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terça-feira, 18 de agosto de 2015

Equação da reta no plano complexo

Introdução

Estou lendo a dissertação do amigo Laércio Francisco Feitosa, com o título Aplicações dos Números Complexos na Geometria Plana, que foi defendida no programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional da UFPB, em 2013 (no final da postagem, deixei o link para quem desejar baixar e ler). Gostaria de aproveitar o momento e parabenizá-lo, excelente contribuição! 

O conjunto dos números complexos surgiu como resposta a um problema que desafiou matemáticos durante séculos. A solução do problema envolvia o uso de raíz quadrada de números negativos. No entanto, o primeiro matemático a usar raízes quadradas de números negativos em seus trabalhos foi o italiano Girolamo Cardano (1501-1576), quando tentava encontrar uma fórmula resolutiva para equações do 3º grau. Mas foi René Descartes (1596-1650) que cunhou o nome imaginário para as raízes quadradas de números negativos. Mais tarde, os matemáticos De Moivre (1667-1754) e Newton (1642-1727), combinaram trigonometria com números complexos em seus trabalhos. Mais tarde ainda, Euler (1707-1783) usou $i$ para designar o número imaginário $\sqrt{-1}$, que foi amplamente aceito, pois ocultava o espectro da raiz quadrada negativa. O topógrafo e cartógrafo norueguês Caspar Wessel (1745-1818) foi o primeiro a representar geometricamente os números complexos. (recorte da introdução da dissertação)

Nesta postagem, apresento uma demonstração para equação da reta no plano complexo, é diferente da demonstração que foi apresentada na dissertação, mas é fundamentada no trabalho que estou lendo. Não farei uma apresentação sobre números complexos, pois excede o objetivo da postagem, assim, vou considerar verdadeiros os Postulados 1 e 2, mesmo sabendo que são teoremas, assim, evito de demonstrá-los, mas os apresento a fim de facilitar a compreensão das demonstrações.

Postulado 1

Sejam $z_1$ e $z_2$ pontos do plano complexo e $\overline{z_1}$ e $\overline{z_2}$ seus respectivos conjugados, são verdadeiras as igualdades:
  1. $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
  2. $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}$
  3. $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$
Postulado 2

Sejam $z_1,z_2$ e $z_3$ pontos colineares do plano complexo, temos $\dfrac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\in\mathbb{R}$

Reta

Seja $r$ uma reta que passa pelos pontos $A(x_a,y_a)$ e $B(x_b,y_b)$. Sendo $P(x,y)$ um ponto genérico de $r$, podemos definir $r$ através da equação paramétrica
$$r:\left\{\begin{matrix}x=x_a+t\cdot (x_b-x_a)\\ y=y_a+t\cdot (y_b-y_a)\end{matrix}\right.,t\in\mathbb{R}$$
Também poderíamos definir $r$ na forma
$$r:(x,y)=(x_a,y_a)+t\cdot[ (x_b,y_b)-(x_a,y_a)]$$
Associando $A(x_a,y_a),B(x_b,y_b)$ e o ponto genérico $P(x,y)$ aos números complexos $z_a=x_a+y_b\cdot i,z_b=x_b+y_b\cdot i$ e $z=x+y\cdot i$, respectivamente, a equação da reta $r$ no plano complexo será
$$r:z=z_a+t\cdot (z_b-z_a), t\in\mathbb{R}$$
Logo,
$$t=\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}$$
Como $\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}\in\mathbb{R}$,então
$$\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}=\overline{\left(\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}\right)}=\dfrac{\overline{z-z_a}}{\overline{z_b-z_a}}=\dfrac{\overline{z}-\overline{z_a}}{\overline{z_b}-\overline{z_a}} \\ \Downarrow \\ \dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}=\dfrac{\overline{z}-\overline{z_a}}{\overline{z_b}-\overline{z_a}} \\ \Downarrow \\ \left(z-z_a\right)\cdot\left(\overline{z_b}-\overline{z_a}\right)=\left(z_b-z_a\right)\cdot\left(\overline{z}-\overline{z_a}\right) \\ \Downarrow \\ z\cdot\overline{z_b}-z\cdot\overline{z_a}-z_a\cdot\overline{z_b}+z_a\cdot\overline{z_a}=z_b\cdot\overline{z}-z_b\cdot\overline{z_a}-z_a\cdot\overline{z}-z_a\cdot\overline{z_a} \\ \Downarrow \\ \left(z_b-z_a\right)\cdot \overline{z}-\left(\overline{z_b}-\overline{z_a}\right)\cdot z + z_a\cdot\overline{z_2}-\overline{z_1}\cdot z_2=0$$

Tomando $B=\left(z_b-z_a\right)\Rightarrow \overline{B}=\left(\overline{z_b}-\overline{z_a}\right)$ e $C= \left(z_a\cdot\overline{z_2}-\overline{z_1}\cdot z_2\right($, assim, podemos definir a reta $r$ como:
$$r:B\cdot\overline{z}-\overline{B}\cdot z + C=0$$

EXEMPLO

Determine a equação da reta $r$ que passa nos pontos $z_a=2-3\cdot i$ e $z_b=-1+2\cdot i$.

SOLUÇÃO
Temos
$B=-1+2\cdot i-\left(2-3\cdot i\right)=-3+5\cdot i \Rightarrow \overline{B}=-3-5\cdot i$
$C=\left(2-3\cdot i\right)\cdot\left(-1-2\cdot i\right)-\left(2+3\cdot i\right)\cdot\left(-1+2\cdot i\right)=-2\cdot i$
Então, a equanção da reta $r$ será
$$r:\left(-3-5\cdot i\right)\cdot\overline{z}-\left(-3-5\cdot i\right)\cdot z - 2\cdot i=0$$

REFERÊNCIA

domingo, 9 de agosto de 2015

Resolução de Equações do 2º grau pelo método de Viète

François Viète
Normalmente, na escola, estudamos dois métodos de resolver equações do 2º grau, a técnica de completar quadrados e a fórmula de resolução da equação do 2º grau, também conhecida como fórmula de Bháskara. O que poucos sabem, ao menos professores de Matemática que eu conheço, é outro método, conhecido como Método de Viète para resolver equações do 2º grau. Não vou garantir que este método é mais fácil do que os outros dois ensinados na escola, penso que cada pessoa os vêem de forma diferente, mas vale apena conhecer!
Nesta postagem, saberemos, de forma muito resumida, quem foi Viète, onde saberemos algumas de suas contribuições para Matemática, conheceremos o seu método para resolver equações do 2º grau e concluimos com um exemplo para facilitar a compreensão da aplicação do Método de Viète.

Quem era Viète?

François Viète era um advogado francês que viveu entre 1540 e 1603. Nas horas de lazer se dedicava à Matemática, deu grandes contribuições à Aritmética, Algébra, Trigonometria e Geometria. Foi primeiro a publicar uma obra que fazia distinção entre parâmetro, valor supostamente conhecido, e incógnita, valor desconhecido. Costumava usar vogais para representar os parâmetros e usava consoantes para representar as incógntas. Viète desenvolveu novos métodos de solução e percebeu relações entre raízes e coeficientes das equações, embora seus trabalhos tiveram várias restrinções por não aceitar raízes negativas.

O método de Viète para resolver equações do 2ºgrau

Considere a equação $ax^2 + bx + c = 0$, com parâmetros $a,b,c\in\mathbb{R}$, $a\neq 0$ e $x$ é uma variável real.
Sejam $u,v\in\mathbb{R}$ tal que $x = u + v$. Entao:
$$\begin{equation} a\left(u+v\right)^2 + b\cdot\left(u + v\right) + c = 0 \\
au^2 + 2auv + av^2 + bu + bv + c = 0 \\
au^2 + u\cdot\left(2av + b\right) + \left(av^2 + bv + c\right) = 0\label{eq1}\end{equation}$$
Vamos neutralizar o termo $u\cdot\left(2av + b\right)$, tomando $\left(2av + b\right) = 0$, assim, transformaremos a equação do segundo 2º grau completa em uma equação do 2º grau incompleta e poderemos determinar o valor de $v$ em função e $a$ e $b$.
$$\begin {equation}
2av + b = 0 \\
v =-\frac{b}{2a}\label{eq2}
\end{equation}$$
Vamos tomar $\ref{eq2}$ em $\ref{eq1}$:
$$\begin{equation}
au^2+\left(a\cdot\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\cdot\left(-\frac{b}{2a}\right)+c\right)=0 \\
au^2+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c =0 \\
u=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\label{eq3}
\end{equation}$$
Como $ x = u + v$, Tomando $\ref{eq2}$ e $\ref{eq3}$, temos
$$ x = -\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x =\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

Exemplo

Vamos resolver a equação $6x^2-5x+1=0$
Consideremos $x=u+v$, temos:
$$6\cdot\left(u+v\right)^2-5\cdot\left(u+v\right)+1=0 \\ 6\cdot\left(u^2+2uv+v^2\right)-5u-5v+1=0 \\ 6u^2+12uv+6v^2-5u-5v+1=0 \\ 6u^2+u\cdot\left(12v-5\right)+\left(6v^2-5v+1\right)=0$$
Vamos neutralizar o termo $u\cdot\left(12v-5\right)$ tomando $\left(12v-5\right)=0$:
$$12v-5=0\Rightarrow v=\frac{5}{12}$$
Substituiremos $v$ por $\dfrac{5}{12}$ na equação $6u^2+u\cdot\left(12v-5\right)+\left(6v^2-5v+1\right)=0$
$$6u^2+\left[6\left(\frac{5}{12}\right)^2-5\left(\frac{5}{12}\right)+1\right]=0\\6u^2+\frac{25}{24}-\frac{25}{12}+1=0 \\ 6u^2-\frac{1}{24}=0 \\ u=\pm\sqrt{\frac{1}{144}} \\ u=\pm\frac{1}{12}$$
Como $x=u+v$, então:
$x=\pm\dfrac{1}{12}+\dfrac{5}{12}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1=\dfrac{1}{2} \\ \\ x_2=\dfrac{1}{3} \end{matrix}\right.$ 

Conclusão

O método de Viète é tão eficaz quanto a técnica de completar quadrados e a aplicação direta da fórmula de resolução da equação do 2º grau, podendo ser apresentado na sala de aula como alternativa para os alunos que têm dificuldades nos métodos normalmente apresentados na escola.

Referência

http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/eq123graus.PDF
http://ecalculo.if.usp.br/historia/viete.htm
Amaral, JT. Método de Viète para resolução de equações do 2º grau. RPM nº 13