( \dfrac{\beta}{2} \right ) & = & \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\beta)}{2}} \\
\cos\left( \dfrac{\beta}{2} \right )  & = &\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos(\beta)}{2}} \\
\mathrm{tg}\left( \dfrac{\beta}{2} \right )  & = & \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\beta)}{1+\cos(\beta)}}
\end{array}\right.
\end{equation}$$

Não demonstraremos as fórmulas acima, pois as demonstrações podem ser encontradas na internet e em livros didáticos de Matemática do Ensino Médio, a nossa recordação ficará limitada, apenas, em apresentar as fórmulas, pois serão necessárias para demonstrar a seguir.

Arco triplo

Vamos calcular $\mathrm{sen}(3\beta)$, para $\beta\in [0°,360°[$.

$$\mathrm{sen}(3\beta)=\mathrm{sen}(2\beta+\beta)=\mathrm{sen}(2\beta)\cdot\cos(\beta)+\cos(2\beta)\cdot\mathrm{sen}(\beta)=2\cdot\mathrm{sen}(\beta)\cdot\cos(\beta)\cdot\cos(\beta)+[\cos^2(\beta)-\mathrm{sen}^2(\beta)]\cdot\mathrm{sen}(\beta)\Rightarrow\mathrm{sen}(3\beta)=3\cdot\mathrm{sen}(\beta)\cos^2(\beta)-\mathrm{sen}^3(\beta)$$

Utilizando a relação fundamental da trigonometria (Fórmula $\eqref{eqrf}$), podemos fazer $\cos^2(\beta)=1-\mathrm{sen}^2(\beta)$
$$\mathrm{sen}(3\beta)=3\cdot\mathrm{sen}(\beta)[1-\mathrm{sen}^2(\beta)]-\mathrm{sen}^3(\beta)$$
$$\mathrm{sen}(3\beta)=3\mathrm{sen}(\beta)-4\mathrm{sen}^3(\beta)$$

Vamos determinar $\cos(3\beta)$

$\cos(3\beta)=\cos(2\beta+\beta)=\cos(2\beta)\cdot\cos(\beta)-\mathrm{sen}(2\beta)\cdot\mathrm{sen}(\beta)=[\cos^2(\beta)-\mathrm{sen}^2(\beta)])\cdot\cos(\beta)-2\cdot\mathrm{sen}(\beta)\cdot\cos(\beta)\cdot\mathrm{sen}(\beta)=\cos^3(\beta)-3\cos(\beta)\mathrm{sen}^2(\beta)=\cos^3(\beta)-3\cos(\beta)\cdot[1-\cos^2(\beta)]$

$$\cos(3\beta)=4\cos^3(\beta)-3\cos(\beta)$$

Vejamos para $\mathrm{tg}(3\beta)$, utilizando a Fórmula $\eqref{eqtan}$
$$\mathrm{tg}(3\beta)=\mathrm{tg}(2\beta+\beta)=\dfrac{\mathrm{tg}(2\beta)+\mathrm{tg}(\beta)}{1-\mathrm{tg}(2\beta)\cdot\mathrm{tg}(\beta)}=
\dfrac{\dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}+\mathrm{tg}(\beta)}{1-\dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}\cdot\mathrm{tg}(\beta)}=
\dfrac{\dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\beta)+\mathrm{tg}(\beta)-\mathrm{tg}^3(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}}{\dfrac{1-\mathrm{tg}^2(\beta)-2\cdot\mathrm{tg}^2(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}}\Rightarrow\mathrm{tg}(3\beta)=\dfrac{3\mathrm{tg}(\beta)-\mathrm{tg}^3(\beta)}{1-3\mathrm{tg}^2(\beta)}$$

Desse modo, temos as seguintes fórmulas para ângulo (arco) triplo
$$\begin{equation}\label{eqat}\left\{
\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(3\beta)&=&3\mathrm{sen}(\beta)-4\mathrm{sen}^3(\beta) \\
\cos(3\beta)&=&4\cos^3(\beta)-3\cos(\beta) \\
\mathrm{tg}(3\beta)&=&\dfrac{3\mathrm{tg}(\beta)-\mathrm{tg}^3(\beta)}{1-3\mathrm{tg}^2(\beta)}
\end{array}\right.\end{equation}$$

Considerações

As fórmulas para arcos triplos, para quem gosta de Matemática, são bem divertidas de serem determinadas, mas apresentam poucas utilidades, pois podem ser substituídas pelas fórmulas já encontradas em livros didáticos do Ensino Médio. Mas vale apena pedir para os alunos as encontrar!



terça-feira, 18 de agosto de 2015

Equação da reta no plano complexo

Introdução

Estou lendo a dissertação do amigo Laércio Francisco Feitosa, com o título Aplicações dos Números Complexos na Geometria Plana, que foi defendida no programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional da UFPB, em 2013 (no final da postagem, deixei o link para quem desejar baixar e ler). Gostaria de aproveitar o momento e parabenizá-lo, excelente contribuição! 

O conjunto dos números complexos surgiu como resposta a um problema que desafiou matemáticos durante séculos. A solução do problema envolvia o uso de raíz quadrada de números negativos. No entanto, o primeiro matemático a usar raízes quadradas de números negativos em seus trabalhos foi o italiano Girolamo Cardano (1501-1576), quando tentava encontrar uma fórmula resolutiva para equações do 3º grau. Mas foi René Descartes (1596-1650) que cunhou o nome imaginário para as raízes quadradas de números negativos. Mais tarde, os matemáticos De Moivre (1667-1754) e Newton (1642-1727), combinaram trigonometria com números complexos em seus trabalhos. Mais tarde ainda, Euler (1707-1783) usou $i$ para designar o número imaginário $\sqrt{-1}$, que foi amplamente aceito, pois ocultava o espectro da raiz quadrada negativa. O topógrafo e cartógrafo norueguês Caspar Wessel (1745-1818) foi o primeiro a representar geometricamente os números complexos. (recorte da introdução da dissertação)

Nesta postagem, apresento uma demonstração para equação da reta no plano complexo, é diferente da demonstração que foi apresentada na dissertação, mas é fundamentada no trabalho que estou lendo. Não farei uma apresentação sobre números complexos, pois excede o objetivo da postagem, assim, vou considerar verdadeiros os Postulados 1 e 2, mesmo sabendo que são teoremas, assim, evito de demonstrá-los, mas os apresento a fim de facilitar a compreensão das demonstrações.

Postulado 1

Sejam $z_1$ e $z_2$ pontos do plano complexo e $\overline{z_1}$ e $\overline{z_2}$ seus respectivos conjugados, são verdadeiras as igualdades:
  1. $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
  2. $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}$
  3. $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$
Postulado 2

Sejam $z_1,z_2$ e $z_3$ pontos colineares do plano complexo, temos $\dfrac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\in\mathbb{R}$

Reta

Seja $r$ uma reta que passa pelos pontos $A(x_a,y_a)$ e $B(x_b,y_b)$. Sendo $P(x,y)$ um ponto genérico de $r$, podemos definir $r$ através da equação paramétrica
$$r:\left\{\begin{matrix}x=x_a+t\cdot (x_b-x_a)\\ y=y_a+t\cdot (y_b-y_a)\end{matrix}\right.,t\in\mathbb{R}$$
Também poderíamos definir $r$ na forma
$$r:(x,y)=(x_a,y_a)+t\cdot[ (x_b,y_b)-(x_a,y_a)]$$
Associando $A(x_a,y_a),B(x_b,y_b)$ e o ponto genérico $P(x,y)$ aos números complexos $z_a=x_a+y_b\cdot i,z_b=x_b+y_b\cdot i$ e $z=x+y\cdot i$, respectivamente, a equação da reta $r$ no plano complexo será
$$r:z=z_a+t\cdot (z_b-z_a), t\in\mathbb{R}$$
Logo,
$$t=\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}$$
Como $\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}\in\mathbb{R}$,então
$$\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}=\overline{\left(\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}\right)}=\dfrac{\overline{z-z_a}}{\overline{z_b-z_a}}=\dfrac{\overline{z}-\overline{z_a}}{\overline{z_b}-\overline{z_a}} \\ \Downarrow \\ \dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}=\dfrac{\overline{z}-\overline{z_a}}{\overline{z_b}-\overline{z_a}} \\ \Downarrow \\ \left(z-z_a\right)\cdot\left(\overline{z_b}-\overline{z_a}\right)=\left(z_b-z_a\right)\cdot\left(\overline{z}-\overline{z_a}\right) \\ \Downarrow \\ z\cdot\overline{z_b}-z\cdot\overline{z_a}-z_a\cdot\overline{z_b}+z_a\cdot\overline{z_a}=z_b\cdot\overline{z}-z_b\cdot\overline{z_a}-z_a\cdot\overline{z}-z_a\cdot\overline{z_a} \\ \Downarrow \\ \left(z_b-z_a\right)\cdot \overline{z}-\left(\overline{z_b}-\overline{z_a}\right)\cdot z + z_a\cdot\overline{z_2}-\overline{z_1}\cdot z_2=0$$

Tomando $B=\left(z_b-z_a\right)\Rightarrow \overline{B}=\left(\overline{z_b}-\overline{z_a}\right)$ e $C= \left(z_a\cdot\overline{z_2}-\overline{z_1}\cdot z_2\right($, assim, podemos definir a reta $r$ como:
$$r:B\cdot\overline{z}-\overline{B}\cdot z + C=0$$

EXEMPLO

Determine a equação da reta $r$ que passa nos pontos $z_a=2-3\cdot i$ e $z_b=-1+2\cdot i$.

SOLUÇÃO
Temos
$B=-1+2\cdot i-\left(2-3\cdot i\right)=-3+5\cdot i \Rightarrow \overline{B}=-3-5\cdot i$
$C=\left(2-3\cdot i\right)\cdot\left(-1-2\cdot i\right)-\left(2+3\cdot i\right)\cdot\left(-1+2\cdot i\right)=-2\cdot i$
Então, a equanção da reta $r$ será
$$r:\left(-3-5\cdot i\right)\cdot\overline{z}-\left(-3-5\cdot i\right)\cdot z - 2\cdot i=0$$

REFERÊNCIA