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Números pitagóricos

 O Teorema de Pitágoras é uma relação matemática muito conhecida, normalmente estudada nas séries finais do Ensino Fundamental. O enunciado não é complicado de compreender:


TEOREMA DE PITÁGORAS: Considere um triângulo retângulo com catetos medindo $a$ e $b$ e a medida da hipotenusa é $c$. Assim, temos a relação
$$a^2+b^2=c^2$$
Sendo $a, b$ e $c$ números naturais que satisfazer o Teorema de Pitágoras, então dizemos que $(a, b, c)$ são números pitagóricos ou trinca pitagórica ou terno pitagórico.

Um terno pitagórico muito conhecido é $(3, 4, 5)$
$$3^2+4^2=9+16=25=5^2$$
Os múltiplos deste terno pitagórico também são ternos pitagóricos, por exemplo $$(6, 8, 10)=2\cdot (3, 4, 5), (15, 20, 25)=5\cdot (3, 4, 5)$$

Isso pode ser demonstrado!

Seja $(a, b, c)$ um terno pitagórico. Assim, temos $$a^2+b^2=c^2$$
Sendo $k\in\mathbb{N}$, $(k\cdot a, k\cdot b, k\cdot c)$ também é um terno pitagórico.
$$(k\cdot a)^2+(k\cdot b)^2=k^2\cdot a^2+k^2\cdot b^2=k^2\cdot (a^2+b^2)=k^2\cdot c^2=(k\cdot c)^2$$ 
Desta maneira, podemos encontrar uma infinidade de ternos pitagóricos que são múltiplos do terno $(3, 4, 5)$, na verdade, existem infinitos ternos pitagóricos que não são múltiplos $(3, 4, 5)$, como $(5, 12, 13)\rightarrow 5^2+12^2=25+144=169=13^2$.

Observe que os ternos pitagóricos $(3, 4, 5)$ e $(5, 12, 13)$ são formados por número que são primos entre si, por isso, são identificados como terno pitagórico primitivo. Em seu livro Elementos, Euclides apresentou uma fórmula para identificar os ternos pitagóricos primitivos.

FÓRMULA DE EUCLIDES: Considere o terno pitagórico $(a, b, c)$ e os números naturais $m$ e $n$, primos entre si, com paridade distinta e $m>n$. Assim, temos
$$\begin{array}{l}
a=m^2-n^2 \\
b=2\cdot m\cdot n \\
c=m^2+n^2
\end{array}$$
Usando as fórmula de Euclides, podemos encontrar qualquer terno pitagórico. A seguir, apresentamos três deles.
$$\begin{array}{c|c}
\hline
(m, n) & (a, b, c) \\ \hline
(2, 1) & (3, 4, 5) \\
(3, 2) & (5, 12, 13) \\
(7, 4) & (33, 56, 65)\\ \hline
\end{array}$$
Para provarmos que os ternos pitagóricos primitivos são infinitos, vamos utilizar a fórmula de Euclides, tomando $n=1$. Assim, temos
$$\begin{array}{l}
a=m^2-1 \\
b=2\cdot m \\
c=m^2+1
\end{array}$$
As condições da fórmula de Euclides impõe $m, n$ com paridade distinta, ou seja, um deles deve ser par e o outro ímpar, e $m>n$. Assim, $m$ é par e $m\geq 2$. Vamos considerar um número primo $k$ tal que $m=2k$. Desta forma, temos
$$\begin{array}{l}
a=(2k)^2-1=4k^2-1 \\
b=2\cdot (2k)=4k \\
c=(2k)^2+1=4k^2+1
\end{array}$$
Veja que $b=4k$ é um número múltiplo de $4$ e de $k$. Os números $a=4k^2-1$ e $c=4k^2+1$ são números ímpares que não são divisíveis por $k$. Desta forma, $(4k^2-1, 4k, 4k^2+1)$ é um terno pitagórico primitivo e como há infinitos números primos, então haverá infinitos ternos pitagóricos primitivos.

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