Utilizando uma circunferência para construir uma hipérbole

Vamos fazer um estudo sobre a hipérbole que pode ser obtida a partida da construção da postagem no link http://www.benditamatematica.com/2017/07/associando-pontos-da-circunferencia-uma.html.

A definição mais usual para hipérbole é

Sejam $F_1$ e $F_2$ dois pontos distintos do planos e $2c$ é a distância entre eles. A hipérbole é o lugar geométrico do ponto $P$ tal que a diferença das distância entre $P$ e cada um dos focos é $2a$, com $0 < a < c$ 

Na Construção 1, vamos considerar que a circunferência $d$ tem raio $p$, ou seja, $\overline{CP_1}=p$, a distância entre $P_1$ e $P$ será $m$, como $P$ é equidistante de $P_1$ e $F$, então, $\overline{P_1P}=\overline{PF}=m$, ver Figura 1.

Figura 1

Assim, temos:

$$\left\{\begin{array}{l}

\overline{CP}=p+m \\

\overline{PF}=m

\end{array}\right.\Rightarrow \left|\overline{CP}-\overline{PF}\right|=\left|p+m-m\right|=p$$

Deste modo, verificamos que quando $F$ é externo a $d$, o lugar geométrico de $P$ é uma hipérbole com foco $C$ e $F$. Na Figura 2, os pontos $A_1$ e $A_2$ são os vértices da parábola, assim $\overline{A_1A_2}$ é o eixo focal, $A_1$ é associado ao ponto $A'_1$ e $A_2$ é associado ao ponto $A'_2$. Sendo $p$ o raio de $d$ e $n$ a distância entre $A_2$ e $F$, vamos determinar a medida $2a$ do eixo focal.

Figura 2

A distância entre $A_1$ e $F$ é

$$d(A'_1,F)=2p+2n$$

Como $A_1$ é ponto médio de $A'_1$ e $F$, então

$$d(A_1,F)=\frac{d(A'_1,F)}{2}=\frac{2p+2n}{2}=p+n$$

Veremos que a distância entre os vértices da hipérbole é igual ao raio da circunferência $d$

$$d(A_1,A_2)=d(A_1,F)-d(A_2,F)=p+n-n=p$$

Como $A_2$ é o ponto médio entre $A'_2$ e $F$, então, a distância, 2c, entre os focos $C$ e $F$ é

$$d(C,F)=d(C,A'_2)+d(A'_2,F)=p+2n$$

Na Figura 3, $M$ é o centro da hipérbole e $\overline{B_1B_2}$ é o eixo não focal. Então, $\overline{MA_2}=\dfrac{p}{2}$ e $\overline{B_1A_2}=\dfrac{p+2n}{2}$. Vamos determina a medida $2b$ do eixo não focal utilizando a relação

$$c^2=a^2+b^2\Rightarrow\left( \dfrac{p+2n}{2} \right)^2=\left( \dfrac{p}{2} \right)^2+b^2 \Rightarrow b=\dfrac{\sqrt{n\left( 2p+n \right)}}{2}\Rightarrow \overline{B_1B_2}=2b=\sqrt{n\left( 2p+n \right)}$$

Figura 3

Sejam as reta $t_1$ e $t_2$ tangentes à circunferência $d$ nos pontos $P_1$ e $P_2$, respectivamente, e passam por $F$. Neste caso, não há circunferência que tangencie $d$ em $P_1$ ou $P_2$ e passe por $F$. Desta forma, vamos mostrar que as mediatrizes de $\overline{P_1F}$ e $\overline{P_2F}$ são as assíntotas da parábola.

Sabemos que as assíntotas têm coeficientes angulares $\dfrac{b}{a}$ e $-\dfrac{b}{a}$ e passa pelo centro da hipérbole. Assim, considere a Figura 4.

Figura 4

A circunferência $e$ tem centro em $M$ e raio $c=\overline{MF}=\dfrac{p+2n}{2}$, $P_1$ pertence a interseção de $d$ e $e$ e $t_1=\overline{P_1F}$. 

O triângulo $\triangle CP_1F$ é retângulo em $P_1$, pois $C\widehat{P_1}F=90^\circ$ porque é o ângulo do arco capaz da diagonal  de $e$. Como $\overline{CP_1}=2a$ e $\overline{CF}=2c$, então $\overline{P_1F}=2b=\sqrt{n\left( 20+n \right)}$, por causa da relação $c^2=a^2+b^2$. Então, temos $$tg \left(C\widehat{P_1}F\right)=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{n\left( 20+n \right)}}{p}$$

A mediatriz $s$ de $P_1$ e $F$ é perpendicular a $\overline{P_1F}$, então, $s // \overline{CP_1}$ e, como $M$ é equidistante de $P_1$ e $F$, então $s$ passa por $M$, logo $s$ é assíntota da hipérbole. De forma análoga, podemos mostrar que a mediatriz entre entre $F$ e $P_2$, o outro ponto de interseção entre $d$ e $e$, é a outra assíntota da parábola, ver Figura 5.

Figura 5