Determinante e Escalares: o que acontece quando multiplicamos uma matriz por um número?

Às vezes, na Matemática, grandes verdades se revelam quando observamos os detalhes mais sutis. No caso dos determinantes, há algo fascinante em como uma única linha pode alterar — ou preservar — todo o valor de uma matriz.

Neste post, vamos explorar três propriedades fundamentais dos determinantes e demonstrá-las a partir da Regra de Laplace, uma das mais clássicas e elegantes ferramentas da Álgebra Linear.

🧮 A Regra de Laplace como ponto de partida

Dado \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \), o determinante de \( A \) pode ser definido pela expansão de cofatores ao longo de uma linha (ou coluna) qualquer.

Para a linha \( i \), a fórmula é: \[ \det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det(M_{ij}) \]

onde \( a_{ij} \) é o elemento da linha \( i \) e coluna \( j \), e \( M_{ij} \) é a submatriz obtida de \( A \) removendo a linha \( i \) e a coluna \( j \).

🔹 1. Linearidade do determinante em uma linha

Começamos com a linearidade do determinante em relação a uma linha específica: se alteramos a linha \( i \) como combinação linear de duas outras, o determinante se distribui da mesma forma.

📐 Enunciado:

Se a linha \( i \) de uma matriz \( A \) for: \[ L_i = \alpha L_i^{(1)} + \beta L_i^{(2)} \] então: \[ \det(A) = \alpha \cdot \det(A^{(1)}) + \beta \cdot \det(A^{(2)}) \] onde \( A^{(1)} \) e \( A^{(2)} \) têm as mesmas entradas de \( A \), exceto na linha \( i \), que são respectivamente \( L_i^{(1)} \) e \( L_i^{(2)} \).

🧠 Demonstração via Regra de Laplace

Utilizaremos a expansão de Laplace pela linha \( i \).

Como a linha \( i \) de \( A \) é \( L_i = \alpha L_i^{(1)} + \beta L_i^{(2)} \), temos: \[ a_{ij} = \alpha \cdot a_{ij}^{(1)} + \beta \cdot a_{ij}^{(2)} \]

Substituímos isso na expansão: \[ \det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot (\alpha a_{ij}^{(1)} + \beta a_{ij}^{(2)}) \cdot \det(M_{ij}) \]

Distribuindo os coeficientes: \[ = \alpha \cdot \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}^{(1)} \det(M_{ij}) + \beta \cdot \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}^{(2)} \det(M_{ij}) \] \[ = \alpha \cdot \det(A^{(1)}) + \beta \cdot \det(A^{(2)}) \]

✅ Propriedade demonstrada! O determinante é linear em cada linha.

🔹 2. Multiplicação de uma linha por um escalar

📐 Enunciado:

Se \( A' \) é obtida de \( A \) multiplicando apenas a linha \( i \) por um escalar \( k \), então: \[ \det(A') = k \cdot \det(A) \]

🧠 Demonstração via Regra de Laplace

Se a linha \( i \) foi multiplicada por \( k \), então: \[ a_{ij}' = k \cdot a_{ij} \]

Substituindo na expansão de Laplace: \[ \det(A') = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot (k \cdot a_{ij}) \cdot \det(M_{ij}) = k \cdot \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot \det(M_{ij}) = k \cdot \det(A) \]

✅ Demonstrado! Multiplicar uma única linha por \( k \) multiplica o determinante por \( k \).

🔹 3. Multiplicação de toda a matriz por um escalar

📐 Enunciado:

\[ \det(kA) = k^n \cdot \det(A) \]

🧠 Demonstração a partir da propriedade anterior

Como multiplicar cada linha por \( k \) multiplica o determinante por \( k \), então multiplicar todas as \( n \) linhas por \( k \) multiplica o determinante por \( k^n \). Logo: \[ \det(kA) = k^n \cdot \det(A) \]

✅ Conclusão direta!

🧠 O determinante como espelho da estrutura

Essas demonstrações revelam que o determinante é mais do que uma operação — ele é um reflexo fiel da estrutura da matriz:

\[ \boxed{ \text{Multiplicar uma linha por } k \Rightarrow \det \text{ por } k \quad\quad \text{Multiplicar todas as linhas por } k \Rightarrow \det \text{ por } k^n } \]

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