Conjunto dos números complexos - Lista 1 - 2022.1

 Resolveremos 3 questões que abordam o conteúdo sobre números complexos. Se tiver o desejo de estudar mais sobre o conteúdo, recomendo que assista os vídeos abaixo

  

1) Sendo x um número imaginário, determine as raízes complexas da equação x²-4x+5=0

a) S={i, -i}                 b) S={-4+5i, 5-4i}                 c) S={-4, 5i}                 d) S={2+i, 2-i}                 e) S={1+i, -1+i}

Vamos utilizar a formula de resolução das equações quadrática para encontrar as raízes da equação $x^2-4x+5=0$

Calculando o discriminante $\Delta$:

$$\begin{array}{ll}\Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 5 \\ \Delta=-4\end{array}$$

Vamos utilizar a fórmula de resolução da equação quadrática

$$\begin{array}{ll}x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{-4}}{2\cdot 1} & (\text{Sabemos que }\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot (-1)}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{-1}=2i) \\  \\x=\dfrac{4\pm 2i}{2}=2\pm i \\ \\ S=\{2-i, 2+i\}\end{array}$$

Alternativa D

2) Marque a alternativa que apresenta a informação correta

a) O número 2-9i é real

b) O número 3+2i é um imaginário puro

c) O número 10i é real

d) O número 5 é um imaginário

e) O número -2i é um imaginário puro

F - a) 2-9i é um número imaginário

F - b) 3+2i é um número imaginário, mas não é imaginário puro

F - c) 10i é um imaginário puro

F - d) 5 é um número real

V - e) -2i é imaginário puro

Alternativa E

3) Determine os valores de x e y para que os números (x+y)+3i e 4+(x+2y)i sejam iguais

a) x=5 e y=-1             b) x=3 e y=4             c) x=7 e y=-3             d) x=-1 e y=4             e) x=4 e y=0

Dois números complexos são iguais se, respectivamente, as partes reais e as partes imaginárias dos números são iguais. No enunciado são apresentados dois números que chamaremos de $z_1$ e $z_2$.

$$\begin{array}{l}z_1=(x+y)+3i \\ z_2=4+(x+2y)i\end{array}$$

Temos

$$\begin{array}{lcl} Re(z_1)=Re(z_2) & \Leftrightarrow & x+y=4 \\ Im(z_1)=Im(z_2) & \Leftrightarrow & 3=x+2y \end{array}$$

Assim, temos o sistema de equações do 1º grau

$$\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x+2y=3 \end{array}\right.$$

Nas duas equações, podemos determinar $x$ em função de $y$

$$\left\{\begin{array}{l}x=4-y \\ x=3-2y \end{array}\right.\Rightarrow 4-y=3-2y\Leftrightarrow-y+2y=3-4\Leftrightarrow y=-1$$

Vamos encontrar o valor de $x$ substituindo $y$ por $-1$ em  $x=4-y$

$$x=4-(-1)=4+1=5$$

Alternativa A