Solução de Sistemas Lineares pelo Método da Adição

Quando somar e subtrair equações é a chave para resolver mistérios algébricos!

Você já tentou resolver um sistema de equações e percebeu que somar ou subtrair as equações poderia cancelar uma variável? Pois é exatamente isso que o método da adição faz — de forma estratégica e poderosa. Ele é ideal quando queremos eliminar variáveis e simplificar rapidamente o sistema.

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🧠 Como funciona?

O método da adição consiste em:

1. Multiplicar as equações, se necessário, para que os coeficientes de uma das variáveis fiquem opostos;
2. Somar ou subtrair as equações para eliminar uma variável;
3. Resolver a nova equação;
4. Substituir nas equações anteriores para encontrar as demais variáveis.

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✅ Exemplo com 2 variáveis

Vamos resolver:

$$ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - y = 8 \end{cases} $$

🔹 Passo 1: Somar diretamente

$$ (2x + y) + (3x - y) = 7 + 8 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3 $$

🔹 Passo 2: Substituir em uma equação

$$ 2(3) + y = 7 \Rightarrow 6 + y = 7 \Rightarrow y = 1 $$

✅ Solução:

$$ x = 3, \quad y = 1 $$

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🧩 Exemplo com 3 variáveis — usando apenas o método da adição

Considere o sistema:

$$ \begin{cases} x + y + z = 6 \quad \text{(1)} \\ 2x - y + z = 3 \quad \text{(2)} \\ 3x + y - z = 8 \quad \text{(3)} \end{cases} $$

Nosso objetivo será eliminar uma variável (z) em dois pares de equações.

🔹 Etapa 1: Eliminar \(z\) entre as equações (1) e (2)

Vamos subtrair (2) de (1):

$$ (x + y + z) - (2x - y + z) = 6 - 3 $$

$$ x + y + z - 2x + y - z = 3 \Rightarrow -x + 2y = 3 \quad \text{(Equação A)} $$

🔹 Etapa 2: Eliminar \(z\) entre as equações (1) e (3)

Vamos somar (1) e (3):

$$ (x + y + z) + (3x + y - z) = 6 + 8 $$

$$ x + y + z + 3x + y - z = 14 \Rightarrow 4x + 2y = 14 \Rightarrow 2x + y = 7 \quad \text{(Equação B)} $$

Agora temos um novo sistema com duas variáveis:

$$ \begin{cases} -x + 2y = 3 \quad \text{(A)} \\ 2x + y = 7 \quad \text{(B)} \end{cases} $$

🔹 Etapa 3: Eliminar uma variável entre A e B

Vamos multiplicar (A) por 2 para facilitar a adição:

$$ -2x + 4y = 6 \quad \text{(A×2)} \\ 2x + y = 7 \quad \text{(B)} $$

Agora somamos:

$$ (-2x + 4y) + (2x + y) = 6 + 7 \Rightarrow 5y = 13 \Rightarrow y = \frac{13}{5} $$

🔹 Etapa 4: Substituir \(y\) na equação (B)

$$ 2x + \frac{13}{5} = 7 \Rightarrow 2x = 7 - \frac{13}{5} = \frac{22}{5} \Rightarrow x = \frac{11}{5} $$

🔹 Etapa 5: Substituir \(x\) e \(y\) em (1) para encontrar \(z\)

$$ x + y + z = 6 \Rightarrow \frac{11}{5} + \frac{13}{5} + z = 6 \Rightarrow \frac{24}{5} + z = 6 \Rightarrow z = 6 - \frac{24}{5} = \frac{6}{5} $$

✨ Solução Final do Sistema:

$$ x = \frac{11}{5}, \quad y = \frac{13}{5}, \quad z = \frac{6}{5} $$

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🎯 Vantagens do Método da Adição

• 🔁 Evita frações no início, o que facilita os cálculos;
• 🧠 Mais direto em muitos casos do que o método da substituição;
• 🔍 Excelente para automatização com Python ou resolução algébrica manual.

⚠️ Desvantagens

• 🧮 Às vezes é necessário multiplicar equações, o que pode deixar os cálculos mais longos;
• ✍️ Exige atenção especial aos sinais e alinhamento dos termos.

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💬 Conclusão: somar também é resolver!

O método da adição mostra que, às vezes, combinar equações é mais eficaz do que separá-las. Saber escolher o melhor caminho para resolver um sistema é parte da arte matemática!

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