Determinantes e operações de linha: a soma que não muda nada

No estudo dos determinantes, uma das propriedades mais sutis — e poderosas — está no comportamento do determinante frente às operações elementares de linha. Hoje, vamos focar em uma delas: somar a uma linha o múltiplo de outra linha.

A pergunta é: essa operação altera o determinante?
E a resposta é: \[ \boxed{\text{Não, o determinante permanece o mesmo.}} \]

🎯 Propriedade a demonstrar

Seja \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \), e \( A' \) a matriz obtida ao substituir a linha \( i \) por: \[ L_i' = L_i + \lambda \cdot L_j \quad (i \ne j), \] então: \[ \det(A') = \det(A) \]

🧠 Intuição

O determinante é uma função com duas propriedades fundamentais:

• Linearidade em cada linha (mantendo as demais fixas);
• Alternância: se duas linhas são iguais, o determinante é zero.

Assim, ao somar um múltiplo de uma linha a outra, você não está alterando o volume orientado (geometricamente interpretado) associado à matriz — logo, o determinante permanece inalterado.

📐 Demonstração via Regra de Laplace

Vamos considerar a expansão de Laplace pela linha \( i \), a linha que foi modificada. Como a nova linha é uma combinação linear: \[ L_i' = L_i + \lambda \cdot L_j, \] temos, pela linearidade do determinante na linha \( i \): \[ \det(A') = \det(A) + \lambda \cdot \det(\text{matriz com } L_i = L_j) \]

Mas agora precisamos demonstrar por que \[ \det(\text{matriz com duas linhas iguais}) = 0. \]

🚫 Por que o determinante de uma matriz com duas linhas iguais é zero?

Seja \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) e suponha que \( A' \) é a matriz obtida trocando entre si duas linhas iguais \( L_i = L_j \). Sabemos que trocar duas linhas muda o sinal do determinante: \[ \det(A') = -\det(A) \]

Mas se \( L_i = L_j \), então trocar as duas linhas **não altera a matriz**: \[ A' = A \quad \Rightarrow \quad \det(A) = -\det(A) \] Portanto: \[ 2\det(A) = 0 \quad \Rightarrow \quad \det(A) = 0 \]

Isso confirma: se uma matriz possui duas linhas iguais, seu determinante é nulo.

✅ Assim...

A operação: \[ L_i \leftarrow L_i + \lambda \cdot L_j \quad (i \ne j) \] não altera o valor do determinante da matriz.

Essa é uma das três operações fundamentais utilizadas na eliminação de Gauss, e a única que preserva o determinante exatamente.

\[ \boxed{ \det(A') = \det(A) } \]

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