Transposição de matrizes quadradas não altera o determinante

Em meio a colunas e linhas, há uma operação que inverte papéis e muda perspectivas: a transposição. Ela troca linhas por colunas, reorganiza a estrutura da matriz... mas, será que isso muda sua essência?

Hoje, vamos explorar uma dessas essências: o determinante. E a pergunta é simples, mas profunda:

💭 Transpor uma matriz muda seu determinante?

A resposta é: não. E neste post, você vai entender exatamente por que o determinante permanece o mesmo, mesmo depois de virar a matriz "de cabeça para baixo" (ou de lado, se preferir!).

📐 O que acontece quando transponho uma matriz?

Dada uma matriz quadrada \( A \), sua transposta, denotada por \( A^T \), é a matriz obtida trocando as linhas pelas colunas. Formalmente:

\[ (A^T)_{ij} = A_{ji} \]

É como girar a matriz ao longo da diagonal principal. Mas o que isso faz com seu determinante?

🧠 Vamos provar isso passo a passo com Laplace

Para entender o que acontece com o determinante ao transpor, vamos usar uma das ferramentas mais elegantes da Álgebra Linear: a expansão de Laplace.

A ideia é aplicar a definição do determinante como uma soma de cofatores. Vamos caminhar com calma, com os olhos atentos à beleza do raciocínio.

✅ Caso mais simples: matriz \( 1 \times 1 \)

Se \( A = [a_{11}] \), então obviamente \( A^T = A \) e:

\[ \det(A^T) = \det(A) = a_{11} \]

Tudo certo até aqui.

🔁 Vamos subir a escada: passo indutivo com Laplace

Agora imagine que você já sabe que para qualquer matriz quadrada de ordem \( n \), o determinante não muda com a transposição:

\[ \det(B^T) = \det(B) \]

Queremos provar que isso também vale para uma matriz de ordem \( n+1 \).

Vamos usar a expansão de Laplace na primeira linha da matriz transposta \( A^T \).

Mas aqui está o detalhe crucial: a primeira linha de \( A^T \) é, na verdade, a primeira coluna de \( A \)!

Aplicando a expansão:

\[ \det(A^T) = \sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{1+j} \cdot a_{j1} \cdot \det(M_{1j}(A^T)) \]

Agora, precisamos entender o que é essa submatriz \( M_{1j}(A^T) \). Como a transposta troca linhas por colunas, essa submatriz é o transposto de outra:

\[ M_{1j}(A^T) = \left( M_{j1}(A) \right)^T \]

E aqui está um ponto essencial: 📌 A submatriz \( M_{j1}(A) \), assim como \( M_{1j}(A^T) \), tem ordem \( n \), pois estamos removendo exatamente uma linha e uma coluna da matriz original de ordem \( n+1 \).

Pela hipótese de indução, sabemos que a transposição não altera o determinante de nenhuma matriz de ordem \( n \). Assim:

\[ \det(M_{1j}(A^T)) = \det\left((M_{j1}(A))^T\right) = \det(M_{j1}(A)) \]

Substituindo de volta na expansão:

\[ \det(A^T) = \sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{1+j} \cdot a_{j1} \cdot \det(M_{j1}(A)) \]

Essa é exatamente a expansão de Laplace de \( \det(A) \) pela primeira coluna!

Logo:

\[ \boxed{\det(A^T) = \det(A)} \]

🎯 Conclusão: o determinante é inabalável!

Transpor uma matriz pode mudar sua aparência, mas não muda sua essência determinante.

\[ \boxed{\forall A \in \mathbb{R}^{n \times n}, \quad \det(A^T) = \det(A)} \]

Esse resultado é mais do que uma curiosidade. Ele mostra que o determinante não depende da posição dos números, mas da relação entre eles — uma simetria profunda que conecta linhas e colunas em perfeita harmonia.

---

💬 Curtiu esse mergulho na Álgebra Linear?

Deixe seu comentário! Compartilhe com quem ama matemática ou quer entender como as ideias por trás dos símbolos revelam verdades elegantes.

Siga o blog para mais postagens que combinam rigor matemático, narrativas envolventes e a beleza das ideias.