Proposição 1 - Seja $\alpha$ uma circunferência com centro em $O$ e raio $r$. Considerando uma reta $t$ que não passa por $O$ e a circunferência $t'$, inversa de $t$ em relação à $\alpha$ (ver Teorema 1(I) - Inversão de reta em relação à circunferência). A reta $t_0$ tangente a $t'$ no ponto $O$ é paralela a $t$.
DEMONSTRAÇÃO
Observe a Figura 1, vamos considerar, por absurdo, que $t_0$ e $t$ se intersetam num ponto $P\neq\Omega$, onde $\Omega$ é o ponto ideal do plano euclidiano $\mathbb{E}_\infty$. Como o inverso de $t_0$, em relação à $\alpha$, é a própria reta $t_0$ (ver Teorema 1(II) - Inversão de reta em relação à circunferência) e o inverso da reta $t$ é a circunferência $t'$ que passa por $O$, então $t_0\cap t=\{O,P'\}$, que é um absurdo, por hipótese, $t_0$ é tangente à $t'$ no ponto $O$. Portanto, $t_0$ é paralela a $t$.
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| Figura 1: Reta $t_0$ é paralela à reta $t$ |
Proposição 2 - Seja $\alpha$ uma circunferência de inversão com centro em $O$ e raio $r$. Sendo $u$ e $v$ retas concorrentes no ponto $P\neq\Omega$, então, os ângulos entre as retas $u$ e $v$ é igual ao ângulo formado por $u'$ e $v'$, inversos de $u$ e $v$, respectivamente.
DEMONSTRAÇÃO
CASO 1
Vamos considerar que $\theta$ é a medida do ângulo formado pelas retas $u$ e $v$ e $\theta'$ é a medida do ângulo formado por $u'$ e $v'$.
Se $P=O$, ou seja, $u$ e $v$ passam pelo centro de inversão, temos que $u=u'$ e $v=v'$, logo, $\theta=\theta'$.
CASO 2
Se $P\neq O$, ou seja, ao menos uma das retas não passa por $O$, vamos considerar que $u$ não passa por $O$ e $v$ passa, como ilustrado na Figura 2. A circunferência $u'$ é o inverso da reta $u$, $P'$ é o inverso do ponto $P$, $u_0$ é a reta tangente a $u'$ no ponto $O$, $\theta$ é a medida do ângulo destacado no ponto $P$ formado pelas retas $u$ e $v$ e $\theta_0$ é a medida do ângulo destacado no ponto $O$ formado pelas retas $u_0$ e $v$.
Pela Proposição 1, a reta $u_0$ é paralela à reta $u$. Assim, $\theta$ e $\theta_0$ são ângulos formados por duas retas paralelas, $u$ e $u_0$, cortadas por uma transversal $v$, onde $\theta$ e $\theta_0$ são ângulos correspondentes, logo $\theta=\theta_0$. Pela Definição 1-Circunferências Ortogonais, $\theta_0$ é um ângulo formado pela reta $v$ e a circunferência $u'$. Como o inverso da reta $v$ é a própria reta $v$, verificamos que o ângulo formado por uma reta $v$ que passa pelo centro de inversão com uma reta $u$ que não passa passa pelo centro de inversão é congruente ao ângulo formado pelos inversos de $u$ e $v$ no ponto $O$.
CASO 3
Observe a Figura 3, as retas $u$ e $v$ não passam pelo centro de inversão $O$. As circunferências $u'$ e $v'$ são os inversos de $u$ e $v$, respectivamente. As retas $u_0$ e $v_0$ são tangentes às circunferências $u'$ e $v'$, respectivamente, no ponto $O$. $\theta$ é um ângulo formado pelas retas $u$ e $v$ e $\theta_0$ é o ângulo formado pelas circunferências $u'$ e $v'$. Sendo $u_0$ paralela a $u$ e $v_0$ paralela a $v$, então $\theta\cong\theta_0$.
Nos casos 2 e 3, o ângulo formado por $u'$ e $v'$ no ponto $P'$, inverso de $P$, também é congruente a $\theta$ (ver Lema 1 - Circunferências Ortogonais).
Proposição 3 - Seja $\alpha$ uma circunferência de inversão de centro $O$ e raio $r$. Se uma reta $t$ e uma circunferência $\beta$ são tangentes num ponto $P\neq O$, então suas respectivas inversões, $t'$ e $\beta'$, são tangente em $P'$, inverso de $P$.
DEMONSTRAÇÃO
Como $P$ é o único ponto de interseção entre $t$ e $\beta$, então, $P'$ é o único ponto de interseção entre $t'$ e $\beta'$. Como $P\neq O$, então, $P'\neq\Omega$, logo $t'$ e $\beta'$ são tangentes em $P'$, ver Figura 4.
Desta forma, mostramos que a inversão em relação a circunferência é uma aplicação conforme, ou seja, conserva ângulos. o que a torna importante para geometria hiperbólica, pois podemos utilizar a inversão para definir uma isometria no plano hiperbólico $\mathbb{H}$.
DEMONSTRAÇÃO
CASO 1
Vamos considerar que $\theta$ é a medida do ângulo formado pelas retas $u$ e $v$ e $\theta'$ é a medida do ângulo formado por $u'$ e $v'$.
Se $P=O$, ou seja, $u$ e $v$ passam pelo centro de inversão, temos que $u=u'$ e $v=v'$, logo, $\theta=\theta'$.
CASO 2
Se $P\neq O$, ou seja, ao menos uma das retas não passa por $O$, vamos considerar que $u$ não passa por $O$ e $v$ passa, como ilustrado na Figura 2. A circunferência $u'$ é o inverso da reta $u$, $P'$ é o inverso do ponto $P$, $u_0$ é a reta tangente a $u'$ no ponto $O$, $\theta$ é a medida do ângulo destacado no ponto $P$ formado pelas retas $u$ e $v$ e $\theta_0$ é a medida do ângulo destacado no ponto $O$ formado pelas retas $u_0$ e $v$.
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| Figura 2: Inversão de ângulo formado por duas retas onde apenas uma passa pelo centro de inversão |
CASO 3
Observe a Figura 3, as retas $u$ e $v$ não passam pelo centro de inversão $O$. As circunferências $u'$ e $v'$ são os inversos de $u$ e $v$, respectivamente. As retas $u_0$ e $v_0$ são tangentes às circunferências $u'$ e $v'$, respectivamente, no ponto $O$. $\theta$ é um ângulo formado pelas retas $u$ e $v$ e $\theta_0$ é o ângulo formado pelas circunferências $u'$ e $v'$. Sendo $u_0$ paralela a $u$ e $v_0$ paralela a $v$, então $\theta\cong\theta_0$.
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| Figura 3: Inversão de ângulo formado por duas retas que não passam pelo centro de inversão |
Proposição 3 - Seja $\alpha$ uma circunferência de inversão de centro $O$ e raio $r$. Se uma reta $t$ e uma circunferência $\beta$ são tangentes num ponto $P\neq O$, então suas respectivas inversões, $t'$ e $\beta'$, são tangente em $P'$, inverso de $P$.
DEMONSTRAÇÃO
Como $P$ é o único ponto de interseção entre $t$ e $\beta$, então, $P'$ é o único ponto de interseção entre $t'$ e $\beta'$. Como $P\neq O$, então, $P'\neq\Omega$, logo $t'$ e $\beta'$ são tangentes em $P'$, ver Figura 4.
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| Figura 4: Inversão da reta $t$ e circunferência $\beta$ tangentes no ponto $P$ |
No caso da reta $t$ tangenciar a circunferência $\beta$ no ponto $O$, veremos que os inversos não se intersetam, pois, sendo o inverso da reta $t$ a própria reta $t$, pois passa pelo centro de inversão, o inverso de $\beta$ é uma reta que não passa por $O$ e o inverso de $O$ é o ponto ideal $\Omega$, então, $t'$ e $\beta'$ são retas paralelas, ver Figura 5.
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| Figura 5: Inversão da reta $t$ e circunferência $\beta$ tangentes no ponto $O$ |
Proposição 4 - Seja $\alpha$ uma circunferência de inversão de centro $O$ e raio $r$. Se $\beta$ e $\gamma$ são circunferências que não passam por $O$, então, o ângulo entre $\beta$ e $\gamma$ é congruente ao ângulo entre $\beta'$ e $\gamma'$.
DEMONSTRAÇÃO
Sejam $\beta$ e $\gamma$ duas circunferências que não passam por $O$. Sejam $t_1$ e $t_2$ as retas tangentes à $\beta$ e $\gamma$, respectivamente, no ponto $P$ de intersecção das circunferências. Então, a circunferência $t'_1$ é tangente à circunferência $\beta'$ e a circunferência $t'_2$ é tangente à $\gamma'$. Pela Proposição 2, o ângulo entre $t_1$ e $t_2$ é igual ao ângulo entre $t'_1$ e $t'_2$.
Sejam $t_3$ a reta tangente à $\beta'$ no ponto $P'$ e $t_4$ a reta tangente à $\gamma'$ no ponto $P'$. Assim, $t_3$ é tangente à $t'_1$ em $P'$ e $t_4$ é tangente à $t'_2$ em $P'$. Logo, o ângulo entre $t_3$ e $t_4$ é ângulo entre $t'_1$ e $t'_2$ que, por sua vez, é o ângulo entre $t_1$ e $t_2$.
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| Figura 6: Inversão de ângulos formados por circunferências não passam no ponto $O$ |
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
MUNARETTO, Ana Cristina Corrêa. Resolução do problema de Apolônio por meio de inversão: Um roteiro de estudo para a formação de Professores em Geometria. 2010. 61 f. Monografia (Especialização) - Curso de Pós-graduação em Expressão Gráfica, Departamento de Expressão Gráfica, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2010.
