Matriz inversa pelo Método de Gauss-Jordan

Calcular a inversa de uma matriz é uma das tarefas mais fundamentais da Álgebra Linear. Dentre os métodos disponíveis, o método de Gauss-Jordan se destaca por sua clareza algorítmica e aplicação direta em implementações computacionais.

Neste texto, você verá o cálculo da inversa de uma matriz $4 \times 4$ utilizando o método de Gauss-Jordan, com todas as etapas de forma detalhada.

🧠 Breve Histórico

O processo de eliminação de variáveis, hoje conhecido como eliminação de Gauss, foi sistematizado por Carl Friedrich Gauss no século XIX. Mais tarde, Wilhelm Jordan aprimorou o método ao propor uma forma de transformar a matriz completamente em uma matriz identidade (e não apenas triangular), o que permitiu o cálculo direto da inversa.

📌 Objetivo

Dada uma matriz $A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$, queremos determinar sua inversa $A^{-1}$ aplicando operações elementares de linha na matriz aumentada $[A \,|\, I_4]$, até transformá-la em $[I_4 \,|\, A^{-1}]$.

🧮 Exemplo Detalhado

Seja a matriz:

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 1 \\ 4 & 10 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} $$

Construímos a matriz aumentada:

$$ [A \,|\, I_4] = \left[ \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 10 & 1 & 5 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] $$

🔹 Etapa 1: Pivô na primeira coluna ($a_{11} = 1$)

• $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$
• $L_3 \leftarrow L_3 - 4L_1$
• $L_4 \leftarrow L_4 - L_1$

Resultado:

$$ \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -5 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -7 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array} $$

🔹 Etapa 2: Pivô na segunda coluna ($a_{22} = 1$)

• $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$
• $L_4 \leftarrow L_4 + L_2$
• $L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2$

$$ \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & -2 & 13 & 5 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -5 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 & 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -6 & -3 & 1 & 0 & 1 \end{array} $$

🔹 Etapa 3: Pivô na terceira coluna ($a_{33} = -1$)

• $L_3 \leftarrow -L_3$

$$ L_3 = (0, 0, 1, -3 \mid 0, 2, -1, 0) $$

• $L_1 \leftarrow L_1 + 2L_3$
• $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$
• $L_4 \leftarrow L_4 - L_3$

$$ \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 7 & 5 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & -3 & -1 & 1 & 1 \end{array} $$

🔹 Etapa 4: Pivô na quarta coluna ($a_{44} = -3$)

$L_4 \leftarrow -\frac{1}{3} L_4$

$$ L_4 = (0, 0, 0, 1 \mid 1, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}) $$

• $L_1 \leftarrow L_1 - 7L_4$
• $L_2 \leftarrow L_2 + 2L_4$
• $L_3 \leftarrow L_3 + 3L_4$

$$ \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -2 & -\frac{4}{3} & \frac{1}{3} & \frac{7}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{array} $$

✅ Resultado Final

A inversa da matriz $A$ é:

$$ A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & -\frac{4}{3} & \frac{1}{3} & \frac{7}{3} \\ 0 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 3 & 3 & -2 & -1 \\ 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{bmatrix} $$

🎯 Enfim...

O método de Gauss-Jordan é uma ferramenta poderosa e sistemática para calcular a inversa de uma matriz. Ele fornece um caminho direto, baseado apenas em operações de linha, sem necessidade de cálculo de determinantes ou cofatores.

Esse exemplo detalhado mostra que, mesmo com matrizes maiores, o processo segue regras claras e mecânicas. Com prática — e eventualmente apoio computacional — esse método se torna um aliado essencial da Álgebra Linear.