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segunda-feira, 18 de outubro de 2021

Alguns cálculos da Mega-Sena

Ganhar na Mega-Sena é o sonho de muita gente. Ficar milionário repentinamente não é fácil e esta loteria é a que paga os maiores prêmios, no Brasil. Nesta postagem, não vou dar dicas para ganhar na Mega-Sena - sou um péssimo jogador, pois o máximos que acertei foram 2 números! Mas espero ajudar esclarecendo a forma de encontrar algumas informações sobre a loteria. Vejamos a seguir, as regras da Mega-Sena.

  • Você faz uma aposta entre 6 e 15 números distintos entre 1 e 60
    • Uma aposta de 6 números é chamada de aposta simples
  • São sorteados 6 números e ganha prêmios quem acertar 4, 5 ou 6 números
    • Cada sorteio é chamado de Concurso
  • Os vencedores são classificados em 3 faixas:
    • Faixa 3: quem acerta 4 números (quadra)
    • Faixa 2: quem acerta 5 números (quina)
    • Faixa 1: quem acerta 6 números (sena)
  • Cada faixa tem a sua respectiva premiação que é rateada pelo número apostas simples premiadas na própria faixa.
Atualmente, uma aposta simples custa R\$ 4,50. O valor de uma aposta com $n$ números, onde $7\leq n\leq 15$, é R\$ ($4{,}5\cdot C_{n, 6}$). Veja que $C_{n, 6}$ é o número de combinações de 6 números entre os $n$ escolhidos. Por exemplo, se você vai fazer uma aposta com 9 números, $A_9$:
$$A_9=C_{9, 6}=\dfrac{9!}{(9-6)!\cdot 6!}=84$$
é como se estivesse fazendo 84 aposta simples distintas. Por esta razão, o valor da aposta $V_9$ é, em reais
$$V_9=4{,}5\cdot C_{9,\ 6}=4{,}5\cdot 84=378$$

No site das Loterias Online da Caixa Econômica há informações dos valores de todas as apostas e a probabilidade de acertar cada uma das faixas de prêmios..

Preços e Probabilidades
Quantidade de nº jogados Valor de aposta Probabilidade de acerto (1 em)
Sena Quina Quadra
6 4,50 50 063 860 154 518 2 332
7 31,50 7 151 980 44 981 1 038
8 126,00 1 787 995 17.192 539
9 378,00 595 998 7 791 312
10 945,00 238 399 3 973 195
11 2 079,00 108 363 2 211 129
12 4 158,00 54 182 1 317 90
13 7 722,00 29 175 828 65
14 13 513,50 16 671 544 48
15 22 522,50 10 003 370 37

Para encontrar as probabilidades apresentadas temos que, inicialmente, determinar a probabilidade de acertar a sena com uma aposta simples. O total de maneiras de sortear 6 números entre 60 é

$$C_{60, 6}=50\ 063\ 860$$

Se você faz uma apostada de simples, $A_6=1$, a probabilidade de acertar a sena, $P_6$, é

$$P_6(A_6) = \dfrac{1}{50\ 063\ 860}$$

O cálculo das probabilidades de outras apostas e faixas é obtida da seguinte forma:

  • Realiza uma aposta com $n$ números, onde $6\leq n\leq 15$;
  • Dos 6 números que são sorteados, é desejado acertar $p$, com $p\in\{4, 5, 6\}$

Então, dos 6 números sorteados, deseja que $p$ deles estejam entre os $n$ números da aposta e os outros $(6-p)$ números estejam entre os $(60-n)$ números que não estão na aposta. Assim, o total de maneiras de fazer uma aposta com $n$ números e acertar $p$, na Mega-Sena, é:

$$C_{n,\ p}\cdot C_{(60-n),\ (6-p)}$$

Por exemplo, deseja-se fazer uma aposta com 10 números e espera-se acertar a quina. Assim, temos $n=10$ e $p=5$. Logo

$$C_{10, 5}\cdot C_{50, 1}=252\cdot 50=12\ 600$$

Portanto, há 12 600 maneiras de acertar a quina com uma aposta de 10 números. Assim a probabilidade de acerta a quina, $P_5$, apostando 10 números, $A_{10}$, é:

$$P_5(A_{10})=\dfrac{C_{10, 5}\cdot C_{50, 1}}{C_{60, 6}}=\dfrac{12\ 600}{50\ 063\ 860}\approx \dfrac{1}{3\ 973}$$

Podemos deduzir que a probabilidade de acerta $p$ números numa aposta de $n$ números é

$$P_p(A_n)=\dfrac{C_{n,\ p}\cdot C_{(60-n),\ (6-p)}}{C_{60, 6}}$$

Outra informação relevante que encontramos na página das Loterias Online é o número de premiações

Quantidade de prêmios a receber acertando
Apostas 6 números 5 números 4 números
Quantidade de nº jogados Sena Quina Quadra Quina Quadra Quadra
6 1 0 0 1 0 1
7 1 6 0 2 5 3
8 1 12 15 3 15 6
9 1 18 45 4 30 10
10 1 24 90 5 50 15
11 1 30 150 6 75 21
12 1 36 225 7 105 28
13 1 42 315 8 140 36
14 1 48 420 9 180 45
15 1 54 540 10 225 55

Vamos considerar que fizemos uma aposta com 7 números que equivale a $A_7=7$ apostas simples, digamos que os números apostados foram: 01 - 04 - 05 - 30 - 33 - 41- 52. Assim, as 7 combinações possíveis são

Bilhete 1: 01 04 05 30 33 41
Bilhete 2: 01 04 05 30 33 52
Bilhete 3: 01 04 05 30 41 52
Bilhete 4: 01 04 05 33 41 52
Bilhete 5: 01 04 30 33 41 52
Bilhete 6: 01 05 30 33 41 52
Bilhete 7: 04 05 30 33 41 52

Vamos supor que os 6 números sorteados foram os mesmos do concurso 1: 04 - 05 - 30 - 33 - 41 - 52. Assim, acertaríamos a sena no Bilhete 7, mas observe que nos demais bilhetes também acertaríamos a quina. Desta forma, com uma aposta de 7 números, acertando a sena, também dá o direito de receber o prêmio de 6 quinas, no mesmo concurso.

Para generalizar, vamos considerar uma aposta com $n$ números, $6\leq n\leq 15$, onde se acerta $k$ números sorteados, $k\in\{4, 5, 6\}$. Para saber o números de prêmios na sena, quina ou quadra determinamos por

Sena ($k=6$) Quina ($k=6,\ 5$) Quadra ($k=6,\ 5,\ 4$)
1 $C_{k, 5}\cdot C_{n-k, 1}$ $C_{k, 4}\cdot C_{n-k, 2}$

Se acertar os 6 números, será pago o equivalente a 1 aposta simples, na Faixa 1, independente da quantidade de número da aposta. Por exemplo, se você realiza uma aposta com $n=9$ números e acerta $k=6$. Então o número de prêmios na sena, na quita e na quadra são

Sena ($n=9,\ k=6$)Quina ($n=9,\ k=6$)Quadra ($n=9,\ k=6$)
1$C_{6, 5}\cdot C_{3, 1}=18$$C_{6, 4}\cdot C_{3, 2}=45$

 Assim, no rateio, você receberá 1 prêmio na Faixa 1, 18 prêmios na Faixa 2 e 45 prêmios na Faixa 3.

Digamos que você fez uma aposta com 10 números, equivalente a $A_{10}=210$ apostas simples e acerta 5 números no sorteio. Assim, temos $n=10$ e $k=5$ 

Sena ($n=10,\ k=5$)Quina ($n=10,\ k=5$)Quadra ($n=10,\ k=5$)
0$C_{5, 5}\cdot C_{5, 1}=5$$C_{5, 4}\cdot C_{5, 2}=50$

Desta forma, você terá direito, no rateio, a 5 premiações na quinta e 50 premiações na quadra.

Vimos os cálculos das informações apresentadas sobre a Mega-Sena no site das Loterias Online e estes cálculos levam em consideração que todas as combinações possíveis são equiprováveis. Em uma futura postagem, pretendo abordar algumas probabilidades envolvendo dados estatísticos dos concursos.

Você já acertou a sena, a quina ou a quadra? Coloca nos comentários e diz se você adota alguma estratégia para escolher os números ou se tem alguma história legal pra nos contar envolvendo a Mega-Sena.

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