Regra de Cramer: Soluções com Determinantes

Você já viu que sistemas lineares podem ser resolvidos por substituição, adição ou eliminação. Mas... e se existisse um método que usasse somente determinantes para encontrar as soluções? Sim, isso é possível com a elegante Regra de Cramer!

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🧠 O que é a Regra de Cramer?

A Regra de Cramer é um método algébrico que permite resolver sistemas lineares quadrados (ou seja, com o mesmo número de equações e incógnitas), desde que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero.

Ela fornece uma fórmula direta para encontrar cada incógnita do sistema, usando frações de determinantes.

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📜 Nota histórica

A Regra de Cramer leva o nome do matemático suíço Gabriel Cramer (1704–1752), que a apresentou em 1750 na obra Introduction à l'Analyse des lignes Courbes Algébriques.
Cramer desenvolveu o método como parte de seus estudos sobre sistemas de equações e determinantes — um conceito que na época ainda estava em formação.
Sua contribuição foi essencial para estruturar as bases da Álgebra Linear, mesmo que a terminologia moderna (como "matriz" e "determinante") tenha sido formalizada apenas décadas mais tarde.
Hoje, a Regra de Cramer é uma das primeiras aplicações práticas do conceito de determinante ensinadas em cursos de Matemática.

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🔣 Quando usar?

• Quando o sistema é quadrado: \(n\) equações com \(n\) incógnitas
• Quando o determinante da matriz dos coeficientes (\(D\)) é diferente de zero
• Ideal para sistemas pequenos (2x2 ou 3x3)

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📋 Fórmulas gerais

Considere o sistema:

$$ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{cases} $$

1. Monte a matriz dos coeficientes \(A\)

2. Calcule o determinante principal \(D = \det(A)\)

3. Para cada incógnita, substitua a respectiva coluna por \(B\) (vetor dos termos independentes) e calcule:

$$ x = \frac{\det(A_x)}{D}, \quad y = \frac{\det(A_y)}{D}, \quad z = \frac{\det(A_z)}{D} $$

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✅ Exemplo 1: sistema com 2 incógnitas

Vamos resolver o sistema:

$$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 4 \end{cases} $$

1. Matriz dos coeficientes:

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad D = 1 \cdot (-1) - 3 \cdot 2 = -1 - 6 = -7 $$

2. Matriz \(A_x\) (substituímos a 1ª coluna pelos termos independentes):

$$ A_x = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \det(A_x) = 5 \cdot (-1) - 4 \cdot 2 = -5 - 8 = -13 $$

3. Matriz \(A_y\) (substituímos a 2ª coluna pelos termos independentes):

$$ A_y = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \det(A_y) = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 5 = 4 - 15 = -11 $$

4. Solução:

$$ x = \frac{-13}{-7} = \frac{13}{7}, \quad y = \frac{-11}{-7} = \frac{11}{7} $$

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✅ Exemplo 2: sistema com 3 incógnitas

Vamos resolver:

$$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 14 \\ x - y + 2z = 2 \end{cases} $$

1. Matriz dos coeficientes:

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} $$

Determinante \(D = \det(A)\):

Aplicando a Regra de Sarrus:

$$ D = 1(3 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) - 1(2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) + 1(2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1) $$

$$ D = 1(6 + 1) - 1(4 - 1) + 1(-2 - 3) = 7 - 3 - 5 = -1 $$

2. Matriz \(A_x\) (substituir a 1ª coluna por \(B = [6, 14, 2]\)):

$$ A_x = \begin{bmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 14 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \det(A_x) = -4 $$

3. Matriz \(A_y\) (substituir a 2ª coluna por \(B\)):

$$ A_y = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 14 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \det(A_y) = -2 $$

4. Matriz \(A_z\) (substituir a 3ª coluna por \(B\)):

$$ A_z = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 14 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \det(A_z) = 0 $$

5. Solução:

$$ x = \frac{-4}{-1} = 4, \quad y = \frac{-2}{-1} = 2, \quad z = \frac{0}{-1} = 0 $$

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🎯 Vantagens

• Fórmulas diretas e fáceis de programar
• Excelente para sistemas pequenos
• Aplica conceitos de determinante na prática

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⚠️ Limitações

• Só funciona se \(D \neq 0\)
• Não é recomendado para sistemas grandes (computacionalmente custoso)
• Não detecta automaticamente infinitas soluções ou ausência de solução

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