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sexta-feira, 29 de julho de 2016

GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Construção de h-reta

Atualizada em 30/07/2016 as 13:41

A geometria hiperbólica satisfaz os quatro primeiros postulados de Euclides. Deste modo, dois h-pontos determinam uma única h-reta. Ainda é possível determinar uma h-reta conhecendo um dos seus h-pontos e um dos pontos ideais ou conhecendo os dois pontos ideais.

Nesta postagem, veremos construções de h-retas determinadas por dois h-pontos, por um h-ponto e um ponto ideal e por dois pontos ideais, auxiliados pelo software Geogebra.

Considere o h-plano determinado pela circunferência $\alpha$, com centro no ponto $O$ e raio $r\neq 0$.

I-Construção da h-reta $s$ determinada pelos h-pontos $A$ e $B$.

Uma h-reta pode ser um diâmetro de $\alpha$ ou um arco de circunferência ortogonal a $\alpha$, Se os pontos $A$, $B$ e $O$ forem colineares, no plano euclidiano, então a h-reta $s$ é o diâmetro de $\alpha$ que passa por $A$ e $B$. A construção a seguir considera apenas $A$, $B$ e $O$ não-colineares.


Construção 1: h-reta $s$ determinada pelos h-pontos $A$ e $B$


1 - Marque o ponto $A'$ é inverso a $A$ em relação a circunferência $\alpha$, clique aqui para ver construções geométricas para determinar o ponto inverso;
2 - Faça a circunferência $\beta$ que passa pelos pontos $A,A'$ e $B$ e marque os pontos $Z_1$ e $Z_2$, interseção entre $\alpha$ e $\beta$. Os pontos $Z_1$ e $Z_2$ são os pontos ideais da h-reta $s$; e
3 - O arco $Z_1Z_2$, no interior de $\alpha$, é a h-reta $s$ determinada pelos h-pontos $A$ e $B$.

Como $A$ e $A'$ são inversos em relação a $\alpha$ e a circunferência $\beta$ passa por estes pontos, então $\beta$ é ortogonal a $\alpha$ (ver Teorema 1 - Circunferências ortogonais), por isso que o arco $Z_1Z_2$ é uma h-reta e é a única que passa por $A$ e $B$, pois só há uma única circunferência no plano euclidiano que passa pelos pontos $A, A'$ e $B$.

II-Construção da h-reta $t$ que passa pelo h-ponto $A$ e tem ponto ideal $Z_1$

Se $A, O$ e $Z_1$ forem colineares, $t$ é o diâmetro de $\alpha$ que passa por $A$ e $Z_1$. Para construção a seguir, vamos considerar que $A, O$ e $Z_1$ são não-colineares.

Poderíamos repetir a Construção 1, mas vamos apresentar outra alternativa.


Construção 2: h-reta determinada por um h-ponto e um ponto ideal

1 - $m$ é a mediatriz do segmento $\overline{AZ_1}$, $n$ é a reta tangente a $\alpha$ em $Z_1$ e $Q$ é o ponto de interseção entre $n$ e $m$;
2 - $\beta$ é a circunferência de centro $Q$ e raio $\overline{QZ_1}$ e $Z_2$ pertence à interseção entre $\alpha$ e $\beta$; e
3 - o arco $t=Z_1Z_2$ é a h-reta determinada pelo h-ponto $A$ e o ponto ideal $Z_1$.

O ponto $Q$ pertence à mediatriz de $\overline{AZ_1}$, então $\overline{QZ_1}=\overline{QA}$, assim, a circunferência $\beta$ passa por $A$. Como a reta $n$, que é tangente a $\alpha$ no ponto $Z_1$, passa pelo centro $Q$ da circunferência $\beta$, então $\alpha$ e $\beta$ são ortogonais (ver Colorário 1 - Circunferências ortogonais) e $\beta$ é a única circunferência ortogonal a $\alpha$ que tem centro em $Q$ (ver Lema 3 - Circunferências ortogonais). Por fim, a h-reta $t$  é a única que passa por $A$ e tem pontos ideais $Z_1$ e Z_2$.

III-Construção da h-reta $u$ determinada pelos pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$

Se $O, Z_1$ e $Z_2$ forem colineares, $u$ é o diâmetro de $\alpha$ com extremos em $Z_1$ e $Z_2$. Para a construção a seguir, vamos considerar que $O, Z_1$ e $Z_2$ são não-colineares.

Construção 3: h-reta $u$ determinada pelos pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$

1 - As retas $f$ e $g$ são tangentes a $\alpha$ em $Z_1$ e $Z_2$, respectivamente;
2 - O ponto $Q$ pertence à interseção entre $f$ e $g$; e
3 - $u$ é o arco de extremos $Z_1$ e $Z_2$ e centro em $Q$.

Conforme o Colorário 1 - Circunferências ortogonais, a circunferência que de centro em $Q$ e raio $\overline{QZ_1}$ é ortogonal a $\alpha$ e, conforme Lema 3 - Circunferências ortogonais, esta circunferência é unica, logo só há uma única h-reta $u$ determinada pelos pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$.

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