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domingo, 7 de junho de 2020

De onde veio R\$ 1,00?

No vídeo a seguir, apresentamos um problema muito popular:




Fazendo um resumo do problema, vamos considerar que o homem que conta a história se chama Sr. Enzo, então, temos o seguinte:

Sr. Enzo tomou emprestado R\$ 25,00 com cada uma das suas duas filhas, totalizando R\$ 50,00 de empréstimo. Fez uma compra no valor de R\$ 45,00 que foi pago com o dinheiro emprestado, restando de troco R\$ 5,00. Sr. Enzo ainda emprestou R\$ 3,00 a um amigo que havia encontrado quando voltava pra casa, restando-lhe assim R\$2,00. Com o objetivo de reduzir a dívida com as filhas, Sr. Enzo devolveu R\$ 1,00 a cada uma delas. Assim, Sr. Enzo pensou: 
- Peguei R\$ 24,00 com cada uma das minhas duas filhas, totalizando R\$ 48,00, com mais R\$ 3,00 do meu amigo, dá R\$ 51,00. De onde veio R\$ 1,00? 

Claramente há um erro na conta realizada pelo Sr. Enzo, o problema é descobrir onde está o erro! Considerando que, inicialmente, ele tomou emprestado, com as filhas, R\$ 50,00, vamos vê como o Sr. Enzo gastou o dinheiro:

Descrição da movimentação Saldo
Pegou R\$ 50,00 emprestadosR\$ 50,00 
Realizou uma compra de R$ 45,00R\$ 5,00
Emprestou R\$ 3,00 a um amigoR\$ 2,00
Devolveu R\$ 2,00 às filhasR\$ 0,00 

Veja que ele pegou  R\$ 50,00 emprestado e gastou os R\$ 50,00. Se olharmos para o que ele deve às filhas, veja que Sr. Enzo recebeu R\$ 50,00 - R\$ 25,00 de cada uma das duas filhas - e a amortizou R\$ 2,00 - devolveu R\$ 1,00 a cada uma das filhas - passando a ter um saldo devedor de R\$ 48,00 - que foi utilizado para realizar uma compra de de R\$ 45,00 e emprestar R\$ 3,00 a um amigo.

Vimos que o Sr. Enzo recebeu um empréstimo das filhas e utilizou o dinheiro para fazer um compra, emprestar um dinheiro a um amigo e amortizar a dívida com as filhas. Mas aonde está o erro nas contas do Sr. Enzo?

Pra identificar o erro nas contas do Sr. Enzo, é preciso saber que as movimentações que são feitas por ele têm duas naturezas, entrada e saída de dinheiro. Das movimentações realizadas pelo Sr. Enzo, apenas uma pode ser classificada como entrada de dinheiro  e as demais representam saída de dinheiro.

 EntradaSaída 
 Pegou R\$ 50,00 emprestados Realizou uma compra de R\$ 45,00
 Emprestou R\$ 3,00 a um amigo
 Devolveu R\$ 2,00 às filhas

É importante identificar a natureza das movimentações, pois só podemos somar movimentações de mesma natureza e esse é o erro do Sr. Enzo, pois, se descontarmos do empréstimo os R\$ 2,00 que ele devolveu às filhas, de fato, ele recebeu R\$ 48,00 e os R\$ 3,00 que emprestou ao amigo não representa entrada de dinheiro, por isso, não poderia ser somado aos R\$ 48,00 que tomou emprestado.

Se desejarmos considerar todas as movimentações como sendo de mesma natureza, então, as entradas será um número positivo e a saída, negativo. Assim, teremos

Descrição da movimentaçãoRepresentação
Pegou R\$ 50,00 emprestados+50,00 
Realizou uma compra de R$ 45,00-45,00
Emprestou R\$ 3,00 a um amigo-3,00
Devolveu R\$ 2,00 às filhas-2,00 
 Total0,00

Ou seja, no final de todas as movimentações, o Sr. Enzou ficou sem dinheiro!

sexta-feira, 24 de janeiro de 2020

Qual é a média?

Normalmente, quando vemos um problema que pede a média, imaginamos que seja a média aritmética. Porém, existem contextos cuja a média pode ser outra, como a geométrica ou harmônica. Para saber qual média utilizar, é fundamental identificar a forma de encontrar o acumulado dos valores observados, assim, se as observações fossem substituídas pela média encontrada, o acumulado continua o mesmo. A seguir, veremos exemplos que o contexto mostra que a a média procurada pode ser a aritmética, geométrica ou harmônica.

Média Aritmética

A média aritmética dos números reais $x_1, x_2, \cdots, x_n$, com $n\in\mathbb{N}$, é $$M_a=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$$
Veja que a média aritmética é igual ao quociente entre a soma dos valores observados e o número de observações.  Desta forma, se substituirmos todos os valores observados por $M_a$, a soma seria 
$$n\cdot M_a=x_1+x_2+\cdots+x_n$$
Assim, a média aritmética é mais adequada em contextos onde o acumulado dos valores observados é a soma das observações. Veja o exemplo a seguir.

Exemplo $A$: Um piloto dá $5$ voltas em um circuito com os seguintes tempos: $60$ s, $71$ s, $50$ s, $56$ s e $68$ s. Determine a média de tempo das voltas.

Para obtermos o tempo acumulado nas $5$ voltas é necessário somar os tempos de cada volta, assim, de imediato, imaginamos que a média de tempo das voltas é a média aritmética de $60, 71, 50, 56$ e $68$. Assim $$M_a=\dfrac{60+71+50+56+68}{5}=61$$

Para o contexto do Exemplo $A$ o número $61$ é adequado, pois, se o piloto tivesse dado $5$ voltas com os tempos de $61$ s, o tempo total (ou tempo acumulado nas $5$ voltas) seria igual a soma dos tempos observados.
$$60+71+50+56+68=(61-1)+(61+10)+(61-11)+(61-5)+(61+7)=(61+61+61+61+61)+(-1+10-11-5+7)=5\cdot 61+0=305$$

Média Geométrica

A média Geométrica dos números reais $x_1, x_2, \cdots, x_n$, com $n\in\mathbb{N}$, é 
$$M_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot{}_\cdots\cdot x_n}$$

Assim, a média geométrica é a raíz $n$-ésima do produto dos $n$ valores observados. Ou seja, se substituirmos os números observados pela média geométrica, veremos que $$\left(M_g\right)^n=x_1\cdot x_2\cdot{}_\cdots\cdot x_n$$ Desta forma, a média geométrica e adequada para quando o acumulado das observações é obtido por meio do produto dos valores observados. Veja o exemplo.

Exemplo $B$: Os índices de inflação, no Brasil, nós últimos $5$ anos (2015 a 2019) foram $10{,}67\%, 6{,}29\%, 2{,}95\%, 3{,}75\%$ e $4{,}31\%$. Qual a média da inflação anual dos últimos 5 anos?

Falou em média, então é média aritmética! Será?

Vamos lembrar o que representar a inflação.

Se um produto custava em média, no final de 2014, $R\$ 2{,}00$, no final de 2015, considerando que a inflação daquele ano foi $10{,}67\%$, o mesmo produto custava em média $$R\$ 2\cdot 1{,}1067\approx R\$ 2{,}21$$ O número $1{,}1067$ é chamado de fator de atualização que foi obtido pela soma $$1+10{,}67\%=1+0{,}1067=1{,}1067$$ Desta forma, os fatores de atualização das inflações de 2015 a 2019 são $1{,}1067, 1{,}0629, 1{,}0295, 1{,}0375$ e $1{,}0431$.

Voltando ao produto que custava, em média, $R\$2{,}00$ no final de 2014, se quisermos saber o preço médio deste produto no final de 2016, calculamos $$2\cdot 1{,}1067\cdot 1{,}0629=2\cdot 1{,}17631143= 2{,}35262286\approx 2{,}35$$
Ou seja, o produto custou, em média, em 2016, $R\$ 2{,}35$. O número $1{,}17631143$ é o fator de atualização da inflação acumulada de 2015 a 2016, ou seja, a inflação acumulada dos dois anos é, aproximadamente, $1{,}17631143-1=0{,}17631143\approx 17{,}63\%$. Veja que $17{,}63\% \neq 10{,}67\%+6{,}29\%=16{,}96\%$.

Nessa lógica, o fator de atualização da inflação acumulada do período de 2015  a 2019 é $$1{,}1067\cdot 1{,}0629\cdot 1{,}0295\cdot 1{,}0375\cdot 1{,}0431=1{,}31057753327263625625\approx 1{,}3106$$
Assim, a inflação acumulada no período de 2015 a 2019 é $$1{,}3106-1=0{,}3106=31{,}06\%$$ Veja que $$31{,}06\%\neq 10{,}67\%+6{,}29\%+2{,}95\%+3{,}75\%+4{,}31\%=27{,}97\%$$
Se tivermos uma média dos fatores de atualização anual de 2015 a 2019, poderemos determinar a média da inflação anual do período. Porém, a média dos fatores de atualização não pode ser a média aritmética, pois, ja vimos que o acumulado dos fatores de atualização não é obtido através da soma dos fatores de atualização observados, mas pelo produto das observações. Neste contexto, a média que procuramos é a média geométrica dos fatores de atualização.
$$M_g=\sqrt[5]{1{,}1067\cdot 1{,}0629\cdot 1{,}0295\cdot 1{,}0375\cdot 1{,}0431}\approx 1{,}05558$$
Com este resultado, podemos determinar, aproximadamente, a média da inflação anual
$$1{,}05558-1=0{,}05558=5{,}558\%$$
Assim, se substituirmos as inflações observadas no período de 2015 a 2019 por $5{,}558\%$ a inflação acumulada será, aproximadamente, a mesma da inflação acumulada do quinquênio.
$$1{,}05558^5-1\approx 31{,}06\%\approx 1{,}1067\cdot 1{,}0629\cdot 1{,}0295\cdot 1{,}0375\cdot 1{,}0431-1$$

Média Harmônica

A média harmônica dos números reais $x_1, x_2, \cdots, x_n$, com $n\in\mathbb{N}$, é $$ M_h=\frac{n}{\displaystyle\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}$$

A média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos dos valores observados. Se substituirmos os valores observados pela média harmônica, teremos$$\frac{n}{M_h}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}$$ Assim, verificamos que o acumulado das observações é obtido por meio da soma dos inversos das observações. Utilizamo a média harmônica em situações que envolvem grandezas inversamente proporcionais. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo $C$: Ao voltar pra casa, Pedro dirigiu o primeiro terço do caminho com velocidade de $80 km/h$, o segundo terço, devido a má conservação do trecho, a velocidade foi de $60 km/h$ e o último terço do caminho com velocidade de $120 km/h$. Qual a velocidade média que Pedro percorreu o caminho pra casa?

Mais uma vez, poderíamos cair na tentação de calcular a média aritmética. Então, vamos provar que a velocidade média, neste caso, é a média harmônica das velocidades.

O problema não informa o comprimento do caminho percorrido, porém, é informado que foi aplicado velocidades constantes em cada terço do caminho. Diremos que o primeiro terço foi percorrido com velocidade $v_1$ no tempo $t_1$, o segundo terço teve velocidade $v_2$ no tempo $t_2$ e o terceiro terço do caminho foi percorrido com velocidade $v_3$ no tempo $t_3$. Digamos que todo o caminho teve comprimento $3d$, assim, cada terço teve distância $d$. Então, temos: $$
\begin{matrix}

v_1=\dfrac{d}{t_1}, & v_2=\dfrac{d}{t_2}, & v_3=\dfrac{d}{t_3}

\end{matrix}

$$ Considere que todo o caminho foi percorrido a uma velocidade média $v$ num tempo $t=t_1+t_2+t_3$. Assim, temos:$$

v=\frac{3d}{t}\Rightarrow 3d=vt \Rightarrow 3d=v(t_1+t_2+t_3)

$$ Observe que $t_1=\dfrac{d}{v_1}$, $t_2=\dfrac{d}{v_2}$ e $t_3=\dfrac{d}{v_3}$. Logo $$

3d=v\left(\frac{d}{v_1}+\frac{d}{v_2}+\frac{d}{v_3}\right)\Rightarrow v\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}\right)=3 \Rightarrow v=\frac{3}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}+\dfrac{1}{v_3}}

$$ Sendo $v_1=80$, $v_2=60$ e $v_3=120$, a velocidade média que Pedro percorreu todo o caminho foi é a média harmônica das velocidades que ele aplicou em cada terço: $$

v=\frac{3}{\dfrac{1}{80}+\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{120}}=80 km/h

$$ Desta forma, se Pedro tivesse percorrido todo o caminho a uma velocidade constante de $80 km/h$, levaria o mesmo tempo para percorrer o trajeto da forma que fez no problema. $$

t=\frac{d}{80}+\frac{d}{60}+\frac{d}{120}=\frac{3d+4d+2d}{240}=\frac{9d}{240}=\frac{3d}{80}

$$
Exemplo $D$: Numa casa há três torneiras que levam $48$ minutos, $80$ minutos e $120$ minutos, respectivamente, para encher uma caixa d'água. Qual a média de tempo das três torneiras para encher a caixa d'água?


Como o volume da caixa d'água é a mesma para qualquer torneira, então, o acumulado das observações seria encher a caixa d'águas com as três torneiras, desta forma, a vazão de cada uma iria se junta.

Vamos considerar que uma torneira tenha vazão $v_1$ que enche uma caixa d'água em $48$ min, as outras torneiras terá vazão $v_2$ e $v_3$ que enchem a caixa d'água em $80$ min e $120$ min, respectivamente, assim
$$ \begin{matrix}
v_1=\dfrac{1}{48}, & v_2=\dfrac{1}{80}, & v_3=\dfrac{1}{120}
\end{matrix}$$Considere $v$ a vazão das três torneiras juntas, assim 
$$v=v_1+v_2+v_3=\dfrac{1}{48}+\dfrac{1}{80}+\dfrac{1}{120}=\dfrac{1}{24}$$

A vazão das três torneiras juntas é $1$ caixa d'água em $24$ min. Se quisermos calcular a vazão média das torneiras ($v_m$), como a vazão total (vazão acumulada) é a soma das vazões das três torneiras, então, devemos calcular a média aritmética
$$v_m=\dfrac{\dfrac{1}{48}+\dfrac{1}{80}+\dfrac{1}{120}}{3}=\dfrac{1}{72}$$

A vazão média é $1$ caixa d'água em $72$ minutos, quer dizer que o tempo médio para encher a torneira é o inverso da vazão média, que é a média aritmética das vazões, ou seja, o tempo médio das torneiras é a média harmônica dos tempos observados.
$$M_h=\dfrac{3}{\dfrac{1}{48}+\dfrac{1}{80}+\dfrac{1}{120}}=72$$

segunda-feira, 2 de setembro de 2019

GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Determinando o h-centro de uma h-circunferência no Disco de Poincaré

Introdução

Veremos uma forma de determinar o h-centro de uma h-circunferência, no modelo de Disco de Poincaré.

Construção

Na Construção 1, o círculo $c$, com centro em $O$ e raio $r>0$, será o plano hiperbólico $\mathbb{H}$, os pontos $A,B\in\mathbb{H}$ são o centro e um ponto, respectivamente, da circunferência $d$, no plano euclidiano, desta forma, $d$ também é uma h-circunferência. Os pontos $A$ e $B$ podem ser movidos. Clique no botão Voltar e Avançar para acompanhar os passos para determinar o h-ponto $O_d$, h-centro de $d$.

Construção 1

B

domingo, 18 de agosto de 2019

Relacionando números complexos e matrizes $2\times 2$

Apresentamos uma relação entre o conjunto dos números complexos e o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2. Com a intenção de sermos objetivos, não faremos uma explanação formal sobre os complexos e as matrizes, apresentaremos apenas alguns conceitos para comprovar a relação entre os conjuntos.

quarta-feira, 24 de julho de 2019

O prazer da estatística


terça-feira, 16 de janeiro de 2018

GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Um pouco mais sobre h-circunferências no Disco de Poincaré

Na postagem Circunferência hiperbólica no Disco de Poincaré é mostrado que uma h-circunferência também é uma circunferência euclidiana, porém o centro euclidiano (centro) e o centro hiperbólico (h-centro) não coincidem, exceto se as h-circunferências e o Disco de Poincaré são concêntricos.

Nesta postagem, apresentaremos algumas relações entre o plano hiperbólico, h-circunferências e h-eixo de simetria.

Na Figura 1, as circunferências $c=\mathcal{C}\left(O,r\right)$ e $e=\mathcal{C}\left(O_e,s\right)$, com $r,s\in\mathbb{R}^*_+$, são ortogonais, sendo que $c$ representa o plano hiperbólico $\mathbb{H}$ (Disco de Poincaré) e $e$ é uma circunferência que gera a h-reta $h$.
Figura 1
Temos ainda que $d$ é uma h-circunferência com h-centro em $O$, $d'$ é um h-circunferência com h-centro $O'$ e centro $O_{d'}$. As h-circunferências $d$ e $d'$ são simétricas em relação ao h-eixo $h$, portanto, temos que $O$ e $O'$ são simétricos em relação a $h$.

Relação 1 - No plano euclidiano, os pontos $O, O_{d'}$ e $O'$ são colineares

DEMONSTRAÇÃO

No plano $\mathbb{H}$, como $O$ e $O'$ são simétricos em relação à $h$, então, no plano euclidiano, $O$ e $O'$ são inversos em relação à circunferência $e$, então, $O, O'$ e $O_e$ são colineares.

Para prova que o ponto $O_{d'}$ pertence à reta $\overline{OO_e}$, vamos considerar as retas $i$ e $j$, tangentes a $d$ em $D$ e $E$, respectivamente, e interceptam-se no ponto $O_e$, ver Figura 2.
Figura 2

Deste modo, a reta $\overline{OO_e}$ é bissetriz do ângulo $\angle DO_eE$ (ver nos comentários a justificativa desta conclusão). 

Tomando $e$ como uma circunferência de inversão, conforme o Teorema 1 - Inversão de reta em relação à circunferência, como as retas $i$ e $j$ passam pelo centro de inversão, então, suas respectivas inversões são as próprias retas $i$ e $j$. Temos ainda que se $D'$ e $E'$ são os inversos dos pontos $D$ e $E$, respectivamente $$\left(D\in d\cap i,E\in d\cap j\right)\Rightarrow \left(D'\in d'\cap i, E'\in d'\cap j\right)$$

Além disso, como  $i$ e $j$ interceptam $d$ em um único ponto, cada um, então, cada reta intercepta $d'$ em um único ponto. Assim, as retas $i$ e $j$ são tangentes a $d'$ em $D'$ e $E'$, respectivamente. Portanto, o centro de $d'$, ponto $O_{d'}$, também pertence à bissetriz do ângulo $\angle DO_eE$, ou seja $$O_{d'}\in\overline{OO_e}$$ Assim, os pontos $O, O_{d'}$ e $O'$ são colineares.
$\square$

Relação 2 - Os pontos $O'$ e $O_e$ são inversos em relação a $c$

DEMONSTRAÇÃO

Sendo $c$ e $e$ circunferências ortogonais, então, o inversos de $e$ em relação a $c$ é a própria circunferência $e$ (ver Inversão de circunferência em relação a outra circunferência). Como $O$ é o centro de $c$ e $O'$ é o inverso de $O$ em relação a $e$, pelo Teorema 1-Centro do inverso de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão, o inversos de $O'$ em relação a $c$ é $O_e$.
$\square$

sexta-feira, 13 de outubro de 2017

GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Circunferência hiperbólica no Disco de Poincaré

Nesta postagem, mostraremos que uma h-circunferência é igual a uma circunferência no plano euclidiano, porém, o h-centro é distinto do centro e o modo de medir o raio também é diferente. Para melhor compreensão desta postagem, sugerimos a leitura das seguintes postagens: Inversão de circunferência em relação a outra circunferência e Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta. Assim, vamos construir uma h-circunferência a partir da Definição 3 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta transcrita a seguir:
Dado um h-ponto $C$ e uma h-distância $\rho$, definiremos a circunferência hiperbólica $\lambda$, ou h-circunferência, com h-centro em $C$ e h-raio $\rho$ o conjunto dos h-pontos que estão a uma h-distância $\rho$ do h-ponto $C$
Seja $P$ um h-ponto tal que $\rho=d_h(O,P)$ e seja $P_0\in\mathbb{H}$ um ponto genérico tal que $P$ e $P_0$ são equidistantes de $O$, no plano euclidiano, ver Figura 1.

Figura 1
Sendo $Z_1$ e $Z_3$ pontos ideais da h-reta $\overline{OP_0}$ e $Z_2$ e $Z_4$ pontos ideais da h-reta $\overline{OP}$. Temos:
$$\begin{matrix} d_h(O,P_0)=\left|\ln\dfrac{\overline{Z_3P_0}\cdot\overline{Z_1O}}{\overline{Z_1P_0}\cdot\overline{Z_3O}}\right|\\ \rho=d_h(O,P)=\left|\ln\dfrac{\overline{Z_4P}\cdot\overline{Z_2O}}{\overline{Z_2P}\cdot\overline{Z_4O}}\right| \end{matrix}$$
Como, no plano euclidiano, os pontos $P,P_0$ são equidistantes do $O$, então
$$\begin{matrix} \overline{Z_1P_0}\cong\overline{Z_2P}\\ \overline{Z_3P_0}\cong\overline{Z_4P}\\ \end{matrix}$$
E ainda temos que $Z_1,Z_2,Z_3,Z_4$ são equidistantes de $O$, desta forma, teremos  $d_h(O,P_0)=\rho$

Figura 2
No plano euclidiano, sabemos que o lugar geométrico de todos os pontos que estão a uma distância $\overline{OP}$ do ponto $O$ é a circunferência $\lambda$, que tem centro no ponto $O$ e raio $\overline{OP}$. Considerando ainda o plano euclidiano, sendo $P$ e $P_0$ equidistante de $O$, verificamos que $P$ e $P_0$ são também equidistantes de $O$ no plano hiperbólico, assim, vemos que o lugar geométrico do h-ponto $P_0$ é a circunferência $\lambda$. Como todos os h-pontos de $\lambda$ são equidistantes de $O$, pela Definição 3 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta, $\lambda$ é uma h-circunferência com h-centro $O$ e h-raio $\overline{OP}$. Podemos generalizar para toda h-circunferência, com h-centro em $O$ e que passa por um h-ponto $P\neq O$ é uma circunferência euclidiana com centro no ponto $O$ e raio $\overline{OP}$, ver Figura 2.

Vimos que se o h-centro de uma h-circunferência $\lambda$ for o h-ponto $O$, então, $\lambda$ é uma circunferência euclidiana, vamos mostrar a seguir que qualquer h-circunferência com h-centro diferente de $O$ é uma circunferência euclidiana.

Considere $r$ como um h-eixo de simetria arbitrário (ver Definição 2 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta). Se $O\in r$, então, $r$ é um diâmetro de $\alpha$ gerado por uma reta $r_0$. Deste modo, a reflexão da circunferência $\lambda$ em torno da h-reta $r$ será, no plano euclidiano, o simétrico da circunferência $\lambda$ em relação à reta $r_0$, que denominaremos por $\lambda'$. Como $r_0$ passa pelo centro de $\lambda$, então, $\lambda$ será simétrica a si mesmo, ou seja, $\lambda'=\lambda$, portanto, no plano hiperbólico, o simétrico da h-circunferência $\lambda$ em torno de um h-eixo $r$ que passa por seu centro $O$ será a própria h-circunferência $\lambda$, ver Figura 3.
Figura 3
Se $O\notin r$, ou seja, $r$ é uma h-reta gerada por uma circunferência $r_a$, então, o simétrico da h-circunferência $\lambda$ em relação à $r$, denominaremos por $\lambda'$, será, no plano euclidiano, o inverso de $\lambda$ em relação à circunferência $r_a$. De acordo com o Teorema 1 - Inversão de circunferência em relação a outra circunferência, o inverso de $\lambda$ em relação à $r_a$ será outra circunferência, $\lambda'$, ver Figura 4. Sendo $O'$ o simétrico de $O$ em relação à h-reta $r$, o Teorema 1 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta diz que a reflexão em torno de uma h-reta é uma isometria, ou seja, é uma aplicação que conserva distância e ângulo, então, como $O$ é um h-ponto que está a uma distância $\rho$ de qualquer ponto de $\lambda$, então $O'$ está a uma distância $\rho$ de qualquer ponto de $\lambda'$, portanto, a h-circunferência $\lambda'$ tem centro no ponto $O'$ e raio $\rho$.
Figura 4

Pela arbitrariedade na escolha da h-reta $r$ podemos generalizar que as circunferências hiperbólicas também são circunferências euclidianas, porém, o centro euclidiano não coincide com o centro hiperbólico a não ser que $O$ seja o h-centro.

Na Construção 1, feita no Geogebra, a h-circunferências $\lambda$ tem h-centro em $O$ e $A$ é um h-ponto de $\lambda$, onde $\rho=\overline{OA}$. Temos ainda que $r$ é um h-eixo de simetria, como pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$, $\lambda'$ e $O'$ são os simétricos de $\lambda$ e $O$ em torno de $r$, respectivamente, o h-ponto $Q$ pertence a $\lambda'$ e o ponto $E$ é o centro euclidiano de $\lambda'$. Os pontos na cor amarela podem ser movidos.

Construção 1

Observe que, em $\lambda'$, no plano euclidiano, $\overline{EQ}$ é o raio enquanto que, no plano hiperbólico, $\overline{O'Q}=\rho$ é o h-raio. 

segunda-feira, 9 de outubro de 2017

Aplicação da matemática para tomar uma decisão

Já deve ter se deparado, num supermercado, onde, por exemplo, você quer comprar um chocolate em pó e verifica-se o mesmo produto vendido em embalagens de $400\text{g}$ e $1{,}3\text{kg}$ com os seguintes preços:


Que critério você utilizaria para fazer uma das seguintes escolhas para comprar o achocolatado: Leva três latas de $400\text{g}$ ou um pacote de $1{,}3\text{kg}$?

sexta-feira, 8 de setembro de 2017

Elipse como sendo o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a uma circunferência $d$, com centro $C$ e raio $r$, e que passa por um ponto $F\neq C$ interno à $d$

Nesta postagem, vamos responder a seguinte pergunta: Qual o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a uma circunferência $d$, com centro $C$ e raio $r$, e que passa por um ponto $F\neq C$ interno à $d$? Na postagem Associando pontos da circunferência a uma elipse ou hipérbole, apresenta uma construção que sugere que a resposta da nossa pergunta é uma elipse. Assim, vamos provar a nossa tese.

segunda-feira, 17 de julho de 2017

Utilizando uma circunferência para construir uma hipérbole

Vamos fazer um estudo sobre a hipérbole que pode ser obtida a partida da construção da postagem no link http://www.benditamatematica.com/2017/07/associando-pontos-da-circunferencia-uma.html.

A definição mais usual para hipérbole é
Sejam $F_1$ e $F_2$ dois pontos distintos do planos e $2c$ é a distância entre eles. A hipérbole é o lugar geométrico do ponto $P$ tal que a diferença das distância entre $P$ e cada um dos focos é $2a$, com $0 < a < c$ 


Na Construção 1, vamos considerar que a circunferência $d$ tem raio $p$, ou seja, $\overline{CP_1}=p$, a distância entre $P_1$ e $P$ será $m$, como $P$ é equidistante de $P_1$ e $F$, então, $\overline{P_1P}=\overline{PF}=m$, ver Figura 1.

Figura 1
Assim, temos:


$$\left\{\begin{array}{l}

\overline{CP}=p+m \\

\overline{PF}=m

\end{array}\right.\Rightarrow \left|\overline{CP}-\overline{PF}\right|=\left|p+m-m\right|=p$$

Deste modo, verificamos que quando $F$ é externo a $d$, o lugar geométrico de $P$ é uma hipérbole com foco $C$ e $F$. Na Figura 2, os pontos $A_1$ e $A_2$ são os vértices da parábola, assim $\overline{A_1A_2}$ é o eixo focal, $A_1$ é associado ao ponto $A'_1$ e $A_2$ é associado ao ponto $A'_2$. Sendo $p$ o raio de $d$ e $n$ a distância entre $A_2$ e $F$, vamos determinar a medida $2a$ do eixo focal.
Figura 2
A distância entre $A_1$ e $F$ é
$$d(A'_1,F)=2p+2n$$
Como $A_1$ é ponto médio de $A'_1$ e $F$, então
$$d(A_1,F)=\frac{d(A'_1,F)}{2}=\frac{2p+2n}{2}=p+n$$
Veremos que a distância entre os vértices da hipérbole é igual ao raio da circunferência $d$
$$d(A_1,A_2)=d(A_1,F)-d(A_2,F)=p+n-n=p$$
Como $A_2$ é o ponto médio entre $A'_2$ e $F$, então, a distância, 2c, entre os focos $C$ e $F$ é
$$d(C,F)=d(C,A'_2)+d(A'_2,F)=p+2n$$

Na Figura 3, $M$ é o centro da hipérbole e $\overline{B_1B_2}$ é o eixo não focal. Então, $\overline{MA_2}=\dfrac{p}{2}$ e $\overline{B_1A_2}=\dfrac{p+2n}{2}$. Vamos determina a medida $2b$ do eixo não focal utilizando a relação
$$c^2=a^2+b^2\Rightarrow\left( \dfrac{p+2n}{2} \right)^2=\left( \dfrac{p}{2} \right)^2+b^2 \Rightarrow b=\dfrac{\sqrt{n\left( 2p+n \right)}}{2}\Rightarrow \overline{B_1B_2}=2b=\sqrt{n\left( 2p+n \right)}$$
Figura 3
Sejam as reta $t_1$ e $t_2$ tangentes à circunferência $d$ nos pontos $P_1$ e $P_2$, respectivamente, e passam por $F$. Neste caso, não há circunferência que tangencie $d$ em $P_1$ ou $P_2$ e passe por $F$. Desta forma, vamos mostrar que as mediatrizes de $\overline{P_1F}$ e $\overline{P_2F}$ são as assíntotas da parábola.

Sabemos que as assíntotas têm coeficientes angulares $\dfrac{b}{a}$ e $-\dfrac{b}{a}$ e passa pelo centro da hipérbole. Assim, considere a Figura 4.
Figura 4
A circunferência $e$ tem centro em $M$ e raio $c=\overline{MF}=\dfrac{p+2n}{2}$, $P_1$ pertence a interseção de $d$ e $e$ e $t_1=\overline{P_1F}$. 

O triângulo $\triangle CP_1F$ é retângulo em $P_1$, pois $C\widehat{P_1}F=90^\circ$ porque é o ângulo do arco capaz da diagonal  de $e$. Como $\overline{CP_1}=2a$ e $\overline{CF}=2c$, então $\overline{P_1F}=2b=\sqrt{n\left( 20+n \right)}$, por causa da relação $c^2=a^2+b^2$. Então, temos $$tg \left(C\widehat{P_1}F\right)=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{n\left( 20+n \right)}}{p}$$
A mediatriz $s$ de $P_1$ e $F$ é perpendicular a $\overline{P_1F}$, então, $s // \overline{CP_1}$ e, como $M$ é equidistante de $P_1$ e $F$, então $s$ passa por $M$, logo $s$ é assíntota da hipérbole. De forma análoga, podemos mostrar que a mediatriz entre entre $F$ e $P_2$, o outro ponto de interseção entre $d$ e $e$, é a outra assíntota da parábola, ver Figura 5.
Figura 5

domingo, 16 de julho de 2017

Associando pontos da circunferência a uma elipse ou hipérbole

Na Revista do Professor de Matemática Nº 66 tem um artigo com o título Obtendo as cônicas com dobraduras que apresenta construções, que podem ser feitas no software de Geometria Dinâmica. Segue os passos da construção que fiz no Geogebra, os comandos apresentados em cada um dos passos deverão ser colocados no Campo Entrada, no Geogebra.

quinta-feira, 29 de junho de 2017

Pontos equidistantes do centro e de algum lado de um quadrado

Nesta postagem, vamos determinar o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do centro e de algum lado de um quadrado.

CONSTRUÇÃO 1


Vamos considerar um triângulo qualquer com vértices $A,B$ e $C$. Vamos determinar os conjunto de pontos que são equidistantes do ponto $C$ e do lado $\overline{AB}$.

Sendo $s$ a reta determinada pelos ponto $A$ e $B$, os pontos que estão a uma mesma distância do ponto $C$ e da reta $s$ são pontos pertencentes a parábola $\phi$ que tem foco no ponto $C$ e reta diretriz $s$.  Para limitar os pontos equidistantes de $C$ e do segmento $\overline{AB}$, é só limitar a parábola nos pontos $A'$ e $B'$ que são as interseções entre as perpendiculares de $s$, nos pontos $A$ e $B$, respectivamente, e a parábola $\phi$.

CONSTRUÇÃO 2
Vamos determinar o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do centro $C$ e de algum lado do quadrado $PQRS$.
Traçando as diagonais, dividiremos o quadrado $PQRS$ em quatro triângulos congruentes, $\triangle PCS, \triangle PCQ, \triangle QCR$ e $\triangle RCS$, ver figura a seguir.
Dessa forma, o ponto $C$ é vértice de todos os triângulos que compõe o quadrado $PQRS$ e, cada triângulo, possui um dos lados do quadrado. Vamos observar apenas $\triangle PCS$. Os pontos internos estão mais próximos do lado $\overline{PS}$ do que qualquer um dos outros três lados do quadrado ao contrário dos pontos externos ao triângulo, que estão mais próximos de algum dos outros três lados do quadrado do que do lado $\overline{PS}$. Por esta razão e pela Construção 1, os pontos equidistantes de $\overline{PS}$ e de $C$ são os pontos da parábola que tem foco em $C$ e diretriz $\overline{PS}$ e que são internos a $\triangle PCS$. 
De forma análoga, podemos encontrar os outros pontos que estão mais próximos de algum dos outros três lados do quadrado e de $C$.

terça-feira, 28 de fevereiro de 2017

quinta-feira, 9 de fevereiro de 2017

GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Mediatriz e H-ponto médio no Disco de Poincaré

Nesta publicação veremos a definição de mediatriz no plano $\mathbb{H}$ e h-ponto médio de um segmento de h-reta.

Para uma boa compreensão das demonstrações, é importante que o leitor tenha conhecimento sobre a reflexão em torno de uma h-reta, para isso, sugerimos a leitura das publicações Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta e H-eixo de simetria no Disco de Poincaré.

Definição 1 - Seja $s$ um segmento de h-reta com extremos nos h-pontos $A$ e $B$. Dizemos que a h-reta $m$ é a mediatriz de $s$, ou de $A$ e $B$, se para todo h-ponto $P\in m$ temos $d_h(A,P)=d_h(B,P)$

 Proposição 1 - Os h-pontos $A$ e $A'$ são simétricos em relação à h-reta $s$ se, e somente se, $s$ é mediatriz de $A$ e $A'$.

DEMONSTRAÇÃO

$\left.\Rightarrow\right)$ Sendo $A$ e $A'$ simétricos em relação à $s$ e sendo $P\in s$ um h-ponto arbitrário, pela Definição 2 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta, temos que $\mathfrak{R}_s(P)=P$. Assim, conforme a Proposição 2 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta, temos $d_h(A,P)=d_h(A',P)$, portanto, pela arbitrariedade da escolha do h-ponto $P$,  $s$ é a mediatriz de $A$ e $A'$.
$\left.\Leftarrow\right)$  Sendo $s$ a mediatriz de $A$ e $A'$ e $P$ é um h-ponto qualquer de $s$, pelo Teorema 1 - H-eixo de simetria no Disco de Poincaré, existe uma única h-reta que reflete $A$ em $A'$. Como $d_h(A,P)=d_h(A',P)$, então, $P$ é um h-ponto do h-eixo de simetria, como $P$ é um h-ponto arbitrário de $s$, então, todos os h-pontos de $s$ pertencem ao h-eixo de simetria, isso implica que $s$ é o h-eixo de simetria que reflete $A$ em $A'$.
$\square$
Como consequência da Proposição 1, temos a unicidade da mediatriz

Corolário 1 - O segmento com extremos em $A$ e $B$ tem uma única mediatriz

DEMONSTRAÇÃO

Pela Proposição 1, a mediatriz de $A$ e $B$ também é o h-eixo de simetria de $A$ e $B$. Conforme o Teorema 1 - H-eixo de simetria no Disco de Poincaré, esta h-reta é única.
$\square$

Proposição 2- Sendo $A,B,P\in\mathbb{H}$ e $m$ a mediatriz de $A$ e $B$, se $d_h(A,P)=d_h(B,P)$, então $P\in m$.

DEMONSTRAÇÃO

Suponha que $P\notin m$, sem perda de generalização, vamos considerar que $P\notin\overline{AB}_h$, tomando $\overline{AB}_h$ como h-eixo de simetria, então, existe um único h-ponto $P'$ simétrico a $P$ em relação a $\overline{AB}_h$ e $d_h(A,P')=d_h(B,P')$. Desta forma, qualquer h-ponto $Q\in\overline{PP'}_h$ será equidistante de $A$ e $B$, ou seja, $d_h(A,Q)=d_h(B,Q)$ (neste blog não há a demonstração desta igualdade, mas ela pode ser facilmente feita). Pela arbitrariedade na escolha do h-ponto $Q$, então a h-reta $\overline{PP'}_h$ é mediatriz de $A$ e $B$, que é um absurdo, pois, pelo Colorário 1, a mediatriz é unica. Desta forma, todo h-ponto $P$ equidistante de $A$ e $B$ pertence a mediatriz destes h-pontos.
$\square$

Definição 2 - Considere os h-pontos $A,B$ e $M$. e a h-reta $r=\overline{AB}_h$. Dizemos que $M$ é o h-ponto médio de $A$ e $B$ se $M\in r$ e $d_h(A,M)=d_h(B,M)$.

Teorema 1 - A mediatriz de $A$ e $B$ é a h-reta perpendicular a $\overline{AB}_h$ e passa pelo h-ponto médio de $A$ e $B$.

DEMONSTRAÇÃO

Sendo $M$ o h-ponto médio e $m$ a mediatriz de $A$ e $B$, de imediato, verificamos que $M\in m$. Como $m$ também é o h-eixo de simetria de $A$ e $B$, então $m\perp\overline{AB}_h$.
$\square$


sábado, 28 de janeiro de 2017

GEOMETRIA HIPERBÓLICA: H-eixo de simetria no Disco de Poincaré

Esta publicação visa preencher lacunas que ficaram da publicação Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta, por esta razão, sugiro que a veja antes de continuar com a leitura desta publicação.


Teorema 1 - Sejam $A$ e $B$ h-pontos distintos, existe uma única h-reta $s$ tal que $\mathfrak{R}_s(A)=A'$.

DEMONSTRAÇÃO

Devemos considerar quatro situações, no plano $\mathbb{E}_\infty$: i) $A$ e $B$ são equidistantes de $O$; ii) $A,B$ e $O$ são pontos colineares e não-equidistantes; iii) $A,B$ e $O$ são ponto não-colineares e $A$ e $B$ não são equidistantes de $O$; e iv) $B=O$

A seguir está uma construção feita no Geogebra, onde é possível observar as construções que comprovam que a h-reta $s$ existe e é única.

Construção 1: Determinando o h-eixo de simetria conhecendo dois pontos simétricos