Variáveis Aleatórias Discretas - Exercício 1

Neste postagem, irei apresentar a resolução de 3 questões relacionadas a Variáveis Aleatórias Discretas. Quem tiver interesse em conhecer o conteúdo, assista o vídeo abaixo.

1) Um casal planeja ter 3 filhos. Sendo M o número de meninas entre os 3 filhos planejados pelo casal, a variância de M é:

a) 0,75        b) 1,03         c) 1,24         d) 2,37         e) 0,41

Considerando que o casal terá 3 crianças, o espaço amostral $S_1$ é

$$S_1=\{(AAA), (OAA), (AOA), (AAO), (OOA), (OAO), (AOO), (OOO)\}$$

Onde $A$ representa uma menina e $O$, menino.

Sendo $M$ o número de meninas que o casal pode ter, entre as 3 crianças e sendo a probabilidade de nascer uma menina ($P(A)$) igual a probabilidade de nascer um menino ($P(O)$), os valores que $M$ pode assumir são

$$M=0, 1, 2, 3$$

As probabilidades de $M$ assumir cada um dos valores estão detalhados na tabela abaixo

i	$M=m_i$	Resultados	$P(M=m_i)$
1	0	$(OOO)$	$\dfrac{1}{8}$
2	1	$(AOO), (OAO), (OOA)$	$\dfrac{3}{8}$
3	2	$(AAO),(AOA), (OAA)$	$\dfrac{3}{8}$
4	3	$(AAA)$	$\dfrac{1}{8}$

Desta forma, a distribuição de probabilidade da variável $M$ é

$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
M=m_i & 0 & 1 & 2 & 3 & \text{Total} \\ \hline
P(M=m_i) & \dfrac{1}{8} & \dfrac{3}{8} & \dfrac{3}{8} & \dfrac{1}{8} & 1
\end{array}
$$

A variância de $M$ é dada por

$$Var(M) = E(M^2)-[E(M)]^2$$

Assim, temos

$$E(M)=\sum_{i=1}^4 [m_i\cdot P(M=m_i)]=0\cdot\dfrac{1}{8}+1\cdot\dfrac{3}{8}+2\cdot\dfrac{3}{8}+3\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{12}{8}=1{,}5$$

$$E(M)=\sum_{i=1}^4 [m_i^2\cdot P(M=m_i)]=0^2\cdot\dfrac{1}{8}+1^2\cdot\dfrac{3}{8}+2^2\cdot\dfrac{3}{8}+3^2\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{24}{8}=3$$

Logo

$$Var(M)=3-1{,}5^2=3-2{,}25=0{,}75$$

Alternativa A

2) Uma moeda viciada tem 0,4 de chance de dá cara. Considere o experimento aleatório onde essa moeda é lançada 3 vezes e X é a variável que recebe o número de caras nesse experimento. A esperança de X é:

a) 1,7         b) 3         c) 0,8         d) 1,2         e) 2,3

Considerando um único lançamento da moeda, então o resultado poderá ser 

$$
\begin{array}{cc} \text{C=cara} & \text{K=coroa} \end{array}
$$

Desta forma, temos que a probabilidade de um lançamento dá cara é $P(C)=0{,}4$ e probabilidade de um lançamento dá coroa $P(K)=0{,}6$

O experimento consiste em 3 lançamento dessa moeda e anota o número $X$ de caras. O espaço amostral $S_2$ desse experimento é

$$S_2=\{(CCC), (KCC), (CKC), (CCK), (KKC), (KCK), (CKK), (KKK)\}$$

Como cada lançamento é um evento independente, temos

$$\begin{array}{l}
P(CCC)=0{,}4^3=0{,}064 \\
P(KCC)=P(CKC)=P(CCK)=0{,}4^2\cdot 0{,}6=0{,}096 \\
P(KKC)=P(KCK)=P(CKK)=0{,}4\cdot 0{,}6^2=0{,}144 \\
P(KKK)=0{,}6^3=0{,}216
\end{array}$$

Observando o espaço amostral $S_2$ os valores que a variável aleatória $X$ pode assumir são

$$X=0, 1, 2, 3$$

Assim, temos

$$\begin{array}{l}
P(X=3)=P(CCC)=0{,}064 \\
P(X=2)=P(KCC)+P(CKC)+P(CCK)=3\cdot 0{,}096=0{,}288 \\
P(X=1)=P(KKC)+P(KCK)+P(CKK)=3\cdot 0{,}144=0{,}432 \\
P(X=0)=P(KKK)=0{,}216
\end{array}$$

Assim, a distribuição de probabilidade de $X$ é

$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
X=x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & \text{Total} \\ \hline
P(X=x_i) & 0{,}216 & 0{,}432 & 0{,}288 & 0{,}064 & 1
\end{array}
$$

Logo, a esperança de $X$ é

$$E(X)=\sum_{i=1}^4 [x_i\cdot P(X=x_i)]=0\cdot 0{,}216 + 1\cdot 0{,}432 + 2\cdot 0{,}288 + 3\cdot 0{,}064 = 1{,}2$$

Alternativa D

3) Numa caixa há 30 peças, das quais 10 são defeituosas. São escolhidas 5 peças ao acaso e sem reposição. Sendo Y o número de peças defeituosas, entre as escolhidas, determine o valor aproximado de P(Y<3)

a) 57,2%         b) 91,8%         c) 80,9%         d) 76,9%         e) 30%

Neste experimento, iremos sortear 5 peças de uma caixa e vamos contar o números $Y$ de peças defeituosas, sabendo que na caixa há 10 peças defeituosas e 20 não defeituosas. Portanto, a probabilidade de sortearmos uma peça defeituosa desta caixa é $$P(D)=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}$$ Então, a probabilidade de sortear uma peça  não defeituosa é $$P(\sim D)=1-P(D)=\dfrac{2}{3}$$

O espaço amostral $S_3$ deste experimento é grande o que torna inviável descrevê-lo. Assim, utilizaremos técnicas de contagem para obter as informações necessárias para solução do problema.  Como serão sorteadas 5 peças, então, os valores que $Y$ podem assumir são

$$Y=0, 1, 2, 3, 4, 5$$

Então

$$P(Y<3)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)$$

O total de maneiras de sortear 5 peças entre as 30 é

$$n(S_3)=\binom{30}{5}=\dfrac{30!}{5! \cdot (30-5)!}=142\ 506$$

Para $Y=y_1=0$, deve-se escolher nenhuma peça defeituosa, ou seja, 5 peças defeituosas entre as 20 que estão na caixa. O total de maneiras, $n(Y=0)$, de ocorrer este resultado é 

$$n(Y=0)=\binom{20}{5}=15\ 504$$

Para $Y=y_2=1$, devemos escolher 1 peça entre as 10 defeituosas e 4 peças entre as 20 não defeituosas. Logo

$$n(Y=1)=\binom{10}{1}\cdot\binom{20}{4}=10\cdot 4\ 845 = 48\ 450$$

Seguindo este raciocínio, temos

$$n(Y=2)=\binom{10}{2}\cdot\binom{20}{3}=45\cdot 1\ 140 = 51\ 300$$

Assim, 

$$P(Y<3)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)=\dfrac{n(Y=0)}{n(S_3)}+\dfrac{n(Y=1)}{n(S_3)}+\dfrac{n(Y=2)}{n(S_3)}$$$$P(Y<3)=\dfrac{15\ 504}{142\ 506}+\dfrac{48\ 450}{142\ 506}+\dfrac{51\ 300}{142\ 506}=\dfrac{115\ 254}{142\ 506}\cong 80{,}9\%$$

Alternativa C