Por que o determinante da matriz identidade é igual a 1?

Imagine um universo matemático onde tudo está perfeitamente alinhado, cada número no seu devido lugar. Um mundo onde zeros e uns convivem em perfeita harmonia para formar uma das matrizes mais icônicas da Álgebra Linear: a matriz identidade.

Ela é como o espelho fiel de qualquer matriz quadrada. Multiplicá-la por outra matriz é como olhar no espelho e ver a própria imagem refletida. Mas, por trás dessa simplicidade, há uma propriedade fascinante que merece ser destacada:
👉 o determinante da matriz identidade é sempre igual a 1.

🧩 Um passo de cada vez: relembrando a matriz identidade

A matriz identidade de ordem \( n \), denotada por \( I_n \), é uma matriz quadrada composta por 1s na diagonal principal e 0s em todas as demais posições. Por exemplo:

\[ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Ela é, literalmente, a "identidade" da multiplicação matricial: qualquer matriz multiplicada por \( I_n \) permanece inalterada.

🔎 A pergunta que não quer calar...

Se essa matriz é tão especial, o que acontece com seu determinante? Será que o padrão dos 1s na diagonal e os 0s fora dela têm algo a nos revelar?

Sim! E para comprovar isso, vamos usar uma das ferramentas mais elegantes da Álgebra Linear: a Expansão de Laplace.

📐 Desenvolvendo com Laplace

A fórmula da expansão de Laplace permite calcular o determinante de qualquer matriz expandindo a partir de uma linha (ou coluna). Para facilitar, vamos usar a primeira linha.

Seja \( I_n \) a matriz identidade de ordem \( n \). Ao aplicar a expansão pela primeira linha, temos:

\[ \det(I_n) = \sum_{j=1}^{n} a_{1j} \cdot C_{1j} \]

Mas veja: na matriz identidade, todos os elementos da primeira linha são zero, exceto o elemento da posição \( (1,1) \), que vale 1. Ou seja:

\[ \det(I_n) = 1 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + \cdots + 0 \cdot C_{1n} \Rightarrow \det(I_n) = C_{11} \]

Agora, o cofator \( C_{11} \) é dado por:

\[ C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \det(M_{11}) = \det(M_{11}) \]

E o que é \( M_{11} \)? É a submatriz obtida ao remover a primeira linha e a primeira coluna de \( I_n \), o que nos dá, exatamente, a matriz identidade de ordem \( n-1 \):

\[ C_{11} = \det(I_{n-1}) \]

Portanto:

\[ \det(I_n) = \det(I_{n-1}) \]

Esse raciocínio pode ser repetido recursivamente até chegar a:

\[ \det(I_1) = 1 \Rightarrow \det(I_2) = \det(I_1) = 1 \Rightarrow \det(I_3) = \det(I_2) = 1 \quad \text{e assim por diante...} \]

✅ Conclusão

A matriz identidade carrega em sua estrutura uma verdade simples e poderosa:

\[ \boxed{\det(I_n) = 1 \quad \text{para todo } n \geq 1} \]

Não importa o tamanho da matriz: enquanto ela for identidade, o determinante será sempre 1.
É como se a matriz dissesse: “Sou a base de tudo, e minha essência é constante”.

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