Determinantes que se multiplicam: a beleza por trás de \(\det(AB) = \det(A)\cdot\det(B)\)

Você já parou para pensar por que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes?

À primeira vista, essa identidade parece quase mágica: \[ \boxed{ \det(AB) = \det(A)\cdot\det(B) } \]

Mas por trás dessa fórmula elegante existe uma harmonia matemática profunda — uma interação sutil entre operações de linha, estrutura triangular e uma das ferramentas mais belas da Álgebra Linear: a Regra de Laplace.

Neste post, vamos te conduzir por uma jornada para provar essa identidade em dois momentos:

• Primeiro, para o caso em que as matrizes são triangulares superiores.
• Depois, para qualquer matriz quadrada, indicando o uso do poderoso método da eliminação de Gauss.

🧱 Começamos com as matrizes triangulares

Imagine duas matrizes \( A \) e \( B \), ambas triangulares superiores, ou seja, com todos os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero:

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} ,\quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ 0 & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_{nn} \end{bmatrix} \]

Sabemos — e podemos demonstrar pela Regra de Laplace aplicada à última linha — que: \[ \det(A) = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn},\quad \det(B) = b_{11}b_{22} \cdots b_{nn} \]

E o que dizer de \( AB \)? Quando multiplicamos duas matrizes triangulares superiores, o resultado ainda é uma matriz triangular superior. E a surpresa: a diagonal principal de \( AB \) contém exatamente os produtos dos elementos correspondentes das diagonais de \( A \) e \( B \):

\[ (AB)_{ii} = a_{ii} \cdot b_{ii} \]

Assim: \[ \det(AB) = \prod_{i=1}^{n} (a_{ii} \cdot b_{ii}) = \left(\prod_{i=1}^n a_{ii}\right) \cdot \left(\prod_{i=1}^n b_{ii}\right) = \det(A)\cdot\det(B) \]

✅ Demonstrado! Para matrizes triangulares, a identidade \(\det(AB) = \det(A)\cdot\det(B)\) é clara e direta.

🧠 Mas… e se as matrizes não forem triangulares?

Simples: aplicamos o método da eliminação de Gauss. Através de operações elementares de linha, podemos triangularizar qualquer matriz quadrada, reduzindo-a a uma matriz triangular para a qual a propriedade já foi demonstrada.

Assim, mesmo nos casos gerais, podemos confiar que: \[ \boxed{\det(AB) = \det(A)\cdot\det(B)} \]

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