Regra de Chió — Reduzindo determinantes até o fim!

Antes de mergulharmos na técnica, vale uma curiosidade histórica:
A Regra de Chió foi proposta por Francesco Chió (1799–1873), um matemático italiano que contribuiu para simplificar o cálculo de determinantes, em uma época em que essas operações eram feitas de forma extremamente trabalhosa.
Sua ideia de redução sucessiva permanece até hoje como uma ferramenta poderosa, especialmente em contextos de ensino e raciocínio algébrico.

A Regra de Chió é um método prático para calcular determinantes de matrizes de ordem maior que 2 de forma recursiva. Ela é especialmente útil quando encontramos um elemento da matriz igual a 1.

Diferentemente do que muita gente pensa, não é necessário que o 1 esteja na primeira linha e primeira coluna.
A Regra de Chió pode ser aplicada sobre qualquer elemento 1, localizado em qualquer linha e coluna da matriz.

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📐 Como funciona?

Seja \( A \) uma matriz \( n \times n \), e suponha que em alguma posição \( (i,j) \) da matriz temos um 1.
Então:

• Eliminamos a linha \( i \) e a coluna \( j \) (isto é, apagamos aquela linha e aquela coluna).
• Cada elemento da nova matriz \( B \) é calculado por:

  \[ B_{kl} = a_{kl} - a_{kj} \times a_{il} \quad \text{para todas as linhas } k \neq i \text{ e colunas } l \neq j \]

• O determinante da matriz \( A \) é dado por:

  \[ \det(A) = (-1)^{i+j} \times \det(B) \]

O fator \( (-1)^{i+j} \) ajusta o sinal corretamente, da mesma forma que acontece na expansão de cofatores.

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🔢 Exemplo 1 — Matriz com elemento igual a 1

Considere a matriz:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \]

Observe que o número 1 aparece duas vezes: nas posições \( (1,2) \) e \( (2,2) \). Vamos escolher o 1 da posição \( (1,2) \).

Aplicando a Regra de Chió:

• Eliminamos a linha 1 e a coluna 2.
• Restam os elementos:

  \[ \text{Submatriz restante:} \quad \begin{bmatrix} 4 & 6 \\\\ 7 & 9 \end{bmatrix} \]

Agora, construímos a nova matriz \( B \) ajustando os elementos:

• \( b_{11} = 4 - (1) \times (2) = 2 \)
• \( b_{12} = 6 - (1) \times (3) = 3 \)
• \( b_{21} = 7 - (8) \times (2) = -9 \)
• \( b_{22} = 9 - (8) \times (3) = -15 \)

Assim:

\[ B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\\\ -9 & -15 \end{bmatrix} \]

Calculando:

\[ \det(B) = (2)(-15) - (3)(-9) = -30 + 27 = -3 \]

Multiplicando pelo sinal devido à posição \( (1,2) \) (pois \( (-1)^{1+2} = -1 \)):

\[ \det(A) = (-1) \times (-3) = 3 \]

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🔢 Exemplo 2 — Matriz sem elemento igual a 1

Agora considere a matriz:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 5 & 7 \\\\ 6 & 3 & 4 \\\\ 5 & 8 & 6 \end{bmatrix} \]

Observe que não há nenhum elemento igual a 1 nesta matriz.

Para aplicar a Regra de Chió, podemos dividir a primeira linha pelo elemento \( a_{11} = 2 \):

\[ A' = \begin{bmatrix} 1 & 2.5 & 3.5 \\\\ 6 & 3 & 4 \\\\ 5 & 8 & 6 \end{bmatrix} \]

Importante: dividir a linha altera o determinante, então no final multiplicamos o resultado por 2.

Aplicando a Regra de Chió:

• Eliminamos a linha 1 e a coluna 1.
• Construímos a matriz \( B \):

• \( b_{11} = 3 - 6\times2.5 = -12 \)
• \( b_{12} = 4 - 6\times3.5 = -17 \)
• \( b_{21} = 8 - 5\times2.5 = -4.5 \)
• \( b_{22} = 6 - 5\times3.5 = -11.5 \)

Assim:

\[ B = \begin{bmatrix} -12 & -17 \\\\ -4.5 & -11.5 \end{bmatrix} \]

Calculando:

\[ \det(B) = (-12)(-11.5) - (-17)(-4.5) = 138 - 76.5 = 61.5 \]

Finalmente:

\[ \det(A) = 2 \times 61.5 = 123 \]

Portanto:

\[ \boxed{\det(A) = 123} \]

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