Eliminação de Gauss-Jordan: Zerando Tudo Até Encontrar a Solução

Você já viu como o método da Eliminação de Gauss pode ser usado para resolver sistemas lineares. Mas... e se te dissermos que uma simples variação dele também pode ser usada para determinar a matriz inversa de qualquer matriz quadrada?

Sim! Com o método de Gauss-Jordan, isso é possível — e o processo é mais direto do que parece.

👉 Veja o passo a passo dessa aplicação neste post especial:
🔗 Matriz inversa pelo método de Gauss

Agora, siga comigo para descobrir como essa mesma técnica pode ser usada para resolver sistemas de equações de forma clara, lógica e automatizável.

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🧠 O que é a Eliminação de Gauss-Jordan?

A Eliminação de Gauss-Jordan é uma extensão do método de Gauss. Ela transforma a matriz aumentada do sistema em uma forma ainda mais simplificada: a matriz identidade na parte dos coeficientes, com os resultados já isolados.

Ao final do processo, a matriz terá o seguinte formato:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & x \\ 0 & 1 & 0 & | & y \\ 0 & 0 & 1 & | & z \end{bmatrix} $$

Ou seja: o sistema já está resolvido!

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🔧 Diferença entre Gauss e Gauss-Jordan

• Gauss: escalona a matriz até que ela fique triangular inferior (usa substituição regressiva no final).
• Gauss-Jordan: vai além, escalonando também acima da diagonal, eliminando todas as outras variáveis.

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✅ Exemplo 1: sistema com solução única

Vamos resolver o sistema:

$$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 14 \\ x - y + 2z = 2 \end{cases} $$

🔹 Passo 1: Matriz aumentada

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 3 & 1 & | & 14 \\ 1 & -1 & 2 & | & 2 \end{bmatrix} $$

🔹 Passo 2: Escalone como no método de Gauss

(a) Elimine os elementos abaixo do pivô \(1\) da primeira coluna:

• \(L_2 = L_2 - 2 \cdot L_1\)
• \(L_3 = L_3 - L_1\)

Resultado:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & 2 \\ 0 & -2 & 1 & | & -4 \end{bmatrix} $$

(b) Elimine o elemento abaixo do pivô da segunda coluna:

• \(L_3 = L_3 + 2 \cdot L_2\)

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 0 & -1 & | & 0 \end{bmatrix} $$

🔹 Passo 3: Continue eliminando acima da diagonal

• \(L_2 = L_2 + L_3\)

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -2 & | & 2 \\ 0 & 0 & -1 & | & 0 \end{bmatrix} $$

• \(L_1 = L_1 - L_3\)

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 6 \\ 0 & 1 & -2 & | & 2 \\ 0 & 0 & -1 & | & 0 \end{bmatrix} $$

🔹 Passo 4: Normalize a diagonal

• Divida \(L_3\) por \(-1\)
• Ajuste \(L_2 = L_2 + 2 \cdot L_3\)
• Ajuste \(L_1 = L_1 - L_2\)

Resultado final:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{bmatrix} $$

✅ Solução:

$$ x = 2, \quad y = 3, \quad z = 1 $$

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✅ Exemplo 2: outro sistema para refletir

Considere agora o sistema:

$$ \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = 6 \\ 3x + 6y - 3z = 9 \end{cases} $$

🔹 Matriz aumentada:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 2 & 4 & -2 & | & 6 \\ 3 & 6 & -3 & | & 9 \end{bmatrix} $$

🔹 Aplicando Gauss-Jordan...

Após aplicar as operações de linha para escalonamento completo, obtemos:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} $$

🔍 Interpretação:

Ao final do processo, apenas a primeira equação permanece independente. As demais se anulam, indicando que há liberdade para escolher uma das variáveis.

Podemos, por exemplo, tomar \(z = t\) (parâmetro real), e expressar:

$$ x = 3 + t, \quad y = t $$

Ou seja, há uma família de soluções compatíveis com o sistema.

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🎯 Vantagens do método Gauss-Jordan

• 🔄 Elimina a necessidade de substituição regressiva;
• 🤖 Ideal para programação e resolução automática;
• 🧮 Ótimo para resolver muitos sistemas ao mesmo tempo (ex: encontrar inversa de matriz).

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⚠️ Cuidados

• Pode envolver mais passos que o método de Gauss simples;
• Pode gerar mais frações — atenção à precisão numérica.

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💬 Gostou da explicação?

Se você quer ir além e usar Gauss-Jordan para calcular a inversa de uma matriz, não deixe de conferir este conteúdo complementar:
🔗 Matriz inversa pelo método de Gauss