Matrizes: Troucou duas linhas, muda o sinal do determinante

Imagine uma matriz: seus números organizados em linhas e colunas como soldados numa formação perfeita. Agora, pense no que acontece se você troca dois desses soldados de lugar — duas linhas inteiras, por exemplo. À primeira vista, a matriz continua parecendo “a mesma”. Mas por dentro, algo fundamental muda:

🔎 O sinal do seu determinante se inverte.

Essa afirmação não é só uma curiosidade estética — ela é uma propriedade profunda e poderosa da Álgebra Linear. Hoje, vamos te conduzir por uma jornada matemática que explica por que trocar duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada inverte o sinal do determinante, com base em uma das ferramentas mais belas e estruturadas que temos: a expansão de Laplace.

📐 Um pouco de teoria: determinante via cofatores

A ideia central vem da definição clássica de determinante. Se você já viu a fórmula de Laplace, deve se lembrar dela:

\[ \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot C_{ij} \quad \text{onde} \quad C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(M_{ij}) \]

Aqui, \( M_{ij} \) é a submatriz obtida ao retirar a linha \( i \) e a coluna \( j \) da matriz \( A \), e \( C_{ij} \) é o cofator correspondente.

🔄 O que acontece ao trocar duas linhas?

Agora vem o ponto-chave: o que acontece com essa soma de cofatores se trocarmos duas linhas da matriz?

Vamos provar — com todo rigor, mas com uma narrativa leve — que isso inverte o sinal do determinante. E faremos isso com um raciocínio por indução, ou seja, subindo degrau por degrau no mundo das matrizes de ordem crescente.

✅ Caso base: matrizes \( 2 \times 2 \)

Começamos com um exemplo simples. Seja:

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \det(A) = ad - bc \]

Trocando as duas linhas:

\[ A' = \begin{bmatrix} c & d \\ a & b \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \det(A') = cb - da = -\det(A) \]

Verificado! Trocar duas linhas realmente muda o sinal do determinante para \( n = 2 \).

🔁 Subindo o próximo degrau: o passo indutivo

Vamos supor agora que a propriedade vale para qualquer matriz de ordem \( n \). Queremos mostrar que ela também vale para uma matriz de ordem \( n+1 \).

Seja \( A \in \mathbb{R}^{(n+1)\times(n+1)} \), e \( A' \) a matriz obtida trocando duas linhas distintas, digamos as linhas \( r \) e \( s \). Vamos calcular \( \det(A') \) e compará-lo com \( \det(A) \).

Escolhemos uma linha qualquer para expandir — preferencialmente uma que não tenha sido trocada. Isso nos permite aplicar a expansão de Laplace sem interferência direta da troca.

A fórmula da expansão fica:

\[ \det(A) = \sum_{j=1}^{n+1} a_{1j} \cdot C_{1j} \quad \text{e} \quad \det(A') = \sum_{j=1}^{n+1} a_{1j} \cdot C'_{1j} \]

Mas atenção: cada submatriz \( M_{1j}' \) de \( A' \) é obtida trocando as mesmas duas linhas na submatriz \( M_{1j} \) de \( A \). Ou seja, pela hipótese de indução, sabemos que:

\[ \det(M_{1j}') = -\det(M_{1j}) \Rightarrow C_{1j}' = -C_{1j} \]

Logo:

\[ \det(A') = \sum_{j=1}^{n+1} a_{1j} \cdot (-C_{1j}) = -\sum_{j=1}^{n+1} a_{1j} \cdot C_{1j} = -\det(A) \]

📌 Pronto! Acabamos de provar que trocar duas linhas inverte o sinal do determinante de forma geral.

🔄 E quanto às colunas?

Você pode estar se perguntando: “E se eu trocar duas colunas?”

A resposta vem de um resultado igualmente bonito: ✨ O determinante é invariante por transposição, ou seja:

\[ \det(A^T) = \det(A) \]

Trocar duas colunas de uma matriz \( A \) equivale a trocar duas linhas da transposta \( A^T \). E como já provamos que trocar duas linhas inverte o sinal, temos:

\[ \det(\text{matriz com duas colunas trocadas}) = -\det(A) \]

🎯 Uma troca, uma inversão

Pode parecer apenas uma reorganização visual, mas trocar duas linhas ou colunas de uma matriz altera profundamente sua orientação algébrica. O determinante, que mede volumes orientados, sente essa mudança e responde com um sinal invertido.

\[ \boxed{ \text{Se trocarmos duas linhas ou colunas de } A, \text{ então } \det(A') = -\det(A) } \]

Esse resultado é mais do que uma curiosidade técnica. Ele é essencial em provas, em algoritmos numéricos, na definição de bases orientadas e no entendimento profundo da geometria linear.

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