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terça-feira, 18 de agosto de 2015

Equação da reta no plano complexo

Introdução

Estou lendo a dissertação do amigo Laércio Francisco Feitosa, com o título Aplicações dos Números Complexos na Geometria Plana, que foi defendida no programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional da UFPB, em 2013 (no final da postagem, deixei o link para quem desejar baixar e ler). Gostaria de aproveitar o momento e parabenizá-lo, excelente contribuição! 

O conjunto dos números complexos surgiu como resposta a um problema que desafiou matemáticos durante séculos. A solução do problema envolvia o uso de raíz quadrada de números negativos. No entanto, o primeiro matemático a usar raízes quadradas de números negativos em seus trabalhos foi o italiano Girolamo Cardano (1501-1576), quando tentava encontrar uma fórmula resolutiva para equações do 3º grau. Mas foi René Descartes (1596-1650) que cunhou o nome imaginário para as raízes quadradas de números negativos. Mais tarde, os matemáticos De Moivre (1667-1754) e Newton (1642-1727), combinaram trigonometria com números complexos em seus trabalhos. Mais tarde ainda, Euler (1707-1783) usou $i$ para designar o número imaginário $\sqrt{-1}$, que foi amplamente aceito, pois ocultava o espectro da raiz quadrada negativa. O topógrafo e cartógrafo norueguês Caspar Wessel (1745-1818) foi o primeiro a representar geometricamente os números complexos. (recorte da introdução da dissertação)

Nesta postagem, apresento uma demonstração para equação da reta no plano complexo, é diferente da demonstração que foi apresentada na dissertação, mas é fundamentada no trabalho que estou lendo. Não farei uma apresentação sobre números complexos, pois excede o objetivo da postagem, assim, vou considerar verdadeiros os Postulados 1 e 2, mesmo sabendo que são teoremas, assim, evito de demonstrá-los, mas os apresento a fim de facilitar a compreensão das demonstrações.

Postulado 1

Sejam $z_1$ e $z_2$ pontos do plano complexo e $\overline{z_1}$ e $\overline{z_2}$ seus respectivos conjugados, são verdadeiras as igualdades:
  1. $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
  2. $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}$
  3. $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$
Postulado 2

Sejam $z_1,z_2$ e $z_3$ pontos colineares do plano complexo, temos $\dfrac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\in\mathbb{R}$

Reta

Seja $r$ uma reta que passa pelos pontos $A(x_a,y_a)$ e $B(x_b,y_b)$. Sendo $P(x,y)$ um ponto genérico de $r$, podemos definir $r$ através da equação paramétrica
$$r:\left\{\begin{matrix}x=x_a+t\cdot (x_b-x_a)\\ y=y_a+t\cdot (y_b-y_a)\end{matrix}\right.,t\in\mathbb{R}$$
Também poderíamos definir $r$ na forma
$$r:(x,y)=(x_a,y_a)+t\cdot[ (x_b,y_b)-(x_a,y_a)]$$
Associando $A(x_a,y_a),B(x_b,y_b)$ e o ponto genérico $P(x,y)$ aos números complexos $z_a=x_a+y_b\cdot i,z_b=x_b+y_b\cdot i$ e $z=x+y\cdot i$, respectivamente, a equação da reta $r$ no plano complexo será
$$r:z=z_a+t\cdot (z_b-z_a), t\in\mathbb{R}$$
Logo,
$$t=\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}$$
Como $\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}\in\mathbb{R}$,então
$$\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}=\overline{\left(\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}\right)}=\dfrac{\overline{z-z_a}}{\overline{z_b-z_a}}=\dfrac{\overline{z}-\overline{z_a}}{\overline{z_b}-\overline{z_a}} \\ \Downarrow \\ \dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}=\dfrac{\overline{z}-\overline{z_a}}{\overline{z_b}-\overline{z_a}} \\ \Downarrow \\ \left(z-z_a\right)\cdot\left(\overline{z_b}-\overline{z_a}\right)=\left(z_b-z_a\right)\cdot\left(\overline{z}-\overline{z_a}\right) \\ \Downarrow \\ z\cdot\overline{z_b}-z\cdot\overline{z_a}-z_a\cdot\overline{z_b}+z_a\cdot\overline{z_a}=z_b\cdot\overline{z}-z_b\cdot\overline{z_a}-z_a\cdot\overline{z}-z_a\cdot\overline{z_a} \\ \Downarrow \\ \left(z_b-z_a\right)\cdot \overline{z}-\left(\overline{z_b}-\overline{z_a}\right)\cdot z + z_a\cdot\overline{z_2}-\overline{z_1}\cdot z_2=0$$

Tomando $B=\left(z_b-z_a\right)\Rightarrow \overline{B}=\left(\overline{z_b}-\overline{z_a}\right)$ e $C= \left(z_a\cdot\overline{z_2}-\overline{z_1}\cdot z_2\right($, assim, podemos definir a reta $r$ como:
$$r:B\cdot\overline{z}-\overline{B}\cdot z + C=0$$

EXEMPLO

Determine a equação da reta $r$ que passa nos pontos $z_a=2-3\cdot i$ e $z_b=-1+2\cdot i$.

SOLUÇÃO
Temos
$B=-1+2\cdot i-\left(2-3\cdot i\right)=-3+5\cdot i \Rightarrow \overline{B}=-3-5\cdot i$
$C=\left(2-3\cdot i\right)\cdot\left(-1-2\cdot i\right)-\left(2+3\cdot i\right)\cdot\left(-1+2\cdot i\right)=-2\cdot i$
Então, a equanção da reta $r$ será
$$r:\left(-3-5\cdot i\right)\cdot\overline{z}-\left(-3-5\cdot i\right)\cdot z - 2\cdot i=0$$

REFERÊNCIA

5 comentários:

  1. Me foi de grande ajuda, estava estudando pelo livro do Geraldo Ávila, mas não encontrei conteúdo sobre isto nele. Bom trabalho, obrigado :-)

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  2. Corrigindo: Acabei de encontrar no livro do Ávila, mas de forma bem superficial.

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  3. Gostei do artigo, mas não consegui mesma resposta para esse exercício resolvido. Posso ter cometido algum erro.https://drive.google.com/file/d/1_zefIgedlD3PY2zCy_vnBTh_RIQFhxmU/view?usp=drivesdk

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    1. Este comentário foi removido pelo autor.

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    2. Olá, Anderson Douglas, vejamos:
      Vamos determinar a equação $r$ da reta que passa pelos pontos $z_1=i$ e $z_2=1$.
      Temos
      $$
      \left \{ \begin{matrix}
      z_1 & = & i\\
      z_2 & = & 1
      \end{matrix} \right.\Rightarrow\left \{ \begin{matrix}
      \overline{z_1} & = & -i\\
      \overline{z_2} & = & 1
      \end{matrix} \right.$$
      A equação tem a forma $$B\cdot\overline{z}-\overline{B}\cdot z+C=0$$
      onde $$\begin{matrix}
      B=(z_2-z_1)=(1-i)\Rightarrow\overline{B}=(1+i)\\
      \text{ e }\\
      C=(z_1\cdot\overline{z_2}-\overline{z_1}\cdot z_2)=i\cdot 1 -(-i)\cdot 1=i+i=2i
      \end{matrix}$$
      Desta forma, temos a equação $r$
      $$\begin{equation}\label{a} r:(1-i)\cdot\overline{z}-(1+i)\cdot z+2i=0\end{equation}$$
      Veja que para $z=z_1=i\Rightarrow\overline{z}=-i$ na Equação $\eqref{a}$, temos
      $$(1-i)\cdot(-i)-(1+i)\cdot i+2i=-i-1-i+1+2i=0$$
      O mesmo acontece se $z=z_2=1\Rightarrow\overline{z}=1$:
      $$(1-i)\cdot 1-(1+i)\cdot 1+2i=1-i-1-i+2i=0$$

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