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domingo, 17 de julho de 2016

Inversão de um ponto qualquer do plano euclidiano em relação a uma circunferência

Considere os pontos distintos $O, P$ e $R$ e uma circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r=\overline{OR}\neq 0$ no plano euclidiano.

A construção a seguir, feita no Geogebra, é para determinar a inversão do ponto $P$ em relação a circunferência $\alpha$ independente do ponto ser interno ou externo à circunferência de inversão.

1- Trace a semirreta $s=\overrightarrow{OP}$;
2- Trace a reta $t$ perpendicular a $s$ passando por $O$ e marque os pontos $A$ e $B$ interseção entre $t$ e $\alpha$;
3- Trace a semirreta $u=\overrightarrow{AP}$ e marque o ponto $C$ interseção entre $u$ e $\alpha$; e
4- Trace a semirreta $v=\overrightarrow{BC}$ e marque o ponto $P'$ interseção entre $s$ e $v$.

Os pontos $P$ e $P'$ são inversos em relação a circunferência $\alpha$.

JUSTIFICATIVA

O angulo $\angle BCA$ é retângulo, pois é o ângulo do arco capaz $\overline{AB}$, logo, o triângulo $\triangle_{ABC}$ é retângulo em $C$.

As reta $t$ e a semirreta $s$ são perpendiculares no ponto $O$ (ver passo 2 da construção geométrica), então os triângulos $\triangle_{BP'O}$ e $\triangle_{APO}$ são retângulos em $O$.

Os triângulo $\triangle_{ABC}$ e $\triangle_{BP'O}$ são semelhantes, observe:

I) $\angle BCA\equiv\angle P'OB$, pois são reto;
II) $\angle ABC\equiv\angle OBP'$, pois é ângulo comum aos dois triângulos; e
III) $\angle CAB\equiv\angle BP'O$, pela soma dos ângulo internos de um triângulo. 
Pelos caso Ângulo-Ângulo-Ângulo os triângulos $\triangle_{ABC}$ e $\triangle_{BP'O}$ são semelhantes.
Analogamente, podemos mostrar que os triângulos $\triangle_{APO}$ e $\triangle_{ABC}$ são semelhantes. Assim, $\triangle_{APO}$ e $\triangle_{BP'O}$ também são semelhantes. Desta forma
$$\dfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\dfrac{\overline{OA}}{\overline{OP'}}\Rightarrow\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=\overline{OB}\cdot\overline{OA}$$
Como $\overline{OB}=\overline{OA}=r$, então $$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2$$

Por fim, $P$ e $P'$ estão sobre uma semirreta com origem em $O$, então $P$ e $P'$ são inversos em relação a circunferência $\alpha$.
$\square$

Referência

SOUZA, Carlos Bino de. GEOMETRIA HIPERBÓLICA: A consistência do Modelo de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 24 jun. 2016.

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