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Qual é a média?

Normalmente, quando vemos um problema que pede a média, imaginamos que seja a média aritmética. Porém, existem contextos cuja a média pode ser outra, como a geométrica ou harmônica. Para saber qual média utilizar, é fundamental identificar a forma de encontrar o acumulado dos valores observados, assim, se as observações fossem substituídas pela média encontrada, o acumulado continua o mesmo. A seguir, veremos exemplos que o contexto mostra que a a média procurada pode ser a aritmética, geométrica ou harmônica.

Média Aritmética

A média aritmética dos números reais x_1, x_2, \cdots, x_n, com n\in\mathbb{N}, é M_a=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}
Veja que a média aritmética é igual ao quociente entre a soma dos valores observados e o número de observações.  Desta forma, se substituirmos todos os valores observados por M_a, a soma seria 
n\cdot M_a=x_1+x_2+\cdots+x_n
Assim, a média aritmética é mais adequada em contextos onde o acumulado dos valores observados é a soma das observações. Veja o exemplo a seguir.

Exemplo A: Um piloto dá 5 voltas em um circuito com os seguintes tempos: 60 s, 71 s, 50 s, 56 s e 68 s. Determine a média de tempo das voltas.

Para obtermos o tempo acumulado nas 5 voltas é necessário somar os tempos de cada volta, assim, de imediato, imaginamos que a média de tempo das voltas é a média aritmética de 60, 71, 50, 56 e 68. Assim M_a=\dfrac{60+71+50+56+68}{5}=61

Para o contexto do Exemplo A o número 61 é adequado, pois, se o piloto tivesse dado 5 voltas com os tempos de 61 s, o tempo total (ou tempo acumulado nas 5 voltas) seria igual a soma dos tempos observados.
60+71+50+56+68=(61-1)+(61+10)+(61-11)+(61-5)+(61+7)=(61+61+61+61+61)+(-1+10-11-5+7)=5\cdot 61+0=305

Média Geométrica

A média Geométrica dos números reais x_1, x_2, \cdots, x_n, com n\in\mathbb{N}, é 
M_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot{}_\cdots\cdot x_n}

Assim, a média geométrica é a raíz n-ésima do produto dos n valores observados. Ou seja, se substituirmos os números observados pela média geométrica, veremos que \left(M_g\right)^n=x_1\cdot x_2\cdot{}_\cdots\cdot x_n Desta forma, a média geométrica e adequada para quando o acumulado das observações é obtido por meio do produto dos valores observados. Veja o exemplo.

Exemplo B: Os índices de inflação, no Brasil, nós últimos 5 anos (2015 a 2019) foram 10{,}67\%, 6{,}29\%, 2{,}95\%, 3{,}75\% e 4{,}31\%. Qual a média da inflação anual dos últimos 5 anos?

Falou em média, então é média aritmética! Será?

Vamos lembrar o que representar a inflação.

Se um produto custava em média, no final de 2014, R\$ 2{,}00, no final de 2015, considerando que a inflação daquele ano foi 10{,}67\%, o mesmo produto custava em média R\$ 2\cdot 1{,}1067\approx R\$ 2{,}21 O número 1{,}1067 é chamado de fator de atualização que foi obtido pela soma 1+10{,}67\%=1+0{,}1067=1{,}1067 Desta forma, os fatores de atualização das inflações de 2015 a 2019 são 1{,}1067, 1{,}0629, 1{,}0295, 1{,}0375 e 1{,}0431.

Voltando ao produto que custava, em média, R\$2{,}00 no final de 2014, se quisermos saber o preço médio deste produto no final de 2016, calculamos 2\cdot 1{,}1067\cdot 1{,}0629=2\cdot 1{,}17631143= 2{,}35262286\approx 2{,}35
Ou seja, o produto custou, em média, em 2016, R\$ 2{,}35. O número 1{,}17631143 é o fator de atualização da inflação acumulada de 2015 a 2016, ou seja, a inflação acumulada dos dois anos é, aproximadamente, 1{,}17631143-1=0{,}17631143\approx 17{,}63\%. Veja que 17{,}63\% \neq 10{,}67\%+6{,}29\%=16{,}96\%.

Nessa lógica, o fator de atualização da inflação acumulada do período de 2015  a 2019 é 1{,}1067\cdot 1{,}0629\cdot 1{,}0295\cdot 1{,}0375\cdot 1{,}0431=1{,}31057753327263625625\approx 1{,}3106
Assim, a inflação acumulada no período de 2015 a 2019 é 1{,}3106-1=0{,}3106=31{,}06\% Veja que 31{,}06\%\neq 10{,}67\%+6{,}29\%+2{,}95\%+3{,}75\%+4{,}31\%=27{,}97\%
Se tivermos uma média dos fatores de atualização anual de 2015 a 2019, poderemos determinar a média da inflação anual do período. Porém, a média dos fatores de atualização não pode ser a média aritmética, pois, ja vimos que o acumulado dos fatores de atualização não é obtido através da soma dos fatores de atualização observados, mas pelo produto das observações. Neste contexto, a média que procuramos é a média geométrica dos fatores de atualização.
M_g=\sqrt[5]{1{,}1067\cdot 1{,}0629\cdot 1{,}0295\cdot 1{,}0375\cdot 1{,}0431}\approx 1{,}05558
Com este resultado, podemos determinar, aproximadamente, a média da inflação anual
1{,}05558-1=0{,}05558=5{,}558\%
Assim, se substituirmos as inflações observadas no período de 2015 a 2019 por 5{,}558\% a inflação acumulada será, aproximadamente, a mesma da inflação acumulada do quinquênio.
1{,}05558^5-1\approx 31{,}06\%\approx 1{,}1067\cdot 1{,}0629\cdot 1{,}0295\cdot 1{,}0375\cdot 1{,}0431-1

Média Harmônica

A média harmônica dos números reais x_1, x_2, \cdots, x_n, com n\in\mathbb{N}, é M_h=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}

A média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos dos valores observados. Se substituirmos os valores observados pela média harmônica, teremos\frac{n}{M_h}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n} Assim, verificamos que o acumulado das observações é obtido por meio da soma dos inversos das observações. Utilizamo a média harmônica em situações que envolvem grandezas inversamente proporcionais. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo C: Ao voltar pra casa, Pedro dirigiu o primeiro terço do caminho com velocidade de 80 km/h, o segundo terço, devido a má conservação do trecho, a velocidade foi de 60 km/h e o último terço do caminho com velocidade de 120 km/h. Qual a velocidade média que Pedro percorreu o caminho pra casa?

Mais uma vez, poderíamos cair na tentação de calcular a média aritmética. Então, vamos provar que a velocidade média, neste caso, é a média harmônica das velocidades.

O problema não informa o comprimento do caminho percorrido, porém, é informado que foi aplicado velocidades constantes em cada terço do caminho. Diremos que o primeiro terço foi percorrido com velocidade v_1 no tempo t_1, o segundo terço teve velocidade v_2 no tempo t_2 e o terceiro terço do caminho foi percorrido com velocidade v_3 no tempo t_3. Digamos que todo o caminho teve comprimento 3d, assim, cada terço teve distância d. Então, temos: v_1=\dfrac{d}{t_1}, v_2=\dfrac{d}{t_2}, v_3=\dfrac{d}{t_3} Considere que todo o caminho foi percorrido a uma velocidade média v num tempo t=t_1+t_2+t_3. Assim, temos: v=\frac{3d}{t}\Rightarrow 3d=vt \Rightarrow 3d=v(t_1+t_2+t_3) Observe que t_1=\dfrac{d}{v_1}, t_2=\dfrac{d}{v_2} e t_3=\dfrac{d}{v_3}. Logo 3d=v\left(\frac{d}{v_1}+\frac{d}{v_2}+\frac{d}{v_3}\right)\Rightarrow v\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\frac{1}{v_3}\right)=3 \Rightarrow v=\frac{3}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}+\dfrac{1}{v_3}} Sendo v_1=80, v_2=60 e v_3=120, a velocidade média que Pedro percorreu todo o caminho foi é a média harmônica das velocidades que ele aplicou em cada terço: v=\frac{3}{\dfrac{1}{80}+\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{120}}=80 km/h Desta forma, se Pedro tivesse percorrido todo o caminho a uma velocidade constante de 80 km/h, levaria o mesmo tempo para percorrer o trajeto da forma que fez no problema. t=\frac{d}{80}+\frac{d}{60}+\frac{d}{120}=\frac{3d+4d+2d}{240}=\frac{9d}{240}=\frac{3d}{80}
Exemplo D: Numa casa há três torneiras que levam 48 minutos, 80 minutos e 120 minutos, respectivamente, para encher uma caixa d'água. Qual a média de tempo das três torneiras para encher a caixa d'água?


Como o volume da caixa d'água é a mesma para qualquer torneira, então, o acumulado das observações seria encher a caixa d'águas com as três torneiras, desta forma, a vazão de cada uma iria se junta.

Vamos considerar que uma torneira tenha vazão v_1 que enche uma caixa d'água em 48 min, as outras torneiras terá vazão v_2 e v_3 que enchem a caixa d'água em 80 min e 120 min, respectivamente, assim
v_1=\dfrac{1}{48}, v_2=\dfrac{1}{80}, v_3=\dfrac{1}{120} Considere v a vazão das três torneiras juntas, assim 
v=v_1+v_2+v_3=\dfrac{1}{48}+\dfrac{1}{80}+\dfrac{1}{120}=\dfrac{1}{24}

A vazão das três torneiras juntas é 1 caixa d'água em 24 min. Se quisermos calcular a vazão média das torneiras (v_m), como a vazão total (vazão acumulada) é a soma das vazões das três torneiras, então, devemos calcular a média aritmética
v_m=\dfrac{\dfrac{1}{48}+\dfrac{1}{80}+\dfrac{1}{120}}{3}=\dfrac{1}{72}

A vazão média é 1 caixa d'água em 72 minutos, quer dizer que o tempo médio para encher a torneira é o inverso da vazão média, que é a média aritmética das vazões, ou seja, o tempo médio das torneiras é a média harmônica dos tempos observados.
M_h=\dfrac{3}{\dfrac{1}{48}+\dfrac{1}{80}+\dfrac{1}{120}}=72

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