GEOMETRIA HIPERBÓLICA: O modelo de Disco de Poincaré

Jules Henri Poincaré (1854-1912) era Engenheiro de Minas pela École Polytechnique (1875), trabalhou no Departamento de Minas até falecer. Foi Doutor em Ciências pela Universidade de Paris (1879), onde adquiriu Cátedra, e foi professor da Universidade de Sorbone. Ao contrário de outros famosos matemáticos, Poincaré se revelou um gênio na idade adulta e foi prova viva que habilidade para os números não é um pré-requisito para ser um grande matemático, pois, Poincaré não tinha habilidade para cálculos laboriosos mas é considerado um universalista em Matemática. 

O modelo de Disco de Poincaré para Geometria Hiperbólica foi criado entre 1882 e 1887. Ele faz uso da Geometria Euclidiana, mas utilizando os postulados da Geometria Hiperbólica, assim, se houver alguma inconsistência, então, também há inconsistência na Geometria Euclidiana.

Circunferências Ortogonais

Antes de apresentar o Disco de Poincaré, vamos definir circunferências ortogonais, pois é necessário para compreensão deste modelo para geometria hiperbólica.

Sejam $c$ e $d$ duas circunferências que se intersetam em dois pontos $A$ e $B$. Traçamos uma reta $s$ tangente a $c$ no ponto $A$ e a reta $t$ tangente a $d$ no ponto $A$. Dizemos que $c$ é uma circunferência ortogonal à $d$ se a reta $s$ for perpendicular a reta $t$, ver Figura A

Figura A: Circunferência $c$ é ortogonal à circunferência $d$

Ponto, reta e plano no disco de Poincaré

Sejam $\mathbb{E}$ o plano euclidiano, $O$ e $P$ pontos de $\mathbb{E}$, não necessariamente distintos, $r$ uma distância euclidiana não-nula e $d(O,P)$ a distância euclidiana entre os pontos $O$ e $P$. Definimos o plano hiperbólico ou h-plano e denominaremos por $\mathbb{H}$, o lugar geométrico dos pontos $P$ tal que $d(O,P)<r$.

$$\mathbb{H}=\{O,P\in\mathbb{E} | d(O,P)<r\}$$

Assim, a região $\mathbb{H}$ estará no interior da circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r$, sendo que $\alpha$ não está contida em $\mathbb{H}$, ver Figura 1.

Figura 1: H-plano

Os pontos que estão a uma distância menor que o raio $r$ de $\alpha$ do ponto $O$ são os pontos hiperbólico ou h-pontos. Os pontos que pertencerem a $\alpha$, ou seja, que estão a uma distância $r$ do ponto $O$, são chamados de pontos ideais. Na Figura 2, $A$ é um h-ponto, pois a distância euclidiana entre os pontos $O$ e $A$ é menor que o raio $r$ de $\alpha$. O ponto $B$ não é um h-ponto $(B\notin\mathbb{H})$, pois a distância euclidiana entre os pontos $O$ e $B$ é igual a $r$, mas $B$ é um ponto ideal.

Figura 2: h-ponto $A$ e ponto ideal $B$

O ponto $O$ também é um h-ponto, pois $d(O,O)=0<r$, e, embora sejam importantes para construções no h-plano, os pontos euclidianos que estão a uma distância maior que $r$ do ponto $O$ não têm alguma denominação no Disco de Poincaré.

Existem dois tipos de retas hiperbólica ou h-retas:

1. Sejam, em $\mathbb{E}$, $\beta$ uma circunferência ortogonal a $\alpha$, os pontos $z_1$ e $z_2$, interseção entre $\alpha$ e $\beta$ e o arco $u_\beta$ formado por todos os pontos de $\beta$ que estão a uma distância euclidiana menor que $r$ do ponto $O$. No h-plano, $u_\beta$ é uma h-reta com pontos ideais $z_1$ e $z_2$. Dizemos que a h-reta $u_\beta$ é gerada pela circunferência $\beta$, ver Figura 3.

   

   Figura 3: h-reta $u_\beta$

2. Considere, em $\mathbb{E}$, a reta $\gamma$ que incide no ponto $O$, os pontos $z_3$ e $z_4$, interseção entre $\alpha$ e $\gamma$ e o segmento de reta $v_\gamma$ formado por todos os pontos de $\gamma$ que estão a uma distância menor que $r$ do ponto $O$. No h-plano, $v_\gamma$ é uma h-reta com pontos ideais $z_3$ e $z_4$. Dizemos que a h-reta $v_\gamma$ é gerada pela reta $\gamma$, ver Figura 4.

   

   Figura 4: h-reta $v_\gamma$

Em outras palavras, se a h-reta incide no ponto $O$, então ela é um diâmetro de $\alpha$. Se a h-reta não incide no ponto $O$, então ela é um arco de circunferência ortogonal a $\alpha$.

Como a circunferência $\alpha$ não compõe o h-plano, mesmo sendo uma região pequena região do plano euclidiano, o h-plano é infinito, assim como suas h-retas, já que as extremidades (pontos ideais) não pertencem ao h-plano.

A seguir, temos uma construção feita no software Geogebra onde podemos observar o comportamento da h-reta $r_h$ movendo os h-pontos $A$ e $B$.

Construção realizada no Geogebra

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

SOUZA, Carlos Bino de. GEOMETRIA HIPERBÓLICA: A consistência do Modelo de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 24 jun. 2016.

GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Alguns fatos históricos

Última atualização em 29/06/2016 as 19h52

INTRODUÇÃO

Esta postagem busca apresenta alguns fatos que considero marcantes para o surgimento da Geometria Hiperbólica, desta forma, não faremos um profundo estudo da origem das geometria não-euclidianas e algumas informações históricas serão ocultadas, mas no final colocamos as referências consultadas para o leitor que desejar ir além do que está nesta postagem.

A GEOMETRIA DE LOBACHEVSKY

A Geometria Hiperbólica é uma das geometrias não-euclidianas, ela satisfaz os 4(quatro) primeiros postulados de Euclides enunciados em sua obra de 13 volumes chamada Os Elementos:

1. Por dois pontos se traça uma única reta;
2. Pode-se continuar qualquer reta finita continuamente em uma reta;
3. Pode-se traçar um círculo em qualquer centro e qualquer raio;
4. Todos os ângulos retos são iguais.

O quinto postulado de Euclides, conhecido como Postulado das Paralelas é o que distingue a Geometria Euclidiana (que estudamos na escola) da Geometria Hiperbólica. Por não ser de fácil compreensão, como são os outros quatro postulados, vamos enunciar um substituto do 5º postulado de Euclides que foi apresentado pelo matemático escocês, John Playfair (1748-1819), que traduziu a Os Elementos para o inglês:

Por um ponto fora de uma reta, incide uma única reta paralela à reta dada

O matemático russo Nicolai Lobachevsky (1793-1856) em 1826, numa conferência no Departamento de Matemática e Física da Universidade de Kasan, negou o 5º Postulado de Euclides afirmando:

Em um ponto fora de uma reta incidem duas retas que não a intersectam

e submeteu um artigo onde mostrava uma nova geometria, diferente da Euclidiana mas tão consistente quanto, porém foi rejeitado pela Academia de Ciências de São Petersburgo. Naquela época, as geometrias não-euclidianas sofriam resistências por parte dos matemáticos, pois se acreditava que a Geometria Euclidiana era a única possível. Como Lobachevsky trabalhava longe dos grandes centros científicos da Europa Ocidental, seus trabalhos acabavam sendo marginalizados. Mesmo assim, a negação do 5º postulado de Euclides apresentada por Lobachevsky se tornou o postulado das paralelas da Geometria Hiperbólica.

Figura 1: Negação do 5º postulado de Euclides apresentado por Lobachevsky
Retas $t$ e $u$ passam por $P\notin r$ e são, simultaneamente, paralelas a reta $r$

O famoso matemático alemão Johan Carl Friedrich Gauss (1777-1855), o engenheiro húngaro Jânos Bolyai (1802-1860) e Lobachevsky descobriram, quase que simultaneamente, a Geometria Hiperbólica, mas devido a persistência do último e também por ter sido o primeiro a publicar seus estudos, esta geometria não-euclidiana também é conhecida como Geometria de Lobachevsky.

MODELOS DE PLANO PARA GEOMETRIA HIPERBÓLICA

O interessante dessa descoberta é que vários teoremas da Geometria Hiperbólica foram determinados sem visualização, pois o modelo de Geometria até então conhecido, a euclidiana, não podia ser utilizado por não satisfazer o postulado das paralelas da Geometria Hiperbólica. Em 1854, numa conferência intitulada Sobre as hipóteses que estão nos fundamentos da Geometria, o matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) propôs que a Geometria deveria estudar as variedades de dimensão n (espaços), equipados com uma métrica para determinar a distância entre os pontos e que a Geometria deveria estudar os espaços que decorrem da métrica adotada, assim, a Geometria voltaria às origens (métrica) porém, as propriedades dos espaços dependeriam da forma que seriam feitas as medições.

Assim, modelos para Geometria Hiperbólica foram propostos, veremos alguns modelos, como o objetivo é apenas apresenta os modelos, nos limitaremos a definir, em cada modelo, o plano, a reta e o ponto hiperbólico.

Pseudo-Esfera de Beltrami

Em 1868, o matemático italiano o Eugênio Beltrami (1835-1900), foi o primeiro a apresentar um modelo para Geometria Hiperbólica que era contido no $\mathbb{R}^3$ conhecido como Pseudo-Esfera, que é uma superfície que lembra uma corneta dupla.

Figura 2: Modelo de Beltrami para Geometria Hiperbólica - Pseudo-esfera
http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2013/09/lobachevsky-e-as-geometrias-nao.html

Este modelo é uma superfície de curvatura negativa constante onde as geodésicas (menor distância que une dois pontos) são as retas, assim, foi possível verificar que há mais de uma reta que passa por um determinado ponto e que são paralelas a reta dada. A partir desse modelo, foi possível perceber que era matematicamente real a geometria que Lobachevsky chamou de imaginária. Esse modelo não deu certo porque curvaturas negativas, conhecidas na época, tinham arestas o que impedia o prolongamento das geodésicas . Sabe-se que as superfícies de curvatura positiva constante pode ser o plano da Geometria Elípitica ou Esférica onde as geodésicas são as suas retas.

Modelo de Disco de Klein

No modelo proposto por Felix Klein (1849-1945), o plano hiperbólico é a região do interior de uma circunferência do plano euclidiano sem sua borda e as cordas da circunferência (sem os extremos, é claro!) são as retas. Na Figura 3, os segumentos $f,g$ e $h$ são retas hiperbólica no Modelo de Klein, onde $h,g$ intersectam o ponto $P$ e são paralelas à reta $f$.

Figura 3: Modelo de Klein para Geometria Hiperbólica

Semiplano de Poincaré

O matemático francês Jules Henri Poincaré (1854-1912) propôs dois modelos para Geometria Hiperbólica. Veremos aqui o primeiro deles, o semiplano de Poincaré.  Neste modelo, o plano hiperbólico é um semiplano euclidiano adotado por um sistema cartesiano $xOy$, onde cada ponto está associado a um par ordenado $(x,y)$ com $y>0$, assim, o eixo $x$ não está contido no plano hiperbólico. As retas são semicircunferências com centro no eixo $x$ e também são semirretas paralelas ao eixo $y$ com origem no eixo $x$. Na Figura 4, a semirreta $g$ e as semicircunferência $c$ e $d$ são retas hiperbólicas paralelas.

Figura 4: Semiplano de Poincaré

O curioso é que Poincaré introduziu este modelo para resolver problemas ligados à  teoria das funções de variáveis complexas.

Disco de Poincaré

No modelo de Disco de Poincaré, o plano hiperbólico é um circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r$, os pontos hiperbólicos são todos os pontos que estão no interior de $\alpha$, ou seja, é todo ponto $P$ tal que $d(O,P)<r$, onde $d(O,P)$ é a distância entre os pontos $O$ e $P$. Existem dois tipos de retas, pode ser um diâmetro de $\alpha$ ou um arco de circunferência ortogonal a $\alpha$. Na Figura 5, a região no interior da circunferência $\alpha$ é o plano hiperbólico, os pontos $P$ e $O$ são pontos hiperbólicos, o diâmetro $i$ e os arcos $g$ e $h$ são retas hiperbólicas. As retas hiperbólicas $g$ e $i$ passam no ponto $P$ e são paralelas à reta hiperbólica $h$.

Figura 5: Disco de Poincaré

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A Geometria Hiperbólica é uma construção feita por muitas mãos, é um área que deve ser melhor explorar por proporcionar conhecimentos que ainda estão desconhecidos. Como os modelos apresentados estão baseados na Geometria Euclidiana, a consistência da Geometria Hiperbólica está condicionada a consistência da Geometria de Euclides.

Entre os modelos apresentados, o Disco de Poincaré é o melhor indicado, pois apresentada todos os resultados esperados para Geometria Hiperbólica, mesmo que as construções não sejam tão fácil.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BRAZ, Fernanda Martins. História da Geometria Hiperbólica. 2009. 34 f. Monografia (Especialização) - Curso de Especialização em Matemática Para Professores da Universidade Federal de Minas Gerais, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2009. Disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/Monografia_FernandaMartins.pdf>. Acesso em: 24 jun. 2016.

CARMO, Manfredo Perdigão do. Geometrias Não-Euclidiana. Matemática Universitária, Rio de Janeiro, v. 6, p.25-48, dez. 1987. Disponível em: <http://rmu.sbm.org.br/Conteudo/n06/n06_Artigo02.pdf>. Acesso em: 29 jun. 2016.

KILHIAN, Kleber. Lobachevsky e as Geometrias Não-Euclidianas. 2013. Disponível em: <http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2013/09/lobachevsky-e-as-geometrias-nao.html>. Acesso em: 24 jun. 2016.

MAGALHÃES, José Messias. Um Estudo dos Modelos da Geometria Hiperbólica. 2015. 64 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado em Matemática, Universidade Estadual Paulista "júlio de Mesquita Filho", Rio Claro-sp, 2015. Disponível em: <http://base.repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/134147/000857257.pdf?sequence=1&isAllowed=y>. Acesso em: 24 jun. 2016.

SOUZA, Carlos Bino de. GEOMETRIA HIPERBÓLICA: A consistência do Modelo de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 24 jun. 2016.

WIKIPEDIA (Comp.). Eugenio Beltrami. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Eugenio_Beltrami>. Acesso em: 24 jun. 2016.