Regra de Sarrus: Um Jeito Visual de Calcular Determinantes

Quando se trata de calcular determinantes de matrizes \( 3 \times 3 \), a Regra de Sarrus é uma das técnicas mais práticas, diretas e visuais que existem. Muito utilizada em cursos introdutórios de Álgebra Linear, essa regra nos permite encontrar o determinante sem recorrer à expansão por cofatores.

🧠 Nota histórica

A Regra de Sarrus foi proposta pelo matemático francês Pierre Frédéric Sarrus (1798–1861), professor da Universidade de Estrasburgo. Sarrus fez contribuições importantes à análise e à álgebra, e sua regra permanece até hoje como uma das formas mais intuitivas de introduzir o conceito de determinante para matrizes \( 3 \times 3 \).

✅ Quando usar a Regra de Sarrus?

A Regra de Sarrus só pode ser usada com matrizes de ordem 3. Para matrizes \( 2 \times 2 \), usamos a fórmula clássica \( ad - bc \); para ordens superiores, recorremos à Regra de Laplace, eliminação de Gauss ou ferramentas computacionais.

📐 Como funciona a Regra de Sarrus?

Seja a matriz:

$$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} $$

A Regra de Sarrus consiste em repetir as duas primeiras colunas à direita da matriz:

$$ \begin{bmatrix} a & b & c & a & b \\ d & e & f & d & e \\ g & h & i & g & h \end{bmatrix} $$

🔹 Somar os produtos das diagonais principais:

\( aei + bfg + cdh \)

🔹 Subtrair os produtos das diagonais secundárias:

\( ceg + bdi + afh \)

✅ Fórmula final:

$$ \det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh $$

🧮 Exemplo 1: determinante igual a zero

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

Diagonais principais:
\(1 \cdot 5 \cdot 9 = 45\), \(2 \cdot 6 \cdot 7 = 84\), \(3 \cdot 4 \cdot 8 = 96\)
Soma: \( 45 + 84 + 96 = 225 \)

Diagonais secundárias:
\(3 \cdot 5 \cdot 7 = 105\), \(2 \cdot 4 \cdot 9 = 72\), \(1 \cdot 6 \cdot 8 = 48\)
Soma: \(105 + 72 + 48 = 225\)

$$ \det(A) = 225 - 225 = \boxed{0} $$

🔎 A matriz é singular, isto é, não possui inversa.

🧮 Exemplo 2: determinante diferente de zero

$$ B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 5 & 2 & 0 \end{bmatrix} $$

Diagonais principais:
\(2 \cdot (-1) \cdot 0 = 0\), \(1 \cdot 4 \cdot 5 = 20\), \(3 \cdot 0 \cdot 2 = 0\)
Soma: \(0 + 20 + 0 = 20\)

Diagonais secundárias:
\(3 \cdot (-1) \cdot 5 = -15\), \(1 \cdot 0 \cdot 0 = 0\), \(2 \cdot 4 \cdot 2 = 16\)
Soma: \(-15 + 0 + 16 = 1\)

$$ \det(B) = 20 - 1 = \boxed{19} $$

✅ A matriz é não singular e, portanto, possui inversa.

🧮 Exemplo 3: área de um paralelogramo

Um uso comum dos determinantes no dia a dia é o cálculo da área de um paralelogramo definido por dois vetores no plano.

Sejam:

\( \vec{u} = (3, 1), \quad \vec{v} = (2, 4) \)

Representando esses vetores em \( \mathbb{R}^3 \) com coordenada \( z = 0 \):

\( \vec{u} = (3, 1, 0), \quad \vec{v} = (2, 4, 0) \)

A área do paralelogramo é dada por:

$$ \text{Área} = \left\| \vec{u} \times \vec{v} \right\| $$

Produto vetorial (pelo determinante):

$$ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - 0 \cdot 4) - \mathbf{j}(3 \cdot 0 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(3 \cdot 4 - 1 \cdot 2) = (0, 0, 10) $$

$$ \text{Área} = \| (0, 0, 10) \| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 10^2} = \boxed{10} $$

🟩 Resultado: a área do paralelogramo formado por \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) é 10 unidades quadradas.

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