Adição e Subtração de Matrizes: Definição, Exemplos e Aplicações

As operações de adição e subtração de matrizes são fundamentais na Álgebra Linear. Elas permitem combinar ou comparar dados estruturados, facilitando a modelagem e a resolução de problemas em diversas áreas, como economia, engenharia, ciência de dados e estatística.

Neste texto, apresentamos as definições, seguidas de exemplos numéricos e aplicações práticas.

🧮 Definição

Sejam duas matrizes de ordem \( m \times n \):

\[ A = [a_{ij}] \in \mathbb{R}^{m \times n}, \quad B = [b_{ij}] \in \mathbb{R}^{m \times n} \]

A adição de \( A \) e \( B \) é definida como:

\[ A + B = [a_{ij} + b_{ij}] \in \mathbb{R}^{m \times n} \]

A subtração de \( B \) de \( A \) é definida como:

\[ A - B = [a_{ij} - b_{ij}] \in \mathbb{R}^{m \times n} \]

Em ambos os casos, as operações são feitas elemento a elemento. Ou seja, cada entrada \( c_{ij} \) da matriz resultante \( C \) é obtida pela operação entre as entradas \( a_{ij} \) e \( b_{ij} \).

✍️ Exemplo Numérico

Sejam:

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 6 & 2 \end{bmatrix} $$

Adição:

$$A + B = \begin{bmatrix} 2+4 & 5+7 \\ 3+6 & 1+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 12 \\ 9 & 3 \end{bmatrix} $$

Subtração:

$$A - B = \begin{bmatrix} 2-4 & 5-7 \\ 3-6 & 1-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}$$

📊 Aplicação: Avaliação de Desempenho

Considere duas equipes participando de dois desafios, onde cada nota atribuída pelos jurados é registrada em forma matricial. As linhas representam os jurados, e as colunas os desafios.

Equipe A:

$$A = \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 9 & 6 \end{bmatrix}$$

Equipe B:

$$B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 7 & 5 \end{bmatrix}$$

Soma das pontuações:

$$A + B = \begin{bmatrix} 14 & 15 \\ 16 & 11 \end{bmatrix}$$

Diferença de desempenho (Equipe A menos Equipe B):

$$A - B = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$$

Esse resultado permite uma análise comparativa por critério: por exemplo, a célula \( (1,2) = -1 \) indica que a Equipe B superou a A em 1 ponto no segundo desafio, segundo o primeiro jurado.

✅ Propriedades Algébricas

Sejam \( A, B, C \in \mathbb{R}^{m \times n} \) e \( O \in \mathbb{R}^{m \times n} \) a matriz nula. As operações de adição e subtração obedecem às seguintes propriedades:

• Comutatividade da adição: \( A + B = B + A \)
• Associatividade da adição: \( A + (B + C) = (A + B) + C \)
• Elemento neutro: \( A + O = A \)
• Elemento oposto: \( A - B = A + (-B), \text{ onde } (-B) = [-b_{ij}] \)

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