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domingo, 18 de agosto de 2019

Relacionando números complexos e matrizes $2\times 2$

Apresentamos uma relação entre o conjunto dos números complexos e o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2. Com a intenção de sermos objetivos, não faremos uma explanação formal sobre os complexos e as matrizes, apresentaremos apenas alguns conceitos para comprovar a relação entre os conjuntos.

Definição e forma algébrica de um número complexo


O conjunto dos números complexos, indicado por $\mathbb{C}$, é formado por números que têm a forma $z=a+bi$, com $a,b\in\mathbb{R}$ e $i=\sqrt{-1}$, assim, $i^2=-1$.

Todo número complexo $z=a+bi$ tem o seu conjugado, indicado por $\overline{z}$, que é um número complexo na forma $\overline{z}=a-bi$.

Considerando os números complexos $z_1=a+bi$ e $z_2=c+di$, definimos duas operações em $\mathbb{C}$:

  • SOMA: $z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$
  • MULTIPLICAÇÃO: $z_1\cdot z_2=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+ b\cdot c)i$

Em caso particular do produto entre um número complexo $z=a+bi$ e seu conjugado $\overline{z}=a-bi$ é $$z\cdot\overline{z}=a^2+b^2$$.

Relação entre $\mathbb{C}$ e $\mathbb{M}_2$


Vamos indicar por $\mathbb{M}_2$ o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2, ou seja, se $A\in\mathbb{M}_2$, então $A$ tem a forma:
$$A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}, \text{ com } a,b,c,d\in\mathbb{R}$$

Considerando as operações com matrizes, é possível provar que a matriz $I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ desempenha a mesma função em $\mathbb{M}_2$ que o número $1$ em $\mathbb{C}$. Considerando a $A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, é possível ver que $A^2=-I_2$, desta forma, verifica-se que a matriz $A$ desempenha a mesma função, em $\mathbb{M}_2$, que o número imaginário $i$, em $\mathbb{C}$. Desta forma, dados $a,b\in\mathbb{R}$ temos que a matriz $$Z=a\cdot\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}$$ pode ser associada ao número complexo $z=a+bi$.

Assim, podemos estabelecer uma função bijetiva $\Psi:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{M}_2$ tal que $$\Psi(a+bi)=\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}$$ com $a,b\in\mathbb{R}$.

Portanto, considerando os números complexos $z_1=a+bi$ e $z_2=c+di$, podemos definir as operações:

  • ADIÇÃO: $\Psi(z_1+z_2)=\Psi(z_1)+\Psi(z_2)=\begin{pmatrix} a+c & b+d\\ -(b+d) & a+c \end{pmatrix}$
  • MULTIPLICAÇÃO: $\Psi(z_1\cdot z_2)=\Psi(z_1)\cdot\Psi(z_2)=\begin{pmatrix} ac-bd & ad+bc\\ -(ad+bc) & ac-bd \end{pmatrix}$
Temos ainda que $$\Psi(z_1\cdot\overline{z_1})=\begin{pmatrix} a^2+b^2 & 0\\ 0 & a^2+b^2 \end{pmatrix}$$

Conclusão


Esta postagem é um recorte de um artigo publicado na Revista Eletrônica da Matemática. Caso queira se aprofundar neste conteúdo, clique  na referência abaixo para ter acesso ao artigo completo.

Referência


BEMM, Laerte; CAETANO, Douglas Monteiro. Geometria no conjunto das matrizes. Revista Eletrônica da Matemática, Bento Gonçalves, Rs, v. 2, n. 5, p.158-176, jul. 2019. Semestral. Disponível em: . Acesso em: 18 ago. 2019.

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