Associando pontos da circunferência a uma elipse ou hipérbole

Na Revista do Professor de Matemática Nº 66 tem um artigo com o título Obtendo as cônicas com dobraduras que apresenta construções, que podem ser feitas no software de Geometria Dinâmica. Segue os passos da construção que fiz no Geogebra, os comandos apresentados em cada um dos passos deverão ser colocados no Campo Entrada, no Geogebra.

1. Coloque três pontos distintos $C,F$ e $R$;
2. Insira o comando "d=Círculo(C, R)", criando assim a circunferência $d$ com centro em $C$ e raio $\overline{CR}$;
3. Coloque o ponto $P_1$ na circunferência $d$ utilizando o comando "P_1=Ponto(d)";
4. Trace a reta $r=\overline{CP_1}$ com o comando "r=reta(C,P_1)";
5. Trace a mediatriz $s$ dos pontos $P-1$ e $F$ com o comando "s=Mediatriz(P_1, F)";
6. Marque o ponto $P\in r\cap s$ utilizando o comando "P=Interseção(r, s)".
7. Identifique o lugar geométrico $c$ do ponto $P$ através do comando "c=LugarGeométrico(P, P_1)".

A seguir, apresentamos a construção feita no Geogebra

Construção 1

Na Construção 1, mova o ponto $C$ para alterar a posição da circunferência $d$, movendo o ponto $R$ alterará o raio de $d$, movendo o ponto $F$ alterá a cônica e movendo o ponto $P_1$, moverá o ponto $P$.

Observe que se o ponto $F$ é externo à circunferência $d$, então, o lugar geométrico de $P$ sugere ser uma hipérbole com focos $C$ e $F$; e se $F$ é interno à $d$ e distinto de $C$, a construção sugere que o lugar geométrico de $P$ é uma elipse com focos $C$ e $F$.