Da definição de determinante à Regra de Laplace

Imagine uma fórmula capaz de capturar a essência do volume, a orientação do espaço e a invertibilidade de uma transformação linear — tudo ao mesmo tempo. Essa fórmula existe. Ela tem nome, história e estrutura: é o determinante.

Ao longo da sua formação em Álgebra Linear, é provável que você tenha aprendido a calcular determinantes com métodos práticos: a regra de Sarrus para matrizes \( 3 \times 3 \), o escalonamento de Gauss, ou a Regra de Laplace. Mas… você já se perguntou de onde vem a Regra de Laplace? Neste texto, vamos explorar essa resposta a partir da definição mais profunda do determinante — aquela que nasce das permutações. E, passo a passo, revelaremos como essa fórmula leva naturalmente à célebre expansão por cofatores.

📐 O que é o determinante? Uma definição via permutações

Dada uma matriz quadrada \( A = [a_{ij}] \in \mathbb{R}^{n \times n} \), seu determinante é definido por:

\[ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \]

Cada termo da soma percorre uma permutação dos índices das colunas. O sinal da permutação, \( \operatorname{sgn}(\sigma) \), vale:

• \(+1\) se \( \sigma \) for par (número par de transposições),
• \(-1\) se \( \sigma \) for ímpar (número ímpar de transposições).

📐 Um exemplo em três dimensões

Considere a matriz \( A \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \):

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \]

O grupo \( S_3 \) possui 6 permutações. Vamos analisá-las uma a uma:

• \( \sigma = (1)(2)(3) \): identidade. Nenhuma troca. \( \operatorname{sgn} = +1 \). Termo: \( a_{11}a_{22}a_{33} \)
• \( \sigma = (2\,3) \): troca 2 com 3. Uma transposição. \( \operatorname{sgn} = -1 \). Termo: \( a_{11}a_{23}a_{32} \)
• \( \sigma = (1\,2) \): troca 1 com 2. \( \operatorname{sgn} = -1 \). Termo: \( a_{12}a_{21}a_{33} \)
• \( \sigma = (1\,2\,3) \): cíclica. Duas transposições. \( \operatorname{sgn} = +1 \). Termo: \( a_{12}a_{23}a_{31} \)
• \( \sigma = (1\,3\,2) \): cíclica. Duas transposições. \( \operatorname{sgn} = +1 \). Termo: \( a_{13}a_{21}a_{32} \)
• \( \sigma = (1\,3) \): troca 1 com 3. Uma transposição. \( \operatorname{sgn} = -1 \). Termo: \( a_{13}a_{22}a_{31} \)

Logo:

\[ \begin{aligned} \det(A) &=\ + a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} \\\\ &\quad + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} \end{aligned} \]

Cada termo aparece com o sinal da permutação que o gera — e esse sinal nos diz se a permutação preserva ou inverte a orientação do espaço.

Agora que já compreendemos o determinante como uma soma sobre permutações ponderadas por seus sinais, podemos explorar uma das formas mais clássicas e úteis de calcular determinantes: a Regra de Laplace.

Essa regra nos permite expandir o determinante ao longo de uma linha ou coluna, quebrando o cálculo em menores de ordem inferior. Mas o que poucos percebem é que essa fórmula tão prática não é um atalho arbitrário: ela emerge diretamente da definição baseada em permutações.

Vamos demonstrar isso com clareza e elegância.

🎯 Enunciado da Regra de Laplace

Seja \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \), e fixemos uma linha \( i \in \{1, \dots, n\} \). A Regra de Laplace afirma:

\[ \det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i + j} \cdot a_{ij} \cdot \det(M_{ij}) \]

onde:

• \( M_{ij} \) é a submatriz obtida ao remover a linha \( i \) e a coluna \( j \),
• \( (-1)^{i+j} \) é o fator de sinal do cofator correspondente à posição \( (i, j) \).

🔎 Estrutura da demonstração

Nosso ponto de partida é a definição de determinante como:

\[ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot \prod_{k=1}^{n} a_{k, \sigma(k)} \]

Vamos reorganizar essa soma agrupando as permutações \( \sigma \) conforme o valor de \( \sigma(i) \), ou seja, conforme a coluna escolhida na linha \( i \).

🧮 Etapa 1: Agrupando as permutações

Para cada \( j \in \{1, \dots, n\} \), definimos o conjunto:

\[ S_n^{(j)} = \{ \sigma \in S_n \mid \sigma(i) = j \} \]

Então, o determinante pode ser escrito como:

\[ \det(A) = \sum_{j=1}^n \sum_{\sigma \in S_n^{(j)}} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot \prod_{k=1}^{n} a_{k, \sigma(k)} \]

🧾 Etapa 2: Fatorando \( a_{ij} \)

Para cada permutação \( \sigma \in S_n^{(j)} \), temos \( a_{ij} \) como um dos fatores do produto. Podemos colocá-lo em evidência:

\[ \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot \left( \sum_{\sigma \in S_n^{(j)}} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot \prod_{k \ne i} a_{k, \sigma(k)} \right) \]

Nos resta interpretar a soma interna. Ela é — com um pequeno ajuste de sinal — o determinante da submatriz \( M_{ij} \).

🧩 Etapa 3: Relação com a submatriz \( M_{ij} \)

Removendo a linha \( i \) e a coluna \( j \) de \( A \), obtemos a submatriz \( M_{ij} \). Cada permutação \( \sigma \in S_n^{(j)} \) determina uma permutação \( \sigma' \in S_{n-1} \) das linhas e colunas restantes.

O produto \( \prod_{k \ne i} a_{k, \sigma(k)} \) é então uma contribuição para o determinante de \( M_{ij} \), e o sinal \( \operatorname{sgn}(\sigma) \) pode ser decomposto como:

\[ \operatorname{sgn}(\sigma) = (-1)^{i + j} \cdot \operatorname{sgn}(\sigma') \]

Esse fator \( (-1)^{i+j} \) corresponde ao número de transposições necessárias para "inserir" a coluna \( j \) na posição \( i \) da permutação completa.

✅ Etapa 4: Concluindo

Substituindo na expressão anterior, obtemos:

\[ \det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i + j} \cdot a_{ij} \cdot \det(M_{ij}) \]

Assim, demonstramos que a Regra de Laplace não é uma técnica isolada, mas uma reescrita elegante da definição de determinante:

\[ \boxed{ \det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i + j} \cdot a_{ij} \cdot \det(M_{ij}) } \]

✨ Uma nova forma de enxergar

A Regra de Laplace mostra que cada elemento de uma linha (ou coluna) da matriz contribui com uma "influência orientada" para o valor total do determinante. E essa influência está profundamente conectada à estrutura combinatória do determinante: as permutações e seus sinais.

Agora, mais do que aplicar a fórmula, você entende de onde ela vem — e por que ela funciona.

📜 Nota histórica

A definição de determinante como soma de produtos ponderados por sinais de permutações tem raízes que remontam ao século XVII. Foi o matemático e filósofo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) o primeiro a registrar, ainda que de forma não sistematizada, uma fórmula geral para determinantes baseada em permutações. Em seus manuscritos, ele descreveu explicitamente o determinante de uma matriz \( n \times n \) como:

\[ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \]

Essa expressão, conhecida atualmente como fórmula de Leibniz, antecipa em quase um século os desenvolvimentos mais sistemáticos da teoria dos determinantes. Foi apenas no século XIX que matemáticos como Augustin-Louis Cauchy e Carl Gustav Jacobi estabeleceram formalmente as propriedades estruturais dos determinantes, tal como as conhecemos hoje — incluindo linearidade, alternância e multiplicatividade.

Assim, ao estudarmos a Regra de Laplace ou a definição moderna de determinante, estamos caminhando pelos alicerces deixados por Leibniz e refinados por gerações de matemáticos que transformaram uma ideia combinatória em uma das ferramentas mais elegantes da Álgebra Linear.

🧠 Gostou de descobrir os bastidores da Regra de Laplace e entender como ela se conecta com a definição fundamental do determinante?

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