Relacionando números complexos e matrizes $2\times 2$

Apresentamos uma relação entre o conjunto dos números complexos e o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2. Com a intenção de sermos objetivos, não faremos uma explanação formal sobre os complexos e as matrizes, apresentaremos apenas alguns conceitos para comprovar a relação entre os conjuntos.

Definição e forma algébrica de um número complexo

O conjunto dos números complexos, indicado por $\mathbb{C}$, é formado por números que têm a forma $z=a+bi$, com $a,b\in\mathbb{R}$ e $i=\sqrt{-1}$, assim, $i^2=-1$.

Todo número complexo $z=a+bi$ tem o seu conjugado, indicado por $\overline{z}$, que é um número complexo na forma $\overline{z}=a-bi$.

Considerando os números complexos $z_1=a+bi$ e $z_2=c+di$, definimos duas operações em $\mathbb{C}$:

• SOMA: $z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$
• MULTIPLICAÇÃO: $z_1\cdot z_2=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+ b\cdot c)i$

Em caso particular do produto entre um número complexo $z=a+bi$ e seu conjugado $\overline{z}=a-bi$ é $$z\cdot\overline{z}=a^2+b^2$$.

Relação entre $\mathbb{C}$ e $\mathbb{M}_2$

Vamos indicar por $\mathbb{M}_2$ o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2, ou seja, se $A\in\mathbb{M}_2$, então $A$ tem a forma:

$$A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}, \text{ com } a,b,c,d\in\mathbb{R}$$

Considerando as operações com matrizes, é possível provar que a matriz $I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ desempenha a mesma função em $\mathbb{M}_2$ que o número $1$ em $\mathbb{C}$. Considerando a $A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, é possível ver que $A^2=-I_2$, desta forma, verifica-se que a matriz $A$ desempenha a mesma função, em $\mathbb{M}_2$, que o número imaginário $i$, em $\mathbb{C}$. Desta forma, dados $a,b\in\mathbb{R}$ temos que a matriz $$Z=a\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}$$ pode ser associada ao número complexo $z=a+bi$.

Assim, podemos estabelecer uma função bijetiva $\Psi:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{M}_2$ tal que $$\Psi(a+bi)=\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}$$ com $a,b\in\mathbb{R}$.

Portanto, considerando os números complexos $z_1=a+bi$ e $z_2=c+di$, podemos definir as operações:

• ADIÇÃO: $\Psi(z_1+z_2)=\Psi(z_1)+\Psi(z_2)=\begin{pmatrix} a+c & b+d\\ -(b+d) & a+c \end{pmatrix}$
• MULTIPLICAÇÃO: $\Psi(z_1\cdot z_2)=\Psi(z_1)\cdot\Psi(z_2)=\begin{pmatrix} ac-bd & ad+bc\\ -(ad+bc) & ac-bd \end{pmatrix}$

Temos ainda que $$\Psi(z_1\cdot\overline{z_1})=\begin{pmatrix} a^2+b^2 & 0\\ 0 & a^2+b^2 \end{pmatrix}$$

Conclusão

Esta postagem é um recorte de um artigo publicado na Revista Eletrônica da Matemática. Caso queira se aprofundar neste conteúdo, clique  na referência abaixo para ter acesso ao artigo completo.

Referência

BEMM, Laerte; CAETANO, Douglas Monteiro. Geometria no conjunto das matrizes. Revista Eletrônica da Matemática, Bento Gonçalves, Rs, v. 2, n. 5, p.158-176, jul. 2019. Semestral. Disponível em: . Acesso em: 18 ago. 2019.

O prazer da estatística

Aplicação da matemática para tomar uma decisão

Já deve ter se deparado, num supermercado, onde, por exemplo, você quer comprar um chocolate em pó e verifica-se o mesmo produto vendido em embalagens de $400\text{g}$ e $1{,}3\text{kg}$ com os seguintes preços:

Que critério você utilizaria para fazer uma das seguintes escolhas para comprar o achocolatado: Leva três latas de $400\text{g}$ ou um pacote de $1{,}3\text{kg}$?

Este problema é aberto e não tem uma única resposta certa, já que cada um iria aplicar o seu critério, mas, vamos mostrar duas formas de aplicar a matemática para decidir entre uma embalagem de $1{,}3\text{kg}$ ou três embalagens de $400\text{g}$.

SITUAÇÃO 1: vamos considerar que há uma necessidade de economizar o máximo possível, então, três embalagens de $400\text{g}$ é equivalente a $1200\text{g}=1{,}2\text{kg}$ onde você irá pagar $$\text{R}\$(3\cdot 4{,}50)=\text{R}\$13{,}50$$ que é menor do que $\text{R}\$14{,}30$ que é o preço do achocolatado da embalagem de $1{,}3\text{kg}$. Nesta situação, a melhor escolha é comprar três latas de $400\text{g}$ de achocolatado. Desta forma, você deixaria de levar $100\text{g}$ de achocolatado, mas isso não é problemas, porque estará economizando $\text{R}\$0,80$ é isso é o mais importante, observando o critério adotado!

SITUAÇÃO 2: vamos considerar que você queira levar o mais vantajoso, ou seja, se pudéssemos  colocar as duas ofertas em embalagens de mesma quantidade e com valor de venda proporcional ao preço de cada oferta, o mais vantajoso seria a mais barata. Assim, devemos colocar as quantidades de cada embalagem numa mesma unidade de medida, por exemplo $400\text{g}=0{,}4\text{kg}$. Em seguida, vamos dividir o preço pela quantidade, em $\text{kg}$, e encontrar o valor de $1\text{kg}$ do achocolatado em cada oferta. Assim, vamos tomar como oferta 1 o preço do achocolatado na embalagem de $1{,}3\text{kg}$, e oferta 2 o preço do achocolatado na embalagem de $400\text{g}=0{,}4\text{kg}$

$$\begin{array}{dclcl}
\text{oferta 1} & = & \dfrac{\text{R\$}14{,}30}{1{,}3\text{kg}} & = & \text{R\$}11{,}00/\text{kg} \\
\text{oferta 2} & = & \dfrac{\text{R\$}4{,}50}{0{,}4\text{kg}} & = & \text{R\$}11{,}25/\text{kg}
\end{array}$$

Desta forma, verificamos que o achocolatado da oferta 1, na embalagem de $1{,}3\text{kg}$, é mais vantajoso que o achocolatado da oferta 2, na embalagem de $400\text{g}$.

Veja que estes cálculos, embora simples, são trabalhosos para fazer mentalmente, desta forma, sugiro que leve uma calculadora (pode ser a do celular) sempre que for ao mercado. Que critério você iria adotar para escolher entre as duas ofertas? Deixe seus comentários.

Elipse como sendo o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a uma circunferência $d$, com centro $C$ e raio $r$, e que passa por um ponto $F\neq C$ interno à $d$

Nesta postagem, vamos responder a seguinte pergunta: Qual o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a uma circunferência $d$, com centro $C$ e raio $r$, e que passa por um ponto $F\neq C$ interno à $d$? Na postagem Associando pontos da circunferência a uma elipse ou hipérbole, apresenta uma construção que sugere que a resposta da nossa pergunta é uma elipse. Assim, vamos provar a nossa tese.

Utilizando uma circunferência para construir uma hipérbole

Vamos fazer um estudo sobre a hipérbole que pode ser obtida a partida da construção da postagem no link http://www.benditamatematica.com/2017/07/associando-pontos-da-circunferencia-uma.html.

A definição mais usual para hipérbole é

Sejam $F_1$ e $F_2$ dois pontos distintos do planos e $2c$ é a distância entre eles. A hipérbole é o lugar geométrico do ponto $P$ tal que a diferença das distância entre $P$ e cada um dos focos é $2a$, com $0 < a < c$ 

Na Construção 1, vamos considerar que a circunferência $d$ tem raio $p$, ou seja, $\overline{CP_1}=p$, a distância entre $P_1$ e $P$ será $m$, como $P$ é equidistante de $P_1$ e $F$, então, $\overline{P_1P}=\overline{PF}=m$, ver Figura 1.

Figura 1

Assim, temos:

$$\left\{\begin{array}{l}

\overline{CP}=p+m \\

\overline{PF}=m

\end{array}\right.\Rightarrow \left|\overline{CP}-\overline{PF}\right|=\left|p+m-m\right|=p$$

Deste modo, verificamos que quando $F$ é externo a $d$, o lugar geométrico de $P$ é uma hipérbole com foco $C$ e $F$. Na Figura 2, os pontos $A_1$ e $A_2$ são os vértices da parábola, assim $\overline{A_1A_2}$ é o eixo focal, $A_1$ é associado ao ponto $A'_1$ e $A_2$ é associado ao ponto $A'_2$. Sendo $p$ o raio de $d$ e $n$ a distância entre $A_2$ e $F$, vamos determinar a medida $2a$ do eixo focal.

Figura 2

A distância entre $A_1$ e $F$ é

$$d(A'_1,F)=2p+2n$$

Como $A_1$ é ponto médio de $A'_1$ e $F$, então

$$d(A_1,F)=\frac{d(A'_1,F)}{2}=\frac{2p+2n}{2}=p+n$$

Veremos que a distância entre os vértices da hipérbole é igual ao raio da circunferência $d$

$$d(A_1,A_2)=d(A_1,F)-d(A_2,F)=p+n-n=p$$

Como $A_2$ é o ponto médio entre $A'_2$ e $F$, então, a distância, 2c, entre os focos $C$ e $F$ é

$$d(C,F)=d(C,A'_2)+d(A'_2,F)=p+2n$$

Na Figura 3, $M$ é o centro da hipérbole e $\overline{B_1B_2}$ é o eixo não focal. Então, $\overline{MA_2}=\dfrac{p}{2}$ e $\overline{B_1A_2}=\dfrac{p+2n}{2}$. Vamos determina a medida $2b$ do eixo não focal utilizando a relação

$$c^2=a^2+b^2\Rightarrow\left( \dfrac{p+2n}{2} \right)^2=\left( \dfrac{p}{2} \right)^2+b^2 \Rightarrow b=\dfrac{\sqrt{n\left( 2p+n \right)}}{2}\Rightarrow \overline{B_1B_2}=2b=\sqrt{n\left( 2p+n \right)}$$

Figura 3

Sejam as reta $t_1$ e $t_2$ tangentes à circunferência $d$ nos pontos $P_1$ e $P_2$, respectivamente, e passam por $F$. Neste caso, não há circunferência que tangencie $d$ em $P_1$ ou $P_2$ e passe por $F$. Desta forma, vamos mostrar que as mediatrizes de $\overline{P_1F}$ e $\overline{P_2F}$ são as assíntotas da parábola.

Sabemos que as assíntotas têm coeficientes angulares $\dfrac{b}{a}$ e $-\dfrac{b}{a}$ e passa pelo centro da hipérbole. Assim, considere a Figura 4.

Figura 4

A circunferência $e$ tem centro em $M$ e raio $c=\overline{MF}=\dfrac{p+2n}{2}$, $P_1$ pertence a interseção de $d$ e $e$ e $t_1=\overline{P_1F}$. 

O triângulo $\triangle CP_1F$ é retângulo em $P_1$, pois $C\widehat{P_1}F=90^\circ$ porque é o ângulo do arco capaz da diagonal  de $e$. Como $\overline{CP_1}=2a$ e $\overline{CF}=2c$, então $\overline{P_1F}=2b=\sqrt{n\left( 20+n \right)}$, por causa da relação $c^2=a^2+b^2$. Então, temos $$tg \left(C\widehat{P_1}F\right)=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{n\left( 20+n \right)}}{p}$$

A mediatriz $s$ de $P_1$ e $F$ é perpendicular a $\overline{P_1F}$, então, $s // \overline{CP_1}$ e, como $M$ é equidistante de $P_1$ e $F$, então $s$ passa por $M$, logo $s$ é assíntota da hipérbole. De forma análoga, podemos mostrar que a mediatriz entre entre $F$ e $P_2$, o outro ponto de interseção entre $d$ e $e$, é a outra assíntota da parábola, ver Figura 5.

Figura 5

Associando pontos da circunferência a uma elipse ou hipérbole

Na Revista do Professor de Matemática Nº 66 tem um artigo com o título Obtendo as cônicas com dobraduras que apresenta construções, que podem ser feitas no software de Geometria Dinâmica. Segue os passos da construção que fiz no Geogebra, os comandos apresentados em cada um dos passos deverão ser colocados no Campo Entrada, no Geogebra.

1. Coloque três pontos distintos $C,F$ e $R$;
2. Insira o comando "d=Círculo(C, R)", criando assim a circunferência $d$ com centro em $C$ e raio $\overline{CR}$;
3. Coloque o ponto $P_1$ na circunferência $d$ utilizando o comando "P_1=Ponto(d)";
4. Trace a reta $r=\overline{CP_1}$ com o comando "r=reta(C,P_1)";
5. Trace a mediatriz $s$ dos pontos $P-1$ e $F$ com o comando "s=Mediatriz(P_1, F)";
6. Marque o ponto $P\in r\cap s$ utilizando o comando "P=Interseção(r, s)".
7. Identifique o lugar geométrico $c$ do ponto $P$ através do comando "c=LugarGeométrico(P, P_1)".

A seguir, apresentamos a construção feita no Geogebra

Construção 1

Na Construção 1, mova o ponto $C$ para alterar a posição da circunferência $d$, movendo o ponto $R$ alterará o raio de $d$, movendo o ponto $F$ alterá a cônica e movendo o ponto $P_1$, moverá o ponto $P$.

Observe que se o ponto $F$ é externo à circunferência $d$, então, o lugar geométrico de $P$ sugere ser uma hipérbole com focos $C$ e $F$; e se $F$ é interno à $d$ e distinto de $C$, a construção sugere que o lugar geométrico de $P$ é uma elipse com focos $C$ e $F$.

Pontos equidistantes do centro e de algum lado de um quadrado

Nesta postagem, vamos determinar o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do centro e de algum lado de um quadrado.

CONSTRUÇÃO 1

Vamos considerar um triângulo qualquer com vértices $A,B$ e $C$. Vamos determinar os conjunto de pontos que são equidistantes do ponto $C$ e do lado $\overline{AB}$.

Sendo $s$ a reta determinada pelos ponto $A$ e $B$, os pontos que estão a uma mesma distância do ponto $C$ e da reta $s$ são pontos pertencentes a parábola $\phi$ que tem foco no ponto $C$ e reta diretriz $s$.  Para limitar os pontos equidistantes de $C$ e do segmento $\overline{AB}$, é só limitar a parábola nos pontos $A'$ e $B'$ que são as interseções entre as perpendiculares de $s$, nos pontos $A$ e $B$, respectivamente, e a parábola $\phi$.

CONSTRUÇÃO 2
Vamos determinar o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do centro $C$ e de algum lado do quadrado $PQRS$.

Traçando as diagonais, dividiremos o quadrado $PQRS$ em quatro triângulos congruentes, $\triangle PCS, \triangle PCQ, \triangle QCR$ e $\triangle RCS$, ver figura a seguir.

Dessa forma, o ponto $C$ é vértice de todos os triângulos que compõe o quadrado $PQRS$ e, cada triângulo, possui um dos lados do quadrado. Vamos observar apenas $\triangle PCS$. Os pontos internos estão mais próximos do lado $\overline{PS}$ do que qualquer um dos outros três lados do quadrado ao contrário dos pontos externos ao triângulo, que estão mais próximos de algum dos outros três lados do quadrado do que do lado $\overline{PS}$. Por esta razão e pela Construção 1, os pontos equidistantes de $\overline{PS}$ e de $C$ são os pontos da parábola que tem foco em $C$ e diretriz $\overline{PS}$ e que são internos a $\triangle PCS$. 

De forma análoga, podemos encontrar os outros pontos que estão mais próximos de algum dos outros três lados do quadrado e de $C$.

5 TRUQUES MATEMÁTICOS QUE VÃO EXPLODIR SUA MENTE

Arco triplo

Recordação

Encontramos em livros didáticos cálculos relacionados ao seno, cosseno e tangente com ângulos notáveis (30°, 45° e 60°), podendo encontrar o seno, cosseno e a tangente dos ângulos que são múltiplos de 15°, utilizando a fórmula das relações trigonométricas da soma e subtração de ângulos. Vamos recordar!

Considere dois ângulos, $\alpha, \beta\in [0°, 360°[$, assim
$$\begin{equation}\label{eqtan}
\mathrm{tg}(\alpha)=\dfrac{\mathrm{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)}
\end{equation}$$

$$\begin{equation}\label{eqrf}
\mathrm{sen}^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1
\end{equation}$$

$$\begin{equation}\label{eqsenosoma}\mathrm{sen}(\alpha +\beta)=\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\cos(\beta) +\cos(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta)\end{equation}$$

A partir da Fórmula $\ref{eqsenosoma}$ é possível demonstra que
$$\begin{equation}\label{eqsct}\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(\alpha-\beta) & = & \mathrm{sen}(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta) \\
\cos(\alpha\pm\beta) & = & \cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)\mp\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta) \\
\mathrm{tg}(\alpha\pm\beta) & = & \dfrac{\mathrm{tg}(\alpha)\pm\mathrm{tg}(\beta)}{1\mp\mathrm{tg}(\alpha)\cdot\mathrm{tg}(\beta)}
\end{array}\right.\end{equation}$$

Assim, para calcular $\cos 15°$, vamos tomar $15°=45°-30°$, e utilizando a fórmula $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta)$, onde $\alpha=45°$ e $\beta=30°$, temos:

$$\cos 15°=\cos(45°-30°)=\cos(45°)\cdot\cos(30°)+\mathrm{sen}(45°)\cdot\mathrm{sen}(30°)$$

Como $\cos(45°)=\mathrm{sen}(45°)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos(30°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $\mathrm{sen}(30°)=\dfrac{1}{2}$, temos

$$\cos 15°=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$$

Também podemos encontrar $\mathrm{sen}(15°)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ e $\mathrm{tg}(15°)=\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}$ usando as Fórmulas $\eqref{eqsct}$.

Podemos calcular o seno, cosseno e a tangente de $75°$ se tomarmos $75°=45°+30°$.

$$\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(75^\circ)& = & \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \\
\cos(75^\circ)&= & \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\mathrm{tg}(75^\circ)&= & 2+\sqrt{3}
\end{array}\right.$$

Através das Fórmulas $\eqref{eqsenosoma}$ e $\eqref{eqsct}$ é possível demonstrar as fórmulas do ângulo (arco) duplo se considerarmos $2\alpha=\alpha+\alpha$.

$$\begin{equation}\label{eqad}
\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(2\alpha) & = &2\cdot\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\cos(\alpha) \\
\cos(2\alpha)& = & \cos^2(\alpha)-\mathrm{sen}^2(\alpha) \\
\mathrm{tg}(2\alpha) & = & \dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\alpha)} {1-\mathrm{tg}^2(\alpha)}
\end{array}\right.
\end{equation}$$

Com as Fórmulas $\eqref{eqad}$ e $\eqref{eqrf}$, é possível demonstrar as fórmulas do ângulo (arco) metade, se considerarmos $2\alpha=\beta\Rightarrow\alpha=\dfrac{\beta}{2}$

$$\begin{equation}\label{eqam}
\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}\left( \dfrac{\beta}{2} \right ) & = & \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\beta)}{2}} \\
\cos\left( \dfrac{\beta}{2} \right )  & = &\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos(\beta)}{2}} \\
\mathrm{tg}\left( \dfrac{\beta}{2} \right )  & = & \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\beta)}{1+\cos(\beta)}}
\end{array}\right.
\end{equation}$$

Não demonstraremos as fórmulas acima, pois as demonstrações podem ser encontradas na internet e em livros didáticos de Matemática do Ensino Médio, a nossa recordação ficará limitada, apenas, em apresentar as fórmulas, pois serão necessárias para demonstrar a seguir.

Arco triplo

Vamos calcular $\mathrm{sen}(3\beta)$, para $\beta\in [0°,360°[$.

$$\mathrm{sen}(3\beta)=\mathrm{sen}(2\beta+\beta)=\mathrm{sen}(2\beta)\cdot\cos(\beta)+\cos(2\beta)\cdot\mathrm{sen}(\beta)=2\cdot\mathrm{sen}(\beta)\cdot\cos(\beta)\cdot\cos(\beta)+[\cos^2(\beta)-\mathrm{sen}^2(\beta)]\cdot\mathrm{sen}(\beta)\Rightarrow\mathrm{sen}(3\beta)=3\cdot\mathrm{sen}(\beta)\cos^2(\beta)-\mathrm{sen}^3(\beta)$$

Utilizando a relação fundamental da trigonometria (Fórmula $\eqref{eqrf}$), podemos fazer $\cos^2(\beta)=1-\mathrm{sen}^2(\beta)$

$$\mathrm{sen}(3\beta)=3\cdot\mathrm{sen}(\beta)[1-\mathrm{sen}^2(\beta)]-\mathrm{sen}^3(\beta)$$

$$\mathrm{sen}(3\beta)=3\mathrm{sen}(\beta)-4\mathrm{sen}^3(\beta)$$

Vamos determinar $\cos(3\beta)$

$\cos(3\beta)=\cos(2\beta+\beta)=\cos(2\beta)\cdot\cos(\beta)-\mathrm{sen}(2\beta)\cdot\mathrm{sen}(\beta)=[\cos^2(\beta)-\mathrm{sen}^2(\beta)])\cdot\cos(\beta)-2\cdot\mathrm{sen}(\beta)\cdot\cos(\beta)\cdot\mathrm{sen}(\beta)=\cos^3(\beta)-3\cos(\beta)\mathrm{sen}^2(\beta)=\cos^3(\beta)-3\cos(\beta)\cdot[1-\cos^2(\beta)]$

$$\cos(3\beta)=4\cos^3(\beta)-3\cos(\beta)$$

Vejamos para $\mathrm{tg}(3\beta)$, utilizando a Fórmula $\eqref{eqtan}$

$$\mathrm{tg}(3\beta)=\mathrm{tg}(2\beta+\beta)=\dfrac{\mathrm{tg}(2\beta)+\mathrm{tg}(\beta)}{1-\mathrm{tg}(2\beta)\cdot\mathrm{tg}(\beta)}=
\dfrac{\dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}+\mathrm{tg}(\beta)}{1-\dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}\cdot\mathrm{tg}(\beta)}=
\dfrac{\dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\beta)+\mathrm{tg}(\beta)-\mathrm{tg}^3(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}}{\dfrac{1-\mathrm{tg}^2(\beta)-2\cdot\mathrm{tg}^2(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}}\Rightarrow\mathrm{tg}(3\beta)=\dfrac{3\mathrm{tg}(\beta)-\mathrm{tg}^3(\beta)}{1-3\mathrm{tg}^2(\beta)}$$

Desse modo, temos as seguintes fórmulas para ângulo (arco) triplo
$$\begin{equation}\label{eqat}\left\{
\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(3\beta)&=&3\mathrm{sen}(\beta)-4\mathrm{sen}^3(\beta) \\
\cos(3\beta)&=&4\cos^3(\beta)-3\cos(\beta) \\
\mathrm{tg}(3\beta)&=&\dfrac{3\mathrm{tg}(\beta)-\mathrm{tg}^3(\beta)}{1-3\mathrm{tg}^2(\beta)}
\end{array}\right.\end{equation}$$

Considerações

As fórmulas para arcos triplos, para quem gosta de Matemática, são bem divertidas de serem determinadas, mas apresentam poucas utilidades, pois podem ser substituídas pelas fórmulas já encontradas em livros didáticos do Ensino Médio. Mas vale apena pedir para os alunos as encontrar!

Equação da reta no plano complexo

Introdução

Estou lendo a dissertação do amigo Laércio Francisco Feitosa, com o título Aplicações dos Números Complexos na Geometria Plana, que foi defendida no programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional da UFPB, em 2013 (no final da postagem, deixei o link para quem desejar baixar e ler). Gostaria de aproveitar o momento e parabenizá-lo, excelente contribuição! 

O conjunto dos números complexos surgiu como resposta a um problema que desafiou matemáticos durante séculos. A solução do problema envolvia o uso de raíz quadrada de números negativos. No entanto, o primeiro matemático a usar raízes quadradas de números negativos em seus trabalhos foi o italiano Girolamo Cardano (1501-1576), quando tentava encontrar uma fórmula resolutiva para equações do 3º grau. Mas foi René Descartes (1596-1650) que cunhou o nome imaginário para as raízes quadradas de números negativos. Mais tarde, os matemáticos De Moivre (1667-1754) e Newton (1642-1727), combinaram trigonometria com números complexos em seus trabalhos. Mais tarde ainda, Euler (1707-1783) usou $i$ para designar o número imaginário $\sqrt{-1}$, que foi amplamente aceito, pois ocultava o espectro da raiz quadrada negativa. O topógrafo e cartógrafo norueguês Caspar Wessel (1745-1818) foi o primeiro a representar geometricamente os números complexos. (recorte da introdução da dissertação)

Nesta postagem, apresento uma demonstração para equação da reta no plano complexo, é diferente da demonstração que foi apresentada na dissertação, mas é fundamentada no trabalho que estou lendo. Não farei uma apresentação sobre números complexos, pois excede o objetivo da postagem, assim, vou considerar verdadeiros os Postulados 1 e 2, mesmo sabendo que são teoremas, assim, evito de demonstrá-los, mas os apresento a fim de facilitar a compreensão das demonstrações.

Postulado 1

Sejam $z_1$ e $z_2$ pontos do plano complexo e $\overline{z_1}$ e $\overline{z_2}$ seus respectivos conjugados, são verdadeiras as igualdades:

1. $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
2. $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}$
3. $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$

Postulado 2

Sejam $z_1,z_2$ e $z_3$ pontos colineares do plano complexo, temos $\dfrac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\in\mathbb{R}$

Reta

Seja $r$ uma reta que passa pelos pontos $A(x_a,y_a)$ e $B(x_b,y_b)$. Sendo $P(x,y)$ um ponto genérico de $r$, podemos definir $r$ através da equação paramétrica

$$r:\left\{\begin{matrix}x=x_a+t\cdot (x_b-x_a)\\ y=y_a+t\cdot (y_b-y_a)\end{matrix}\right.,t\in\mathbb{R}$$

Também poderíamos definir $r$ na forma

$$r:(x,y)=(x_a,y_a)+t\cdot[ (x_b,y_b)-(x_a,y_a)]$$

Associando $A(x_a,y_a),B(x_b,y_b)$ e o ponto genérico $P(x,y)$ aos números complexos $z_a=x_a+y_b\cdot i,z_b=x_b+y_b\cdot i$ e $z=x+y\cdot i$, respectivamente, a equação da reta $r$ no plano complexo será

$$r:z=z_a+t\cdot (z_b-z_a), t\in\mathbb{R}$$

Logo,

$$t=\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}$$

Como $\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}\in\mathbb{R}$,então

$$\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}=\overline{\left(\dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}\right)}=\dfrac{\overline{z-z_a}}{\overline{z_b-z_a}}=\dfrac{\overline{z}-\overline{z_a}}{\overline{z_b}-\overline{z_a}} \\ \Downarrow \\ \dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}=\dfrac{\overline{z}-\overline{z_a}}{\overline{z_b}-\overline{z_a}} \\ \Downarrow \\ \left(z-z_a\right)\cdot\left(\overline{z_b}-\overline{z_a}\right)=\left(z_b-z_a\right)\cdot\left(\overline{z}-\overline{z_a}\right) \\ \Downarrow \\ z\cdot\overline{z_b}-z\cdot\overline{z_a}-z_a\cdot\overline{z_b}+z_a\cdot\overline{z_a}=z_b\cdot\overline{z}-z_b\cdot\overline{z_a}-z_a\cdot\overline{z}-z_a\cdot\overline{z_a} \\ \Downarrow \\ \left(z_b-z_a\right)\cdot \overline{z}-\left(\overline{z_b}-\overline{z_a}\right)\cdot z + z_a\cdot\overline{z_2}-\overline{z_1}\cdot z_2=0$$

Tomando $B=\left(z_b-z_a\right)\Rightarrow \overline{B}=\left(\overline{z_b}-\overline{z_a}\right)$ e $C= \left(z_a\cdot\overline{z_2}-\overline{z_1}\cdot z_2\right($, assim, podemos definir a reta $r$ como:

$$r:B\cdot\overline{z}-\overline{B}\cdot z + C=0$$

EXEMPLO

Determine a equação da reta $r$ que passa nos pontos $z_a=2-3\cdot i$ e $z_b=-1+2\cdot i$.

SOLUÇÃO

Temos

$B=-1+2\cdot i-\left(2-3\cdot i\right)=-3+5\cdot i \Rightarrow \overline{B}=-3-5\cdot i$

$C=\left(2-3\cdot i\right)\cdot\left(-1-2\cdot i\right)-\left(2+3\cdot i\right)\cdot\left(-1+2\cdot i\right)=-2\cdot i$

Então, a equanção da reta $r$ será

$$r:\left(-3-5\cdot i\right)\cdot\overline{z}-\left(-3-5\cdot i\right)\cdot z - 2\cdot i=0$$

REFERÊNCIA

FEITOSA, Laércio Francisco. Aplicações dos Números Complexos na Geometria Plana. 2013. 86 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Universidade Federal da Paraíba, João Pessoa-pb, 2013. Disponível em: . Acesso em: 18 ago. 2015.

Resolução de Equações do 2º grau pelo método de Viète

François Viète

Normalmente, na escola, estudamos dois métodos de resolver equações do 2º grau, a técnica de completar quadrados e a fórmula de resolução da equação do 2º grau, também conhecida como fórmula de Bháskara. O que poucos sabem, ao menos professores de Matemática que eu conheço, é outro método, conhecido como Método de Viète para resolver equações do 2º grau. Não vou garantir que este método é mais fácil do que os outros dois ensinados na escola, penso que cada pessoa os vêem de forma diferente, mas vale apena conhecer!
Nesta postagem, saberemos, de forma muito resumida, quem foi Viète, onde saberemos algumas de suas contribuições para Matemática, conheceremos o seu método para resolver equações do 2º grau e concluimos com um exemplo para facilitar a compreensão da aplicação do Método de Viète.

Quem era Viète?

François Viète era um advogado francês que viveu entre 1540 e 1603. Nas horas de lazer se dedicava à Matemática, deu grandes contribuições à Aritmética, Algébra, Trigonometria e Geometria. Foi primeiro a publicar uma obra que fazia distinção entre parâmetro, valor supostamente conhecido, e incógnita, valor desconhecido. Costumava usar vogais para representar os parâmetros e usava consoantes para representar as incógntas. Viète desenvolveu novos métodos de solução e percebeu relações entre raízes e coeficientes das equações, embora seus trabalhos tiveram várias restrinções por não aceitar raízes negativas.

O método de Viète para resolver equações do 2ºgrau

Considere a equação $ax^2 + bx + c = 0$, com parâmetros $a,b,c\in\mathbb{R}$, $a\neq 0$ e $x$ é uma variável real.
Sejam $u,v\in\mathbb{R}$ tal que $x = u + v$. Entao:
$$\begin{equation} a\left(u+v\right)^2 + b\cdot\left(u + v\right) + c = 0 \\
au^2 + 2auv + av^2 + bu + bv + c = 0 \\
au^2 + u\cdot\left(2av + b\right) + \left(av^2 + bv + c\right) = 0\label{eq1}\end{equation}$$
Vamos neutralizar o termo $u\cdot\left(2av + b\right)$, tomando $\left(2av + b\right) = 0$, assim, transformaremos a equação do segundo 2º grau completa em uma equação do 2º grau incompleta e poderemos determinar o valor de $v$ em função e $a$ e $b$.
$$\begin {equation}
2av + b = 0 \\
v =-\frac{b}{2a}\label{eq2}
\end{equation}$$
Vamos tomar $\ref{eq2}$ em $\ref{eq1}$:
$$\begin{equation}
au^2+\left(a\cdot\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\cdot\left(-\frac{b}{2a}\right)+c\right)=0 \\
au^2+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c =0 \\
u=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\label{eq3}
\end{equation}$$
Como $ x = u + v$, Tomando $\ref{eq2}$ e $\ref{eq3}$, temos
$$ x = -\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x =\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

Exemplo

Vamos resolver a equação $6x^2-5x+1=0$

Consideremos $x=u+v$, temos:

$$6\cdot\left(u+v\right)^2-5\cdot\left(u+v\right)+1=0 \\ 6\cdot\left(u^2+2uv+v^2\right)-5u-5v+1=0 \\ 6u^2+12uv+6v^2-5u-5v+1=0 \\ 6u^2+u\cdot\left(12v-5\right)+\left(6v^2-5v+1\right)=0$$

Vamos neutralizar o termo $u\cdot\left(12v-5\right)$ tomando $\left(12v-5\right)=0$:

$$12v-5=0\Rightarrow v=\frac{5}{12}$$

Substituiremos $v$ por $\dfrac{5}{12}$ na equação $6u^2+u\cdot\left(12v-5\right)+\left(6v^2-5v+1\right)=0$

$$6u^2+\left[6\left(\frac{5}{12}\right)^2-5\left(\frac{5}{12}\right)+1\right]=0\\6u^2+\frac{25}{24}-\frac{25}{12}+1=0 \\ 6u^2-\frac{1}{24}=0 \\ u=\pm\sqrt{\frac{1}{144}} \\ u=\pm\frac{1}{12}$$

Como $x=u+v$, então:

$x=\pm\dfrac{1}{12}+\dfrac{5}{12}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1=\dfrac{1}{2} \\ \\ x_2=\dfrac{1}{3} \end{matrix}\right.$ 

Conclusão

O método de Viète é tão eficaz quanto a técnica de completar quadrados e a aplicação direta da fórmula de resolução da equação do 2º grau, podendo ser apresentado na sala de aula como alternativa para os alunos que têm dificuldades nos métodos normalmente apresentados na escola.

Referência

http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/eq123graus.PDF

http://ecalculo.if.usp.br/historia/viete.htm

Amaral, JT. Método de Viète para resolução de equações do 2º grau. RPM nº 13

Planificação do cubo no Geogebra

Mova o ponto vermelho para mover a superfície do cubo. Os pontos em azul, se movidos, redimensiona e gira o cubo.
Para baixar o arquivo do geogebra acesse http://ggbtu.be/m498039

Recorte de Jornal Informando o Falecimento de Malba Tahan

CLIQUE NA IMAGEM PARA LER A MATÉRIA

Enviado por Paulo Sérgio Dias, Sorocaba-SP

Recebi esta imagem que é um recorte de algum jornal, não informado no e-mail, divulgando o falecimento de Malba Tahan.

O som do Pi

O músico Michael John Blake interpretou o número Pi na forma musical. Ele considerou que cada algarismo representa uma nota musical e, a partir daí, ele fez algo belíssimo, confira.

Choques na cabeça melhoram desempenho em matemática

A revista Galileu publicou uma matéria sobre um estudo feito por pesquisadores da Universidade de Oxford que comprova: pessoas com deficiência em matemática pode seu desempenho (em matemática) melhorado através de estímulos elétricos no cérebro, durante 6 meses.

Se espera, com  esta descoberta, ajudar 20% da população que tem uma dificuldade grave a moderada em matemática, como pessoas com discalculia, ou as que estão com dificuldades de manipular números por causa de um derrame.

Mas, não pense que se colocar o dedo na tomada, ou posicionar fios elétricos dentro do seu ouvido ou nariz você vai se tornar o maior matemático da história.

O estímulo é feito aplicando uma corrente elétrica muito fraquilha e constante, durante um determinado tempo, através de uma técnica não invasiva chamada estímulo transcraniano por corrente contínua (ETCC).

"Os pesquisadores aplicaram o ETCC especificamente na região do lobo parietal, uma parte do cérebro que é fundamental para a compreensão numérica. Os participantes do estudo tinham habilidades matemáticas normais, mas foram convidados a aprender uma série de números e símbolos artificiais que nunca tinham visto antes, enquanto eles recebiam o estímulo. Os pesquisadores então testaram a habilidade dos participantes para processar automaticamente a relação entre esses números artificiais para o outro e mapeá-los corretamente no espaço usando métodos padrão de teste para a competência numérica".

Com a aplicação do ETCC os participantes melhoraram a compreensão dos novos números.

Agora que sabem que o tratamento pode melhorar a habilidade numérica de pessoas com habilidade matemática normal, os pesquisadores planejam testar a sua utilização em pacientes com severa deficiência numérica. Se funcionar, o projeto pode ter consequências importantes, disse Cohen Kadosh. Segundo o pesquisador, a descoberta pode ajudar pessoas que não conseguem fazer tarefas básicas com números, como entender os rótulos dos alimentos ou o cálculo do troco em uma compra. 


Para ler a matéria na íntegra clique aqui. 

Aplicações de Razão e Proporção

Eu nunca vi um conteúdo matemático ser tão cotidiano quanto o assunto de razão e proporção. Utilizamos esses conteúdo, mesmo sem saber, diariamente. Por exemplo:

• Quando você vai à feira comprar 1,5 kg de tomate. O verdureiro informa que o quilo do tomate custa R$ 2,50. Então, imediatamente o verdureiro faz o cálculo, ou seja de cabeça (acredite, eles conseguem), ou seja na calculadora:
  2,5·1,5=3,75
  Portanto, você pagará R$ 3,75 por 1,5 kg de tomate.
  Mas talves você esteja pensando, mas não vejo o uso de razão e proporção. Cadê a propriedade fundamental, Produto dos meios igual ao dos extremos?
  Vamos utilizar o mesmo exemplo, mas com uma visão diferente. Vamos dizer que você quer comprar R$ 3,00 de tomate que custa R$ 2,50 o quilo. Então usamos a proporção R$ 2,50 está para 1 kg assim como R$ 3,00 está para y kg (y é a quantidade de tomate que você deseja comprar)
  
  
  
  Portanto, você comprará 1,2 kg de tomate.
  
• Outro exemplo na utilização de razão e proporção é na cozinha.Observe os ingredientes necessários para fazer 12 porções e cuscuz à paulista:
  Ingredientes:
  * 1/2 xícara (chá) de óleo
  * 10 tomates (sendo 8 sem pele e sem sementes picados e 2 em rodelas para decoração)
  * 2 pimentões picados em quadrinhos pequenos (verde e vermelho)
  * 1 lata de palmito
  * 3 ovos cozidos
  * 2 latas de filé de sardinha
  * 1 lata de ervilha
  * 4 colheres (sopa) de salsa picada
  * 6 tabletes de caldo de galinha
  * 4 xícaras (chá) de farinha de milho
  * 2 colheres (sopa) de farinha de mandioca
  * 1 pimenta vermelha picada (ou molho de pimenta)
  
  Receita do site Tudo é Gosto
  
  Se ao invés de 12 porções você desejasse fazer 18 porções então deveria calcular a razão entre a porção desejada e a porção da receita: 18/12=3/2=1,5Agora, vamos multiplicar todas as quantidades da receita por 1,5:
  * 3/4 xícara (chá) de óleo
  * 15 tomates (sendo 8 sem pele e sem sementes picados e 2 em rodelas para decoração)
  * 3 pimentões picados em quadrinhos pequenos (verde e vermelho)
  * 1,5 lata de palmito
  * 4,5 ovos cozidos
  * 3 latas de filé de sardinha
  * 1,5 lata de ervilha
  * 6 colheres (sopa) de salsa picada
  * 9 tabletes de caldo de galinha
  * 6 xícaras (chá) de farinha de milho
  * 3 colheres (sopa) de farinha de mandioca
  * 1,5 pimenta vermelha picada (ou molho de pimenta)
  
• Encontramos aplicações de razão e proporção em outras áreas como a construção civil, economia e contabilidade.

Quem nunca fez cálculos com porcentagens? Esta também é uma aplicação de razão e proporção. Veja que há várias aplicações no cotidiano e também em áreas científicas de razão e proporção.No site Humanitates apresenta algumas aplicações de razão e proporção na Farmacologia. Existem várias outras aplicações de razão e proporção que não caberia neste artigo, mas vou finalizá-lo mostrando uma razão bem importante: O número Áureo. Veja o vídeo a seguir, trecho do desenho Donald no país da Matemática.

Utilizem o espaço reservado para comentários e insiram outros exemplos de aplicações de razão e proporção

Matemática na política

Está repercutindo em todo o país a expressiva vitória do Palhaço Tiririca (o da música Florentina) usando o slogan "Tiririca, pior que tá não fica!". Em um de seus guias eletorais, Tiririca falou que não sabe o que um deputado federal faz e, em outro guia, ele disse que iria ajudar os pobres, inclusive, os da família dele. É engraçado e tenho certeza que muitos dos eleitores do "Abestadô" votou nele como protesto a muito dos políticos que aí estão. Mas ao contrário do que Tiririca promete, as "coisas podem ficar coisadas e coisadas pra pior" porque podemos ter elegidos candidatos que não gostariamos que estivessem lá, não os conheço, nem seus trabalhos, nem seu projetos e não tenho nada contra eles, mas o problema é que foram eleitos sem o consentimento do povo, pois há uma matemática, que muitos dos eleitores não conhecem, nos transformando em palhaços quando queremos dizer que os palhaços são eles.
Para entender melhor vamos supor que numa cidade há dois partidos disputando 5 cadeiras da câmara de vereadores de uma cidade fictícia chamada "Só Jesus Salva".

Partido Que Pode - PQP
Jacinto Pinto
Crecio Venâncio
João da Fossa
Patrícia da Rosca
Fredézio
Mano Mamando

Partidos da Nação - PN
Flávio do Circo
Francisca da Igreja
Joana Louca
Migué
Plínio da Chinela
Caio Careca
Molusco
(Os partidos e candidatos são fictícios, não conheço ninguém com estes nomes ou apelidos e não estou fazendo menção a ninguém)

Suponha que após as eleições os repectivos votos foram:

Partido Que Pode - PQP

Jacinto Pinto -  1234

Crecio Venâncio - 96

João da Fossa - 42

Patrícia da Rosca - 2756

Fredézio - 132

Mano Mamando - 13

Partidos da Nação - PN

Flávio do Circo - 234

Francisca da Igreja - 567

Joana Louca - 138

Migué - 42

Plínio da Chinela 12

Caio Careca - 20

Molusco - 200

Votos branco ou nulo - 7600

Para contagem de votos, são descartados os votos branco ou nulo, assim, os 7600 eleitores da cidade Só Jesus Salva jogaram fora a oportunidade de mudar o resultado final da eleição ao votar branco ou nulo.

Vamos contar o total de votos que cada partido obteve (você na verdade vota no partido e influência a ordem dos candidatos no partido).
PQP=1234+96+42+2756+132+13=4273
PN=234+567+138+42+12+20+200=1213

Assim, o total de votos válidos (VV) é a soma dos votos que os partidos obtiveram:
VV=PQP+PN=4273+1213=5486

Agora, podemos calcular o coeficiente eleitoral (CE) que é o total de votos válidos dividido pelo número de vagas disputadas para Câmara de vereadores ou deputados federais ou Assembleia Legislativa. Na nossa situação fictícia, a Câmara de Vereadores da cidade Só Jesus Salva tem 5 vagas, então:
CE=VV/5=5486/5=1097,2

Isto é, a cada 1097,2 votos o partido elege um vereador, portanto
PQP - 4273/1097,2=3,894458622~4
PN - 1213/1097,2=1,105541378~1

O PQP terá direito a 4 vagas na câmara e PN terá direito a 1 vaga na Câmara, assim, os eleitos são:

PQP
Patrícia da Rosca - 2756 votos
Jacinto Pinto - 1234 votos
Fredézio - 132 votos
Crecio Venâncio - 96 votos

PN
Francisca da Igreja - 567 votos

Veja que há candidatos que não foram eleitos no PN que tiveram mais votos que candidatos eleitos no PQP, mas por causa do coeficiente eleitoral eles não foram eleitos.

Para o exemplo prático, o coeficiente eleitoral em São Paulo foi próximo de 300.000 e Tiririca obteve 1.350.000 votos, portanto os votos de Tiririca deram para eleger 5 deputados federais do partido dele:
1350000/300000=4,5~5
Então, ao votar em Tiririca, os eleitores elegeram o Tiririca e mais 4 que não sabiam. Neste caso foram Otoniel Lima (PRB)

Protógenes Queiroz (PC do B)

Vanderlei Siraque (PT).

Agora que você já sabe como funciona a eleição para vereadores e deputados, planeje bem o seu voto de protesto. Se você votou em Tiririca porque acha que ele será um bom deputado ótimo, embora outros não achem, mas vivemos num democracia todos devem respeitar, mas chamo a atenção de quem votou só por protesto, não falo só os que votaram em Tiririca, mas também em outros candidatos só pra fazer protesto, tomem cuidado, pois o tiro pode sair pela culatra.

Um abraço e até a próxima.

Se você não viu, veja algumas imagens de Tiririca no Guia Eleitoral Gratuito de São Paulo.

Alguns sistemas de numeração

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Quando o homem sentiu a necessidade de contar, procurou criar meios de representar as quantidades que contavam, utilizavam gravetos, nós em cordas até que passaram a fazer riscos nas paredes. Assim, surgiram os primeiros registros matemáticos.

Desde a pré-história até o sistema de numeração que utilizamos atualmente, sistema indo-arábico, houve vários sistemas de numeração, como o sistema de numeração egípcio. Era um sistema que não tinha base, diferente do nosso que é base 10, pois não existia valor posicional, veja na figura1 os algarismos utilizados pelos egípcios.

Figura 1

Se quisessem escrever o número 11, por exemplo, faziam da seguinte forma: Ç|. Sempre somando os valores das figuras.

Um sistema de numeração importante foi o babilônico, pois foi um dos primeiro a usa anotação posicional. Era de base sexagesimal e também utilizava figuras para representar quantidades. Veja a figura 2

Figura 2

A partir do número 60 os números ficavam mais complicados de se entender, pois a figura para representar o número 1 era o mesmo para representar o número 60, como eles utilizavam espaços vazio para representar o algarismo zero, acho que fazia confusão, veja a figura3.

Figura 3

Então, o número é 3 ou 62?

Apesar da complicação por causa do algarismo zero, o sistema de numeração babilônico teve os seus louvores, afinal, foram os babilônios que criaram o modo de marcar as horas, através dos segundos, minutos e horas.

O sistema de numeração Maia já era mais simples, para nós. Eles utilizavam figuras para representar os algarismos. Veja a figura 4:

Figura 4

A partir do número 20, os números eram escritos na vertical e o valor correspondente era multiplicado por uma potência de base 20, sendo que a figura mais inferior era multiplicada por 20⁰ e a que vinha logo em cima por 20¹ e assim por diante, veja um exemplo na figura 5 como seria o número 97142:

••	12 x 203
••	2 x 202
••	17 x 201
	2 x 200

Somando cada valor, temos:

2 x 20⁰ + 17 x 20¹ + 2 x 20² + 12 x 20³ = 2 + 340 + 800 + 96000 = 97142

O sistema de numeração maia, segundo dados históricos, foi o primeiro a utilizar uma figura para representar o zero.

Existem outros sistemas de numeração que não existem mais e outros que são utilizados até hoje. Em breve, publicarei outros sistemas de numeração.

Uma boa maneira de calcular raízes quadradas de números quadrados perfeitos

Um método fácil de cálcular raíz quadrada de números quadrados perfeitos menores que 10.000

Critérios de Divisibilidade

Faz tempo que procurava critérios de divisibilidade de números como 7 e 13, nesta busca achei um site que mostra critérios de divisibilidade de 2 até 49, vale apena conferir: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/divisibilidade.htm