Matriz dos Cofatores

A matriz dos cofatores é uma construção fundamental na álgebra linear, especialmente no cálculo da matriz inversa e na expansão de determinantes. Ela organiza os cofatores de todos os elementos de uma matriz quadrada, revelando informações essenciais sobre sua estrutura interna.

✅ O que é um cofator?

Dado um elemento $a_{ij}$ de uma matriz $A$, o cofator correspondente é definido por:

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$$

em que $M_{ij}$ representa o determinante da submatriz obtida ao eliminar a linha $i$ e a coluna $j$ da matriz original. O fator $(-1)^{i+j}$ assegura o padrão de sinais alternados na matriz de cofatores.

🔁 Padrão de sinais da matriz dos cofatores

Para matrizes de ordem 3, o padrão de sinais é:

$$ \begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix} $$

Esse padrão deve ser seguido rigorosamente ao calcular a matriz dos cofatores.

🧮 Exemplo de cálculo de cofator

Seja a matriz:

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 1 & 5 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} $$

Para calcular o cofator $C_{12}$, elimina-se a primeira linha e a segunda coluna, obtendo:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \Rightarrow \det = 3 $$

Como $1 + 2 = 3$, temos:

$$ C_{12} = (-1)^3 \cdot 3 = -3 $$

🧩 Matriz dos cofatores

A matriz dos cofatores de $A$ é formada por todos os $C_{ij}$ calculados segundo a fórmula anterior:

$$ \text{cof}(A) = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix} $$

Ela é usada no cálculo da matriz adjunta e, posteriormente, da matriz inversa de ordem maior que 2.

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