Classificação dos Sistemas Lineares: Entenda Cada Possibilidade

Ao estudar sistemas lineares, inevitavelmente surge a grande pergunta:
Será que o sistema tem solução?
E se tem, será única ou haverá infinitas possibilidades?

A resposta para essas questões está na classificação dos sistemas lineares — uma divisão fundamental que nos permite compreender a estrutura das soluções antes mesmo de começar os cálculos.

Vamos explorar cada tipo, com exemplos claros e interpretação geométrica, para que você domine esse tema de forma definitiva!

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🔵 Sistema Possível e Determinado (SPD)

O sistema possível e determinado é aquele que possui uma única solução. Ou seja, existe apenas um conjunto de valores para as incógnitas que satisfaz simultaneamente todas as equações.

🧠 Características principais:

• O sistema é compatível: ele possui solução.
• As equações são independentes entre si.
• Em sistemas quadrados (\(n\) equações e \(n\) incógnitas), o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero: \(D \neq 0\).

📐 Interpretação geométrica:

No plano, dois sistemas com duas variáveis correspondem a duas retas que se cruzam em um único ponto.

📋 Exemplo:

$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $$

Resolvendo:

• Somando as equações: \(2x = 6\) ⟹ \(x = 3\).
• Substituindo na primeira: \(3 + y = 5\) ⟹ \(y = 2\).

➡️ Solução única: \((x, y) = (3, 2)\).

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🟢 Sistema Possível e Indeterminado (SPI)

O sistema possível e indeterminado é aquele que possui infinitas soluções. Existem infinitos conjuntos de valores que satisfazem todas as equações simultaneamente.

🧠 Características principais:

• O sistema é compatível: existe solução.
• As equações são dependentes: uma equação pode ser escrita como múltiplo da outra.
• O determinante da matriz dos coeficientes é zero: \(D = 0\).

📐 Interpretação geométrica:

No plano, as equações representam retas coincidentes — ou seja, a mesma reta desenhada duas vezes.

📋 Exemplo:

$$ \begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ x + 2y = 3 \end{cases} $$

Observe que a primeira equação é simplesmente o dobro da segunda. Portanto, as duas representam a mesma reta.

Expressando a solução:

• Tomamos \(y = t\) (parâmetro real).
• Da segunda equação: \(x = 3 - 2t\).

➡️ Soluções infinitas da forma:

$$ \boxed{ \left\{ \begin{aligned} x &= 3 - 2t \\ y &= t \end{aligned} \quad \text{com } t \in \mathbb{R} \right. } $$

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🔴 Sistema Impossível (SI)

O sistema impossível é aquele que não possui nenhuma solução. As equações se contradizem e não existe nenhum par de valores que satisfaça todas simultaneamente.

🧠 Características principais:

• O sistema é incompatível: não há solução.
• As equações são proporcionalmente contraditórias.
• O determinante da matriz dos coeficientes é zero: \(D = 0\).

📐 Interpretação geométrica:

No plano, as equações representam retas paralelas distintas — que nunca se encontram.

📋 Exemplo:

$$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 5 \end{cases} $$

Note que a segunda equação parece ser o dobro da primeira no lado esquerdo, mas no lado direito não segue a mesma proporção.

Tentando resolver:

• Multiplicando a primeira por 2: \(2x + 2y = 4\), mas a segunda equação é \(2x + 2y = 5\).

➡️ Contradição: não existe solução!

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🧩 Como classificar um sistema linear aplicando a Regra de Cramer

Além da análise geométrica e algébrica, existe uma ferramenta poderosa para classificar sistemas quadrados: a Regra de Cramer.

A lógica é simples e baseada no comportamento dos determinantes:

• 1. Calcule o determinante da matriz dos coeficientes (\(D\)).
• 2. Calcule também os determinantes das matrizes \(D_x\), \(D_y\) (e \(D_z\), se necessário), substituindo as colunas pelos termos independentes.

Então:

• Se \(D \neq 0\), o sistema é possível e determinado (SPD): existe uma única solução.
• Se \(D = 0\) e todos os determinantes auxiliares também forem iguais a zero, o sistema é possível e indeterminado (SPI): infinitas soluções.
• Se \(D = 0\) e pelo menos um dos determinantes auxiliares for diferente de zero, o sistema é impossível (SI): não existe solução.

💬 Quer aprender mais sobre como aplicar a Regra de Cramer na prática, com exemplos resolvidos e dicas?
👉 Não deixe de conferir a postagem completa no Bendita Matemática:
🔗 Regra de Cramer: Soluções com Determinantes

Essa leitura vai complementar perfeitamente o que vimos aqui!

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