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sexta-feira, 24 de janeiro de 2020

Qual é a média?

Normalmente, quando vemos um problema que pede a média, imaginamos que seja a média aritmética. Porém, existem contextos cuja a média pode ser outra, como a geométrica ou harmônica. Para saber qual média utilizar, é fundamental identificar a forma de encontrar o acumulado dos valores observados, assim, se as observações fossem substituídas pela média encontrada, o acumulado continua o mesmo. A seguir, veremos exemplos que o contexto mostra que a a média procurada pode ser a aritmética, geométrica ou harmônica.

Média Aritmética

A média aritmética dos números reais $$x_1, x_2, \cdots, x_n$$, com $n\in\mathbb{N}$, é $$M_a=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$$
Veja que a média aritmética é igual ao quociente entre a soma dos valores observados e o número de observações.  Desta forma, se substituirmos todos os valores observados por $M_a$, a soma seria 
$$n\cdot M_a=x_1+x_2+\cdots+x_n$$
Assim, a média aritmética é mais adequada em contextos onde o acumulado dos valores observados é a soma das observações. Veja o exemplo a seguir.

Exemplo $A$: Um piloto dá $5$ voltas em um circuito com os seguintes tempos: $60$ s, $71$ s, $50$ s, $56$ s e $68$ s. Determine a média de tempo das voltas.

Para obtermos o tempo acumulado nas $5$ voltas é necessário somar os tempos de cada volta, assim, de imediato, imaginamos que a média de tempo das voltas é a média aritmética de $60, 71, 50, 56$ e $68$. Assim $$M_a=\dfrac{60+71+50+56+68}{5}=61$$

Para o contexto do Exemplo $A$ o número $61$ é adequado, pois, se o piloto tivesse dado $5$ voltas com os tempos de $61$ s, o tempo total (ou tempo acumulado nas $5$ voltas) seria igual a soma dos tempos observados.
$$60+71+50+56+68=(61-1)+(61+10)+(61-11)+(61-5)+(61+7)=(61+61+61+61+61)+(-1+10-11-5+7)=5\cdot 61+0=305$$

Média Geométrica

A média Geométrica dos números reais $x_1, x_2, \cdots, x_n$, com $n\in\mathbb{N}$, é 
$$M_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot{}_\cdots\cdot x_n}$$

Assim, a média geométrica é a raíz $n$-ésima do produto dos $n$ valores observados. Ou seja, se substituirmos os números observados pela média geométrica, veremos que $$\left(M_g\right)^n=x_1\cdot x_2\cdot{}_\cdots\cdot x_n$$ Desta forma, a média geométrica e adequada para quando o acumulado das observações é obtido por meio do produto dos valores observados. Veja o exemplo.

Exemplo $B$: Os índices de inflação, no Brasil, nós últimos $5$ anos (2015 a 2019) foram $10{,}67\%, 6{,}29\%, 2{,}95\%, 3{,}75\%$ e $4{,}31\%$. Qual a média da inflação anual dos últimos 5 anos?

Falou em média, então é média aritmética! Será?

Vamos lembrar o que representar a inflação.

Se um produto custava em média, no final de 2014, $R\$ 2{,}00$, no final de 2015, considerando que a inflação daquele ano foi $10{,}67\%$, o mesmo produto custava em média $$R\$ 2\cdot 1{,}1067\approx R\$ 2{,}21$$ O número $1{,}1067$ é chamado de fator de atualização que foi obtido pela soma $$1+10{,}67\%=1+0{,}1067=1{,}1067$$ Desta forma, os fatores de atualização das inflações de 2015 a 2019 são $1{,}1067, 1{,}0629, 1{,}0295, 1{,}0375$ e $1{,}0431$.

Voltando ao produto que custava, em média, $R\$2{,}00$ no final de 2014, se quisermos saber o preço médio deste produto no final de 2016, calculamos $$2\cdot 1{,}1067\cdot 1{,}0629=2\cdot 1{,}17631143= 2{,}35262286\approx 2{,}35$$
Ou seja, o produto custou, em média, em 2016, $R\$ 2{,}35$. O número $1{,}17631143$ é o fator de atualização da inflação acumulada de 2015 a 2016, ou seja, a inflação acumulada dos dois anos é, aproximadamente, $1{,}17631143-1=0{,}17631143\approx 17{,}63\%$. Veja que $17{,}63\% \neq 10{,}67\%+6{,}29\%=16{,}96\%$.

Nessa lógica, o fator de atualização da inflação acumulada do período de 2015  a 2019 é $$1{,}1067\cdot 1{,}0629\cdot 1{,}0295\cdot 1{,}0375\cdot 1{,}0431=1{,}31057753327263625625\approx 1{,}3106$$
Assim, a inflação acumulada no período de 2015 a 2019 é $$1{,}3106-1=0{,}3106=31{,}06\%$$ Veja que $$31{,}06\%\neq 10{,}67\%+6{,}29\%+2{,}95\%+3{,}75\%+4{,}31\%=27{,}97\%$$
Se tivermos uma média dos fatores de atualização anual de 2015 a 2019, poderemos determinar a média da inflação anual do período. Porém, a média dos fatores de atualização não pode ser a média aritmética, pois, ja vimos que o acumulado dos fatores de atualização não é obtido através da soma dos fatores de atualização observados, mas pelo produto das observações. Neste contexto, a média que procuramos é a média geométrica dos fatores de atualização.
$$M_g=\sqrt[5]{1{,}1067\cdot 1{,}0629\cdot 1{,}0295\cdot 1{,}0375\cdot 1{,}0431}\approx 1{,}05558$$
Com este resultado, podemos determinar, aproximadamente, a média da inflação anual
$$1{,}05558-1=0{,}05558=5{,}558\%$$
Assim, se substituirmos as inflações observadas no período de 2015 a 2019 por $5{,}558\%$ a inflação acumulada será, aproximadamente, a mesma da inflação acumulada do quinquênio.
$$1{,}05558^5-1\approx 31{,}06\%\approx 1{,}1067\cdot 1{,}0629\cdot 1{,}0295\cdot 1{,}0375\cdot 1{,}0431-1$$

Média Harmônica

A média harmônica dos números reais $x_1, x_2, \cdots, x_n$, com $n\in\mathbb{N}$, é $$ M_h=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}$$

A média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos dos valores observados. Se substituirmos os valores observados pela média harmônica, teremos$$\frac{n}{M_h}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}$$ Assim, verificamos que o acumulado das observações é obtido por meio da soma dos inversos das observações. Utilizamo a média harmônica em situações que envolvem grandezas inversamente proporcionais. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo $C$: Ao voltar pra casa, Pedro dirigiu o primeiro terço do caminho com velocidade de $80 km/h$, o segundo terço, devido a má conservação do trecho, a velocidade foi de $60 km/h$ e o último terço do caminho com velocidade de $120 km/h$. Qual a velocidade média que Pedro percorreu o caminho pra casa?

Mais uma vez, poderíamos cair na tentação de calcular a média aritmética. Então, vamos provar que a velocidade média, neste caso, é a média harmônica das velocidades.

O problema não informa o comprimento do caminho percorrido, porém, é informado que foi aplicado velocidades constantes em cada terço do caminho. Diremos que o primeiro terço foi percorrido com velocidade $v_1$ no tempo $t_1$, o segundo terço teve velocidade $v_2$ no tempo $t_2$ e o terceiro terço do caminho foi percorrido com velocidade $v_3$ no tempo $t_3$. Digamos que todo o caminho teve comprimento $3d$, assim, cada terço teve distância $d$. Então, temos: $$v_1=\dfrac{d}{t_1}, v_2=\dfrac{d}{t_2}, v_3=\dfrac{d}{t_3}$$ Considere que todo o caminho foi percorrido a uma velocidade média $v$ num tempo $t=t_1+t_2+t_3$. Assim, temos:$$

v=\frac{3d}{t}\Rightarrow 3d=vt \Rightarrow 3d=v(t_1+t_2+t_3)
$$ Observe que $t_1=\dfrac{d}{v_1}$, $t_2=\dfrac{d}{v_2}$ e $t_3=\dfrac{d}{v_3}$. Logo $$

3d=v\left(\frac{d}{v_1}+\frac{d}{v_2}+\frac{d}{v_3}\right)\Rightarrow v\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}\right)=3 \Rightarrow v=\frac{3}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}+\dfrac{1}{v_3}}

$$ Sendo $v_1=80$, $v_2=60$ e $v_3=120$, a velocidade média que Pedro percorreu todo o caminho foi é a média harmônica das velocidades que ele aplicou em cada terço: $$

v=\frac{3}{\dfrac{1}{80}+\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{120}}=80 km/h

$$ Desta forma, se Pedro tivesse percorrido todo o caminho a uma velocidade constante de $80 km/h$, levaria o mesmo tempo para percorrer o trajeto da forma que fez no problema. $$

t=\frac{d}{80}+\frac{d}{60}+\frac{d}{120}=\frac{3d+4d+2d}{240}=\frac{9d}{240}=\frac{3d}{80}

$$
Exemplo $D$: Numa casa há três torneiras que levam $48$ minutos, $80$ minutos e $120$ minutos, respectivamente, para encher uma caixa d'água. Qual a média de tempo das três torneiras para encher a caixa d'água?


Como o volume da caixa d'água é a mesma para qualquer torneira, então, o acumulado das observações seria encher a caixa d'águas com as três torneiras, desta forma, a vazão de cada uma iria se junta.

Vamos considerar que uma torneira tenha vazão $v_1$ que enche uma caixa d'água em $48$ min, as outras torneiras terá vazão $v_2$ e $v_3$ que enchem a caixa d'água em $80$ min e $120$ min, respectivamente, assim
$$v_1=\dfrac{1}{48}, v_2=\dfrac{1}{80}, v_3=\dfrac{1}{120}
$$Considere $v$ a vazão das três torneiras juntas, assim 
$$v=v_1+v_2+v_3=\dfrac{1}{48}+\dfrac{1}{80}+\dfrac{1}{120}=\dfrac{1}{24}$$

A vazão das três torneiras juntas é $1$ caixa d'água em $24$ min. Se quisermos calcular a vazão média das torneiras ($v_m$), como a vazão total (vazão acumulada) é a soma das vazões das três torneiras, então, devemos calcular a média aritmética
$$v_m=\dfrac{\dfrac{1}{48}+\dfrac{1}{80}+\dfrac{1}{120}}{3}=\dfrac{1}{72}$$

A vazão média é $1$ caixa d'água em $72$ minutos, quer dizer que o tempo médio para encher a torneira é o inverso da vazão média, que é a média aritmética das vazões, ou seja, o tempo médio das torneiras é a média harmônica dos tempos observados.
$$M_h=\dfrac{3}{\dfrac{1}{48}+\dfrac{1}{80}+\dfrac{1}{120}}=72$$

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