Desvendando o determinante da matriz triangular

Na sala de aula da matemática, algumas matrizes chamam pouca atenção. Elas parecem comportadas, organizadas — quase monótonas. Mas, ao olharmos com mais cuidado, percebemos que estão escondendo algo grandioso. Essas são as matrizes diagonais e triangulares: estruturas tão bem arranjadas que tornam o cálculo do determinante uma verdadeira dança entre cofatores e zeros.

📌 O determinante de uma matriz diagonal ou triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.

Mas não vamos apenas afirmar. Vamos demonstrar isso com rigor, utilizando a clássica e poderosa expansão de Laplace pela última linha, uma abordagem tão elegante quanto eficaz.

📐 Começamos pela matriz diagonal

Considere a matriz diagonal:

\[ D = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_n \end{bmatrix} \]

Todos os elementos fora da diagonal são zero. Nosso objetivo é provar que:

\[ \det(D) = d_1 \cdot d_2 \cdots d_n \]

✅ Caso base: \( n = 1 \)

\[ D = [d_1] \Rightarrow \det(D) = d_1 \]

🔄 Passo indutivo

Suponha que vale para matriz diagonal de ordem \( n \). Vamos provar que vale para ordem \( n+1 \).

A matriz:

\[ D_{n+1} = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_{n+1} \end{bmatrix} \]

Tem a última linha com todos os elementos nulos, exceto o último: \([0\ 0\ \cdots\ 0\ d_{n+1}]\)

Aplicando a expansão de Laplace pela última linha:

\[ \det(D_{n+1}) = \sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{n+1 + j} \cdot d_{n+1, j} \cdot \det(M_{n+1, j}) \]

Apenas o último termo sobrevive: \[ \det(D_{n+1}) = d_{n+1} \cdot \det(D_n) \]

Pela hipótese de indução: \[ \det(D_n) = d_1 \cdot d_2 \cdots d_n \Rightarrow \det(D_{n+1}) = d_1 \cdot d_2 \cdots d_{n+1} \]

🔼 Agora, a matriz triangular superior

Seja:

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \]

Queremos provar: \[ \det(A) = a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn} \]

✅ Caso base: \( n = 1 \)

\[ A = [a_{11}] \Rightarrow \det(A) = a_{11} \]

🔁 Passo indutivo

Suponha que vale para ordem \( n \). Considere a matriz \( A_{n+1} \):

\[ A_{n+1} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,n+1} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2,n+1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n+1,n+1} \end{bmatrix} \]

A última linha tem todos os elementos nulos, exceto o último. Ao aplicar a expansão de Laplace pela última linha:

\[ \det(A_{n+1}) = a_{n+1,n+1} \cdot \det(A_n) \]

Pela hipótese de indução: \[ \det(A_n) = a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn} \Rightarrow \det(A_{n+1}) = a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{n+1,n+1} \]

🔽 E para triangular inferior?

Mesma ideia: aplique a expansão de Laplace pela última coluna, aproveitando os zeros acima da diagonal. O raciocínio se repete com perfeição, e o determinante continua sendo o produto da diagonal.

✅ Conclusão: cofatores, estrutura e beleza

Com a expansão de Laplace pela primeira linha, vimos como a estrutura das matrizes diagonais e triangulares permite que o determinante se revele de forma quase automática:

\[ \boxed{ \det(A) = \prod_{i=1}^{n} a_{ii} } \]

Um resultado elegante, útil, e profundamente ligado à essência das transformações lineares.

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💬 E você, já conhecia esse segredo?

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