Determinando Matriz inversa com cofatores

Imagine que você tem em mãos uma matriz que transforma um vetor em outro espaço. Agora, você precisa voltar ao ponto de partida — reverter a transformação. Assim como o inverso de um número “desfaz” a multiplicação, a matriz inversa desfaz uma transformação linear. Mas… como encontrar essa tal inversa?

Neste post, vamos explorar um dos métodos mais clássicos e conceitualmente ricos da Álgebra Linear: a inversa por meio da matriz dos cofatores — um verdadeiro mergulho no coração da teoria das matrizes.

🧭 A condição essencial

Antes de calcular a inversa, precisamos verificar se ela existe. A condição é simples e poderosa:

$$ \det(A) \ne 0 $$

Se o determinante da matriz \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) for diferente de zero, dizemos que \( A \) é invertível ou não singular. Só então podemos prosseguir.

🔬 O método: Inversa por Cofatores

Se a matriz \( A \) for quadrada e invertível, sua inversa pode ser calculada pela fórmula:

$$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) $$

Onde:

• \( \text{adj}(A) \) é a adjunta de \( A \), obtida pela transposição da matriz dos cofatores;
• \( \text{Cof}(A) \) é a matriz dos cofatores, com cada elemento dado por:

$$ C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(M_{ij}) $$

Em que \( M_{ij} \) é a submatriz de \( A \) obtida ao remover a linha \( i \) e a coluna \( j \).

🧮 Exemplo completo: matriz \(3 \times 3\)

Vamos aplicar o método em uma matriz de ordem 3 para ilustrar todas as etapas com clareza.

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix} $$

🔹 Etapa 1: Calcular o determinante

$$ \det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 2 \cdot (0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) + 3 \cdot (0 \cdot 6 - 1 \cdot 5) = -24 + 40 - 15 = \boxed{1} $$

🔹 Etapa 2: Calcular a matriz dos cofatores

Cálculo detalhado dos cofatores:

• \( C_{11} = \det \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{bmatrix} = -24 \)
• \( C_{12} = -\det \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = 20 \)
• \( C_{13} = \det \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} = -5 \)
• \( C_{21} = -\det \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{bmatrix} = 18 \)
• \( C_{22} = \det \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = -15 \)
• \( C_{23} = -\det \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} = 4 \)
• \( C_{31} = \det \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = 5 \)
• \( C_{32} = -\det \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = -4 \)
• \( C_{33} = \det \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 1 \)

Assim, temos:

$$ \text{Cof}(A) = \begin{bmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{bmatrix} $$

🔹 Etapa 3: Transpor a matriz dos cofatores

$$ \text{adj}(A) = \text{Cof}(A)^T = \begin{bmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{bmatrix} $$

🔹 Etapa 4: Multiplicar pela constante \( \frac{1}{\det(A)} \)

Como \( \det(A) = 1 \), temos:

$$ A^{-1} = \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{bmatrix} $$

🎯 Sobre este método

O cálculo da inversa por meio de cofatores é mais do que um algoritmo: é uma janela para entender a estrutura interna de uma matriz. Embora não seja o método mais eficiente para matrizes grandes, é fundamental para compreender a Álgebra Linear com profundidade.

💬 E agora é com você!

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