Pesquisa

sábado, 31 de dezembro de 2016

Inversão de ângulos formados por retas e circunferências

Nesta postagem veremos que seja $m$ e $n$ duas retas, ou duas circunferências, ou uma reta e uma circunferência que se intersetam num ponto $P$ formando um ângulo $\theta$. As inversões, $m'$ e $n'$, respectivamente de $m$ e $n$, em relação a uma circunferência $\alpha$, formam um ângulo congruente a $\theta$ no ponto $P'$, inverso do ponto $P$.


Proposição 1 - Seja $\alpha$ uma circunferência com centro em $O$ e raio $r$. Considerando uma reta $t$ que não passa por $O$ e a circunferência $t'$, inversa de $t$ em relação à $\alpha$ (ver Teorema 1(I) - Inversão de reta em relação à circunferência). A reta $t_0$ tangente a $t'$ no ponto $O$ é paralela a $t$.

DEMONSTRAÇÃO

Observe a Figura 1, vamos considerar, por absurdo, que $t_0$ e $t$ se intersetam num ponto $P\neq\Omega$, onde $\Omega$ é o ponto ideal do plano euclidiano $\mathbb{E}_\infty$. Como o inverso de $t_0$, em relação à $\alpha$, é a própria reta $t_0$ (ver Teorema 1(II) - Inversão de reta em relação à circunferência) e o inverso da reta $t$ é a circunferência $t'$ que passa por $O$, então $t_0\cap t=\{O,P'\}$, que é um absurdo, por hipótese, $t_0$ é tangente à $t'$ no ponto $O$. Portanto, $t_0$ é paralela a $t$.
$\square$

Figura 1: Reta $t_0$ é paralela à reta $t$
Proposição 2Seja $\alpha$ uma circunferência de inversão com centro em $O$ e raio $r$. Sendo $u$ e $v$ retas concorrentes no ponto $P\neq\Omega$, então, os ângulos entre as retas $u$ e $v$ é igual ao ângulo formado por $u'$ e $v'$, inversos  de $u$ e $v$, respectivamente.

DEMONSTRAÇÃO

CASO 1
Vamos considerar que $\theta$ é a medida do ângulo formado pelas retas $u$ e $v$ e $\theta'$ é a medida do ângulo formado por $u'$ e $v'$.

Se $P=O$, ou seja, $u$ e $v$ passam pelo centro de inversão, temos que $u=u'$ e $v=v'$, logo, $\theta=\theta'$.

CASO 2
Se $P\neq O$, ou seja, ao menos uma das retas não passa por $O$, vamos considerar que $u$ não passa por $O$ e $v$ passa, como ilustrado na Figura 2. A circunferência $u'$ é o inverso da reta $u$, $P'$ é o inverso do ponto $P$, $u_0$ é a reta tangente a $u'$ no ponto $O$, $\theta$ é a medida do ângulo destacado no ponto $P$ formado pelas retas $u$ e $v$ e $\theta_0$ é a medida do ângulo destacado no ponto $O$ formado pelas retas $u_0$ e $v$.

Figura 2: Inversão de ângulo formado por duas retas onde apenas uma passa pelo centro de inversão
Pela Proposição 1, a reta $u_0$ é paralela à reta $u$. Assim, $\theta$ e $\theta_0$ são ângulos formados por duas retas paralelas, $u$ e $u_0$, cortadas por uma transversal $v$, onde $\theta$ e $\theta_0$ são ângulos correspondentes, logo $\theta=\theta_0$. Pela Definição 1-Circunferências Ortogonais, $\theta_0$ é um ângulo formado pela reta $v$ e a circunferência $u'$. Como o inverso da reta $v$ é a própria reta $v$, verificamos que o ângulo formado por uma reta $v$ que passa pelo centro de inversão com uma reta $u$ que não passa passa pelo centro de inversão é congruente ao ângulo formado pelos inversos de $u$ e $v$ no ponto $O$.

CASO 3
Observe a Figura 3, as retas $u$ e $v$ não passam pelo centro de inversão $O$. As circunferências $u'$ e $v'$ são os inversos de $u$ e $v$, respectivamente. As retas $u_0$ e $v_0$ são tangentes às circunferências $u'$ e $v'$, respectivamente, no ponto $O$. $\theta$ é um ângulo formado pelas retas $u$ e $v$ e $\theta_0$ é o ângulo formado pelas circunferências $u'$ e $v'$. Sendo $u_0$ paralela a $u$ e $v_0$ paralela a $v$, então $\theta\cong\theta_0$.
$\square$

Figura 3: Inversão de ângulo formado por duas retas que não passam pelo centro de inversão
Nos casos 2 e 3, o ângulo formado por $u'$ e $v'$ no ponto $P'$, inverso de $P$, também é congruente a $\theta$ (ver Lema 1 - Circunferências Ortogonais).

Proposição 3 - Seja $\alpha$ uma circunferência de inversão de centro $O$ e raio $r$. Se uma reta $t$ e uma circunferência $\beta$ são tangentes num ponto $P\neq O$, então suas respectivas inversões, $t'$ e $\beta'$, são tangente em $P'$, inverso de $P$.

DEMONSTRAÇÃO

Como $P$ é o único ponto de interseção entre $t$ e $\beta$, então, $P'$ é o único ponto de interseção entre $t'$ e $\beta'$. Como $P\neq O$, então, $P'\neq\Omega$, logo $t'$ e $\beta'$ são tangentes em $P'$, ver Figura 4.
$\square$
Figura 4: Inversão da reta $t$ e circunferência $\beta$ tangentes no ponto $P$
No caso  da reta $t$ tangenciar a circunferência $\beta$ no ponto $O$, veremos que os inversos não se intersetam, pois, sendo o inverso da reta $t$ a própria reta $t$, pois passa pelo centro de inversão, o inverso de $\beta$ é uma reta que não passa por $O$ e o inverso de $O$ é o ponto ideal $\Omega$, então, $t'$ e $\beta'$ são retas paralelas, ver Figura 5.

Figura 5: Inversão da reta $t$ e circunferência $\beta$ tangentes no ponto $O$
Proposição 4 -  Seja $\alpha$ uma circunferência de inversão de centro $O$ e raio $r$. Se $\beta$ e $\gamma$ são circunferências que não passam por $O$, então, o ângulo entre $\beta$ e $\gamma$ é congruente ao ângulo entre $\beta'$ e $\gamma'$.

DEMONSTRAÇÃO

Sejam $\beta$ e $\gamma$ duas circunferências que não passam por $O$. Sejam $t_1$ e $t_2$ as retas tangentes à $\beta$ e $\gamma$, respectivamente, no ponto $P$ de intersecção das circunferências. Então, a circunferência $t'_1$ é tangente à circunferência $\beta'$ e a circunferência $t'_2$ é tangente à $\gamma'$. Pela Proposição 2, o ângulo entre $t_1$ e $t_2$ é igual ao ângulo entre $t'_1$ e $t'_2$.

Sejam $t_3$ a reta tangente à $\beta'$ no ponto $P'$ e $t_4$ a reta tangente à $\gamma'$ no ponto $P'$. Assim, $t_3$ é tangente à $t'_1$ em $P'$ e $t_4$ é tangente à $t'_2$ em $P'$. Logo, o ângulo entre $t_3$ e $t_4$ é ângulo entre $t'_1$ e $t'_2$ que, por sua vez, é o ângulo entre $t_1$ e $t_2$.
$\square$

Figura 6: Inversão de ângulos formados por circunferências não passam no ponto $O$
Desta forma, mostramos que a inversão em relação a circunferência é uma aplicação conforme, ou seja, conserva ângulos. o que a torna importante para geometria hiperbólica, pois podemos utilizar a inversão para definir uma isometria no plano hiperbólico $\mathbb{H}$.

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

MUNARETTO, Ana Cristina Corrêa. Resolução do problema de Apolônio por meio de inversão: Um roteiro de estudo para a formação de Professores em Geometria. 2010. 61 f. Monografia (Especialização) - Curso de Pós-graduação em Expressão Gráfica, Departamento de Expressão Gráfica, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2010.

quarta-feira, 12 de outubro de 2016

Inversão de circunferência em relação a outra circunferência

Veremos que a inversão de uma circunferência em relação a outra pode ser uma circunferência que não passa pelo centro de inversão ou uma reta que não passa pelo centro de inversão. Em uma caso particular, mostraremos a inversão de uma circunferência ortogonal à circunferência de inversão.

Teorema 1 - Sejam $\alpha$ uma circunferência com centro em $O$ e raio $r>0$ e $\beta$ uma circunferência de raio não-nulo.Considerando $\alpha$ como a circunferência de inversão e $\beta '$ o inverso da circunferência $\beta$.

  1. Se $\beta$ passa pelo centro de inversão $O$, então $\beta '$ é uma reta que passa por $O$; e
  2. se $\beta$ não passa por $O$, então $\beta '$ é uma circunferência que não passa por $O$.
DEMONSTRAÇÃO

1. Como a inversão numa circunferência é uma aplicação biunívoca (ver Definição 4 - Inversão na circunferência) e pelo Teorema 1 - Inversão de reta em relação à circunferência a inversão de uma reta que não passa pelo centro de inversão, então, o inverso da circunferência $\beta$ que passa pelo centro de inversão $O$ é a reta $\beta'$ que não passa pelo centro de inversão, ver Figura 1.
Figura 1: Inversão da circunferência $\beta$ que passa pelo centro de invesão $O$

2. Observe a Figura 2, $P$ é um ponto fixo da circunferência $\beta$, $P'$ é o seu inverso, $Q$ é um ponto qualquer de $\beta$ e $Q'$ é o seu inverso. Pela Definição 1 - Inversão na circunferência, temos:
$$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=\overline{OQ}\cdot\overline{OQ'}=r^2\Rightarrow\dfrac{\overline{OP}}{\overline{OQ}}=\dfrac{\overline{OQ'}}{\overline{OP'}}$$
Observe que $\angle QOP \cong \angle Q'OP'$, pois são coincidentes (ou ângulo comum aos triângulos $\triangle_{QOP}$ e $\triangle_{Q'OP'}$), assim, pelo caso de congruência de triângulo Lado-Ângulo-Lado, os triângulo $\triangle_{QOP}$ e $\triangle_{Q'OP'}$ são congruentes. Pela arbitrariedade na escolha do ponto $Q$, vemos que o lugar geométrico do ponto $Q'$ é uma circunferência. Como $\beta$ não tende ao infinito, ou seja, $\Omega\notin\beta$, então $Q'$ não passa por $O$. Portanto, o inverso da circunferência $\beta$ é a circunferência $\beta '$ que não passa pelo centro de inversão $O$.

Figura 2Inversão da circunferência $\beta$ que não passa pelo centro de invesão $O$
$\square$

De modo particular, se $\beta$ é uma circunferência ortogonal à circunferência de inversão $\alpha$, a sua inversão, $\beta '$, é a própria circunferência $\beta$, ver Figura 3, sendo $P$ um ponto qualquer de $\beta$, pelo Teorema 1 - Circunferências ortogonais, o seu inverso, $P'$, também é um ponto de $\beta$, assim, o inverso da circunferência $\beta$ é a própria circunferência $\beta$.


Figura 3: $\alpha$ e $\beta$ são ortogonais e $\beta$ e inversa a ela mesma em relação a $\alpha$
Abaixo, temos a Construção 1 feita no Geogebra, onde é possível observa o $\beta '$, o inverso da circunferência $\beta$ em relação à circunferência $\alpha$, movendo o ponto $P$.

Construção 1: Inversão da circunferência $\beta$ em relação à circunferência $\alpha$

sábado, 17 de setembro de 2016

Inversão de reta em relação à circunferência

Estudamos na escola que há três posições relativas entre uma reta e uma circunferência no plano:
    • A reta é externa à circunferência;
    • A reta é tangente à circunferência; e
    • A reta é secante à circunferência 
    Em se tratando de inversão na circunferência, há mais uma posição entre reta e circunferência que devemos considerar:
    • A reta passa pelo centro de inversão
    Pois, apenas nesta última, um ponto pertencente à reta tem seu inverso, em relação à circunferência de inversão, pertencente a mesma reta.


    Teorema 1 - Considere, no plano euclidiano $\mathbb{E}$, uma circunferência de inversão $\alpha$ com centro num ponto $O$ e raio $r>0$ e uma reta $s$. Seja $s'$ o inverso da reta $s$.
    1. se $s$ não passa pelo centro de inversão, ponto $O$, então $s'$ é uma circunferência que passa pelo centro de inversão;
    2. se $s$ passa pelo centro de inversão, ponto $O$, então $s'=s$.
     DEMONSTRAÇÃO

    I. Sendo $s$ uma reta que não intersecta o ponto $O$, temos que considerar as três primeiras posições relativas entre uma reta e uma circunferência no mesmo plano, mencionadas no início deste post.

    Vamos analisar quando $s$ é externa a $\alpha$. Observe a Figura 1.
    Figura 1: Reta $s$ externa à circunferência $\alpha$
    $A$ é um ponto qualquer da reta $s$ e $A'$ é o seu inverso. $P\in s$ é tal que $\overline{OP}\perp s$ e $P'$ é o inversos de $P$. Temos

    $$\overline{OA}\cdot\overline{OA'}=\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2\Rightarrow\dfrac{\overline{OA}}{\overline{OP}}=\dfrac{\overline{OP'}}{\overline{OA'}}$$

    Vemos ainda que

    $$\angle AOP\cong \angle A'OP'\text{, ângulo comum}$$

    Pelo caso de semelhança de triângulos lado-ângulo-lado (LAL), os triângulo $\triangle_{AOP}$ e $\triangle_{A'OP'}$ são semelhantes. Assim, $\angle APO\cong\angle OA'P'\cong 90^\circ$.

    Por arco capaz, verificamos que o lugar geométrico do ponto $A'$ é uma circunferência que passa por $O$ ($A'=O$ se $A=\Omega$, ver Definição 4 - Inversão na circunferência). Portanto, $s'$ é uma circunferência que passa no centro de inversão.

    De forma análoga, veremos que se $s$ é uma reta tangente à $\alpha$ no ponto $P$, teremos que $P=P'$ e $s'$ é uma circunferência que passa por $O$ e passa por $P$. E se $s$ é uma reta que intersecta $\alpha$ em dois pontos $M$ e $N$, então $s'$ é uma circunferência que passa por $O, M$ e $N$, ver Figura 2.

    Reta $s$ é tangente à $\alpha$
    Figura 2: Inversão da Reta $s$ tangente ou secante à $\alpha$
    II. Sendo $A\in s$ e $A'$ pontos inversos, pela definição de ponto inverso (ver Definição 1 - Inversão na circunferência) os pontos $O, A$ e $A'$ são colineares, portanto, o ponto $A'\in s$, então o lugar o geométrico de $A'$ é a própria reta $s$, assim, $s'=s$.
    Figura 3: Reta $s$ passa no centro de inversão
    $\square$

    Na Construção 1, é possível observar a inversão da reta $s$ em relação à circunferência $\alpha$.

    Arraste os pontos $M$ e $N$ para mover a reta $s$ e deslize o ponto $A$ para que $A'$ descreva a circunferência $s'$ que é o inverso de $s$.


    Construção 1: Inversão da reta $s$ em relação à circunferência $\alpha$

    quarta-feira, 24 de agosto de 2016

    GEOMETRIA HIPERBÓLICA: H-retas perpendiculares

    Nesta postagem, veremos uma construção de uma h-reta $t$ determinada por um de seus h-pontos, denominado por $P$, e uma de suas perpendiculares, denominada $r$. Para esta construção, consideraremos as seguintes situações:

    1. h-reta $r$ não passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ não passa por $O$;
    2. h-reta $r$ não passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ passa por $O$;
    3. h-reta $r$ passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ não passa por $O$; e
    4. h-reta $r$ passa por $O$ e $P$ é tal que a h-reta $t$ passa por $O$.

    Seja o h-plano $\mathbb{H}$ limitado pela circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio não-nulo. $\beta$ é uma circunferência ortogonal a $\alpha$, com centro no ponto $Q$ e gera a h-reta $r$ que tem pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$. E $P$ é um h-ponto.

    Vamos considerar que os pontos $O, P$ e $Q$ não são colineares em $\mathbb{E}$ (Situação 1)

    CONSTRUÇÃO 1: $O,P$ e $Q$ não são colineares em $\mathbb{E}$ e $r$ não passa por $O$

    1 - Determinar $P'$, inverso a $P$ em relação a $\alpha$;
    2 - Trace a metriatriz $c$ do segmento $\overline{PP'}$;
    3 - Trace a reta $b=\overleftrightarrow{Z_1Z_2}$ e marque o ponto $S\in b\cap c$;
    4 - Trace a circunferência $\rho$ de centro $S$ e raio $\overline{SP}$ e marque os pontos $Z_3,Z_4\in\alpha\cap\rho$;
    5 - O arco $Z_3Z_4$ é a h-reta $t$ perpendicular a $r$ e passa no h-ponto $P$.

    Justificativa da Construção 1

    Como a circunferência $\rho$ passa pelos pontos $P,P'$, que são inversos em relação à circunferência $\alpha$, pelo Teorema 1 - Circunferências Ortogonais, $\rho$ e $\alpha$ são circunferências ortogonais. Ainda pelo Teorema 1 - Circunferências Ortogonais, os ponto $Z_1,Z_2\in\alpha$ são inversos em relação a $\rho$, como estes ponto também são pertencentes à circunferência $\beta$, então $\rho$ e $\beta$ são ortogonais. Assim, o arco $Z_3Z_4$ é a h-reta $t$ perpendicular a $r$.
    $\square$

    Construção para o caso dos ponto $O,P$ e $Q$ serem colineares em $\mathbb{E}$ (Situação 2). 


    CONSTRUÇÃO 2: $O,P$ e $Q$ são colineares em $\mathbb{E}$ e $r$ não passa por $O$

    1 - Trace a reta $h=\overleftrightarrow{OQ}$;
    2 - Marque os pontos $Z_3,Z_4\in\alpha\cap h$;
    3 - O segmento $\overline{Z_3Z_4}$ é a h-reta $t$ perpendicular a $r$ passando por $P$.

    Justificativa da Construção 2

    Pelo Lema 2- Circunferências ortogonais, a reta $h$ é ortogonal à circunferência $\beta$, assim, o segmento $t=\overline{Z_3Z_4}$ é a h-reta perpendicular a h-reta $r$ que passa pelo h-ponto $P$.
    $\square$

    Vamos considerar que a h-reta $r$, com ponto ideais $Z_1$ e $Z_2$, passa pelo h-ponto $O$, ou seja, $r$ é um diâmetro de $\alpha$ no plano eucidiano.

    Na construção a seguir, o segmento $\overline{OP}$ não é perpendicular ao segmento $\overline{Z_1Z_2}$ (Situação 3).


    CONSTRUÇÃO 3: $\overline{OP}$ e $\overline{Z_1Z_2}$ não são perpendiculares em $\mathbb{E}$ e $r$ passa por $O$

    Caso o segmento $\overline{OP}$ seja perpendicular ao segmento $\overline{Z_1Z_2}$ (Situação 4), então a h-reta $t$ é o diâmetro de $\alpha$ que passa pelo ponto $P$.

    Figura 1: h-reta $t$ é perpendicular a h-reta $r$ e passa pelo h-ponto $P$

    sábado, 30 de julho de 2016

    GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Ângulo no h-plano

    No h-plano, vamos considerar duas h-retas que se intersetam num h-ponto $A$, a medida do ângulo formado por essas h-retas no h-ponto $A$ obedecerá as seguintes condições:


    I - se as h-retas são arco de circunferências, o ângulo formado por elas em $A$ será igual ao ângulo formado pelas retas tangentes a cada arco no ponto $A$ (ver Definição 1 - Circunferências ortogonais);

    II - se uma das h-retas é um arco de circunferência e a outra um segmento de reta, o ângulo formado por elas em $A$ é o ângulo formado entre o segmento de reta e a reta tangente ao arco de circunferência no ponto $A$;

    III - se as h-retas forem segmentos de reta, ou elas são coincidentes, ou se intersetam no ponto $O$, ou seja $A=O$, e o ângulo formado por elas é o mesmo ângulo formado pelos segmento no plano euclidiano.

    Observa na Construção 1, feita no Geogebra, os h-ângulos formados nos h-pontos $A$, $B$ e $O$.

    Construção 1: h-ângulos


    sexta-feira, 29 de julho de 2016

    GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Construção de h-reta

    Atualizada em 30/07/2016 as 13:41

    A geometria hiperbólica satisfaz os quatro primeiros postulados de Euclides. Deste modo, dois h-pontos determinam uma única h-reta. Ainda é possível determinar uma h-reta conhecendo um dos seus h-pontos e um dos pontos ideais ou conhecendo os dois pontos ideais.

    Nesta postagem, veremos construções de h-retas determinadas por dois h-pontos, por um h-ponto e um ponto ideal e por dois pontos ideais, auxiliados pelo software Geogebra.

    Considere o h-plano determinado pela circunferência $\alpha$, com centro no ponto $O$ e raio $r\neq 0$.

    I-Construção da h-reta $s$ determinada pelos h-pontos $A$ e $B$.

    Uma h-reta pode ser um diâmetro de $\alpha$ ou um arco de circunferência ortogonal a $\alpha$, Se os pontos $A$, $B$ e $O$ forem colineares, no plano euclidiano, então a h-reta $s$ é o diâmetro de $\alpha$ que passa por $A$ e $B$. A construção a seguir considera apenas $A$, $B$ e $O$ não-colineares.


    Construção 1: h-reta $s$ determinada pelos h-pontos $A$ e $B$


    1 - Marque o ponto $A'$ é inverso a $A$ em relação a circunferência $\alpha$, clique aqui para ver construções geométricas para determinar o ponto inverso;
    2 - Faça a circunferência $\beta$ que passa pelos pontos $A,A'$ e $B$ e marque os pontos $Z_1$ e $Z_2$, interseção entre $\alpha$ e $\beta$. Os pontos $Z_1$ e $Z_2$ são os pontos ideais da h-reta $s$; e
    3 - O arco $Z_1Z_2$, no interior de $\alpha$, é a h-reta $s$ determinada pelos h-pontos $A$ e $B$.

    Como $A$ e $A'$ são inversos em relação a $\alpha$ e a circunferência $\beta$ passa por estes pontos, então $\beta$ é ortogonal a $\alpha$ (ver Teorema 1 - Circunferências ortogonais), por isso que o arco $Z_1Z_2$ é uma h-reta e é a única que passa por $A$ e $B$, pois só há uma única circunferência no plano euclidiano que passa pelos pontos $A, A'$ e $B$.

    II-Construção da h-reta $t$ que passa pelo h-ponto $A$ e tem ponto ideal $Z_1$

    Se $A, O$ e $Z_1$ forem colineares, $t$ é o diâmetro de $\alpha$ que passa por $A$ e $Z_1$. Para construção a seguir, vamos considerar que $A, O$ e $Z_1$ são não-colineares.

    Poderíamos repetir a Construção 1, mas vamos apresentar outra alternativa.


    Construção 2: h-reta determinada por um h-ponto e um ponto ideal

    1 - $m$ é a mediatriz do segmento $\overline{AZ_1}$, $n$ é a reta tangente a $\alpha$ em $Z_1$ e $Q$ é o ponto de interseção entre $n$ e $m$;
    2 - $\beta$ é a circunferência de centro $Q$ e raio $\overline{QZ_1}$ e $Z_2$ pertence à interseção entre $\alpha$ e $\beta$; e
    3 - o arco $t=Z_1Z_2$ é a h-reta determinada pelo h-ponto $A$ e o ponto ideal $Z_1$.

    O ponto $Q$ pertence à mediatriz de $\overline{AZ_1}$, então $\overline{QZ_1}=\overline{QA}$, assim, a circunferência $\beta$ passa por $A$. Como a reta $n$, que é tangente a $\alpha$ no ponto $Z_1$, passa pelo centro $Q$ da circunferência $\beta$, então $\alpha$ e $\beta$ são ortogonais (ver Colorário 1 - Circunferências ortogonais) e $\beta$ é a única circunferência ortogonal a $\alpha$ que tem centro em $Q$ (ver Lema 3 - Circunferências ortogonais). Por fim, a h-reta $t$  é a única que passa por $A$ e tem pontos ideais $Z_1$ e Z_2$.

    III-Construção da h-reta $u$ determinada pelos pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$

    Se $O, Z_1$ e $Z_2$ forem colineares, $u$ é o diâmetro de $\alpha$ com extremos em $Z_1$ e $Z_2$. Para a construção a seguir, vamos considerar que $O, Z_1$ e $Z_2$ são não-colineares.

    Construção 3: h-reta $u$ determinada pelos pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$

    1 - As retas $f$ e $g$ são tangentes a $\alpha$ em $Z_1$ e $Z_2$, respectivamente;
    2 - O ponto $Q$ pertence à interseção entre $f$ e $g$; e
    3 - $u$ é o arco de extremos $Z_1$ e $Z_2$ e centro em $Q$.

    Conforme o Colorário 1 - Circunferências ortogonais, a circunferência que de centro em $Q$ e raio $\overline{QZ_1}$ é ortogonal a $\alpha$ e, conforme Lema 3 - Circunferências ortogonais, esta circunferência é unica, logo só há uma única h-reta $u$ determinada pelos pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$.

    terça-feira, 26 de julho de 2016

    Circunferências ortogonais

    Através da construção de circunferências ortogonais, poderemos determinar h-retas e realizar transformações geométricas no h-plano. Veremos teoremas importantes que fundamentam a construção de uma circunferência ortogonal a uma circunferência dada.

    Definição 1 - Considere duas circunferências, $C_1$ e $C_2$, que se intersetam em dois pontos, $A_1$ e $A_2$, no plano euclidiano. Sejam $r$ e $s$ retas que tangenciam, respectivamente, $C_1$ e $C_2$ no ponto $A_1$. O ângulo $\theta$ formado por $C_1$ e $C_2$ no ponto $A_1$ é o ângulo formado por $r$ e $s$ no ponto $A_1$. Se $\theta$ for $90^\circ$, dizemos que $C_1$ e $C_2$ são circunferências ortogonais.
    Figura 1: $\theta$ é o ângulo formado por $C_1$ e $C_2$
    Se $\theta=90^\circ$ então $C_1$ é ortogonal a $C_2$
    Lema 1 - Sejam $C_1$ e $C_2$ circunferências que se intersetam nos pontos $A_1$ e $A_2$. O ângulo $\theta$ formado por $C_1$ e $C_2$ no ponto $A_1$ é congruente ao ângulo $\gamma$ formado por $C_1$ e $C_2$ no ponto $A_2$.
    Figura 2: $\theta$ e $\gamma$ são congruentes

    DEMONSTRAÇÃO

    Considere as retas $r$ e $s$ tangentes, respectivamente, a $C_1$ e $C_2$ no ponto $A_1$, as retas $t$ e $u$ tangentes, respectivamente, a $C_1$ e $C_2$ no ponto $A_2$ e os pontos $E$, interseção entre $u$ e $s$, e $F$, interseção entre $r$ e $t$, ver Figura 3.
    Figura 3: Demonstração que $\theta$ e $\gamma$ são congruentes
    As retas $r$ e $s$ são tangentes a $C_1$ e se intersetam no ponto $F$, então $\overline{A_1F}=\overline{A_2F}$. De forma análoga, podemos mostrar que $\overline{A_1E}=\overline{A_2E}$. Assim, pelo caso Lado-Lado-Lado, os triângulo $\triangle_{A_1EF}$ e $\triangle_{A_2FE}$ são congruentes, logo, os ângulo $\theta$ e $\gamma$ são congruentes.
    $\square$

    Lema 2 - Considere a circunferência $C$ com centro num ponto arbitrário $O$ e raio $r\neq o$ e a reta $s$. A reta $s$ é ortogonal à circunferência $C$ se e somente se passar por $O$.

    DEMONSTRAÇÃO

    $\left.\Rightarrow\right)$ Considere os pontos $P$ e $Q$, interseções entre a reta $s$ e a circunferência $C$ , e a reta $t$, tangente a $C$ no ponto $P$. Se $s$ é ortogonal a $C$ então $s\perp t$. Vamos mostrar que a reta $s$ passa pelo ponto $O$, centro da circunferência $C$.

    Considere que $s$ é secante a $C$ mas não passa por $O$, ver Figura 4. Assim, o ângulo central $\angle POQ$ é o dobro do ângulo formado pelas retas $s$ e $t$ no ponto $P$, ou seja, $\angle POQ = 180^\circ$. Assim, as semirretas $\overrightarrow{OP}$ e $\overrightarrow{OQ}$ estão na mesma reta, o que é absurdo. Logo, $s$ passa pelo ponto $O$.
    Figura 4: Reta $s$ é ortogonal a circunferência $C$
    $\left.\Leftarrow\right)$ Vamos considerar o ponto $P$, uma das interseções entre a reta $s$ e a circunferência $C$ e a reta $t$ tangente a $C$ no ponto $P$. Sendo $O$, centro da circunferência $C$, um dos pontos da reta $s$, vamos provar que $s\perp t$, assim, $s$ será ortogonal a $C$.

    Vamos supor que $s$ e $t$ não sejam perpendiculares. Assim, existe um ponto $M\in t$ tal que $\overline{OM}\perp t$, por hipótese, os segmentos $\overline{OM}$ e $\overline{OP}$ não são coincidentes por que $\overline{OP}$ e $t$ não são perpendiculares. O ponto $M $ divide a reta $t$ em duas semirretas opostas. Vamos determinar na semirreta oposta a que tem o ponto $P$ o ponto $P'$ tal que $\overline{MP}\cong\overline{MP'}$ . Assim, os triângulo $\triangle_{OMP}$ e $\triangle_{OMP'}$ são congruentes, caso LAL, pois $\overline{OM}$ é o lado comum aos triângulos, $\overline{OM}$ é perpendicular a $t$ e $\overline{MP}\cong\overline{MP'}$, logo, $\overline{OP}\cong\overline{OP'}$, ver Figura 5, o que implica em $P'\in C$ que é absurdo, pois, por hipótese, a reta $t$ intercepta a circunferência $C$ apenas no ponto $P$. Portanto, a reta $s$ é ortogonal à circunferência $C$.
    Figura 5: reta $s$ passa pelo ponto $C$
    $\square$

    Como consequência do Lema 2, se duas circunferências, $C_1$ e $C_2$, são ortogonais no ponto $P$ e as retas $r$ e $s$ são tangentes, respectivamente, a $C_1$ e $C_2$ em $P$, então $r$ passa pelo centro de $C_2$ e $s$ passa pelo centro de $C_1$, ver Figura 6.

     - 
    Figura 6: $r$ passa pelo centro $O_2$ de $C_2$ e $s$ passa pelo centro $O_1$ de $C_1$
    Colorário 1 - Sejam $C_1$ e $C_2$ circunferências ortogonais que se intersetam no ponto $P$, $r$ é uma reta tangente a $C_1$ no ponto $P$ e $s$ é uma reta tangente a $C_2$ no ponto $P$. Então, $r$ incide no centro de $C_2$ e $s$ incide no centro de $C_1$.

    Lema 3 - Seja $P$ um ponto externo a uma circunferência $C$. Só há uma única circunferência ortogonal a $C$ com centro em $P$.

    DEMONSTRAÇÃO
    Digamos que existe uma circunferência ortogonal a $C$ que tem centro no ponto $P$, que denotaremos por $D$. Portanto, $D$ intercepta $C$ em dois pontos, $A$ e $B$. Pelo Corolário 1, a reta tangente a $C$ no ponto $A$ passa por $P$, assim como a reta tangente a $C$ no ponto $B$ também passa no ponto $P$. Como as retas $\overleftrightarrow{AP}$ e $\overleftrightarrow{BP}$ são tangentes a $C$, então $\overline{AP}\equiv\overline{BP}$ e não são nulos, pois $A$ e $B$ pertencem a circunferência $C$ e, por hipótese, $P$ é externo a $C$. Logo, a existência da circunferência $D$, ortogonal a $C$, com centro no ponto $P$ está condicionada a existência das retas $\overleftrightarrow{AP}$ e $\overleftrightarrow{BP}$ tangentes à circunferência $C$.

    A construção abaixo foi feita no Geogebra e nos auxiliará na demonstração da existência das retas $\overleftrightarrow{AP}$ e $\overleftrightarrow{BP}$ tangentes a $C$ para todo ponto $P$ externo a $C$.


    1 - Marque o ponto médio $M$ entre $O$ e $P$;
    2- Trace a circunferência $T$ com centro em $M$ e raio $\overline{MP}$ e marque os pontos $A$ e $B$, intercessão entre $C$ e $D$;
    3- Trace as retas $\overleftrightarrow{AP}$ e $\overleftrightarrow{BP}$
    4- Trace a circunferência $D$ com centro em $P$ e raio $\overline{AP}$.
    A circunferência $D$ é ortogonal a $C$.

    O ângulo $\angle OAP$ mede $90^\circ$, pois é o ângulo do arco capaz do diâmetro $\overline{OP}$ da circunferência $T$, como $\overline{OA}$ é raio da circunferência $C$, então $\overleftrightarrow{AP}$ é tangente a $C$. De forma análoga, provamos que $\overleftrightarrow{BP}$ é tangente a $C$. Assim, os pontos $A$ e $B$ só existirão se $P$ for um ponto externo a circunferência $C$. Logo, para todo $P$ externo à circunferência $C$ existe circunferência ortogonal a $C$ com centro no ponto $P$.

    Vamos provar que a circunferência $D$ é única.

    Suponhamos que existe uma ponto $A'$ distinto de $A$ e $B$ tal que a circunferência $T'$ com centro em $P$ e raio $\overline{A'P}$ é ortogonal à circunferência $C$. Então, o triângulo $\triangle_{OA'P}$ é retângulo em $A'$ e o ângulo $\angle OA'P$ é o ângulo do arco capaz do diâmetro $\overline{OP}$ da circunferência $T$, que é absurdo, pois $T$ interseta $C$ apenas em $A$ e $B$ que são distintos de $A'$. Logo, a circunferência $D$ é única.
    $\square$

    Teorema 1 - Seja $C$ uma circunferência de centro $O$ e raio $r\neq 0$. Os pontos $P$ e $P'$ são inversos à circunferência $C$ se, e somente se, qualquer circunferência que passa por $P$ e $P'$ é ortogonal à circunferência $C$.

    DEMONSTRAÇÃO

    $\left.\Rightarrow\right)$ Na Figura 7, os pontos $P$ e $P'$ são inversos em relação a circunferência $C$ que tem centro no ponto $O$. $D$ é uma circunferência arbitrária que passa por $P$ e $P'$ e tem centro num ponto $Q$. O ponto $A$ é uma das interseções entre $C$ e $D$ e $M$ é o ponto médio do segmento $\overline{PP'}$. Para provar que $D$ é ortogonal a $C$ é necessário mostrar que as retas $\overleftrightarrow{OA}$ e $\overleftrightarrow{AQ}$ são perpendiculares, para isso basta provar que o triângulo $\triangle_{OAQ}$ é retângulo em $A$.


    Figura 7: Circunferência $D$ passa por $P$ e $P'$ e é ortogonal a $C$
    Como $P$ e $P'$ são pontos da circunferência $D$, então $\overline{QP}\equiv\overline{QP'}$,  assim, o triângulo $\triangle_{PQP'}$ é isósceles. Sendo $M$ o ponto médio de $\overline{PP'}$, os segmento $\overline{PP'}$ e $\overline{QM}$ são perpendiculares. Portanto, o triângulo $\triangle_{OQM}$ é retângulo em $M$: $$\begin{equation}\label{OQM}\overline{OQ}^2=\overline{QM}^2+\overline{OM}^2\end{equation}$$

    Temos ainda que $$\begin{equation}\overline{PP'}=\overline{MP}+\overline{MP'}=2\cdot\overline{MP}\end{equation}$$

    $$\begin{equation}\label{MP} \overline{OP'}=\overline{OP}+\overline{PP'}=\overline{OP}+2\cdot\overline{MP} \Rightarrow
    \overline{MP} =\dfrac{\overline{OP'}-\overline{OP}}{2}  \end{equation}$$

    $$\begin{equation} \label{OM}\overline{OM}=\overline{OP}+\overline{MP}=\overline{OP}+\dfrac{\overline{OP'}-\overline{OP}}{2}\Rightarrow\overline{OM}=\dfrac{\overline{OP'}+\overline{OP}}{2}\end{equation}$$

    O triângulo $\triangle_{QMP}$ é retângulo em $M$, então $$\begin{equation}\label{QM}\overline{QP}^2=\overline{QM}^2+\overline{MP}^2\Rightarrow
    \overline{QM}^2=\overline{QP}^2-\overline{MP}^2=\overline{QP}^2-\left( \dfrac{\overline{OP'}-\overline{OP}}{2} \right)^2\Rightarrow \\
    \overline{QM}^2=\overline{QP}^2+\dfrac{2\cdot\overline{OP'}\cdot\overline{OP}-(\overline{OP'}+\overline{OP})}{4}\end{equation}$$

    Fazendo $\eqref{OM}$ e $\eqref{QM}$ em $\eqref{OQM}$ temos
    $$\begin{equation}\overline{OQ}^2=\overline{QP}^2+\dfrac{2\cdot\overline{OP'}\cdot\overline{OP}-(\overline{OP'}+\overline{OP})}{4}+\left(\dfrac{\overline{OP'}+\overline{OP}}{2}\right)^2= \\ \overline{QP}^2+\dfrac{2\cdot\overline{OP'}\cdot\overline{OP}-(\overline{OP'}+\overline{OP})}{4}+\dfrac{2\cdot\overline{OP'}\cdot\overline{OP}+(\overline{OP'}+\overline{OP})}{4}\end{equation}=\overline{QP}^2+\overline{OP'}\cdot\overline{OP}$$

    Por hipótese, $P$ e $P'$ são inversos em relação a $C$ e $A$ é um ponto de $C$ e $D$, então
    $$\begin{equation}\left\{\begin{array}{l}\overline{OP'}\cdot\overline{OP}=\overline{OA}^2 \\ \overline{QP}=\overline{QA}\end{array}\right.\end{equation}$$

    Temos $$\overline{OQ}^2=\overline{QA}^2+\overline{OA}^2$$

    Verificamos que o triângulo $\triangle_{OAQ}$ é retângulo em $A$, pois satisfaz o Teorema de Pitágoras.

    $\left.\Leftarrow\right)$ Na Figura 8, $C$ e $D$ são circunferências ortogonais no ponto $A$. O ponto $O$ é o centro de $C$ e $h$ é um semirreta com origem em $O$ que intercepta $D$ nos pontos $P$ e $P'$.

    Figura 8: $C$ e $D$ são ortogonais no ponto $A$
    Aplicando potência de ponto em relação à circunferência $D$, temos $$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=\overline{OA}^2$$ Como $\overline{OA}$ é raio da circunferência $C$, então $P$ e $P'$ são inversos em relação a $C$
    $\square$

    REFERÊNCIAS

    KILHIAN, Kleber. Teorema do Ângulo Inscrito. 2011. Disponível em: <http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/10/teorema-do-angulo-inscrito.html>. Acesso em: 18 jul. 2016.
    POTÊNCIA de ponto. 2012. Disponível em: <http://www.colegioweb.com.br/angulos-e-arcos-na-circunferencia-potencia-de-ponto/potencia-de-ponto.html>. Acesso em: 26 jul. 2016.
    SOUZA, Carlos Bino de. Geometria Hiperbólica: Consistência do Modelo de Disco de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Ufrpe, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 25 jun. 2016.

    domingo, 17 de julho de 2016

    Inversão de um ponto qualquer do plano euclidiano em relação a uma circunferência

    Considere os pontos distintos $O, P$ e $R$ e uma circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r=\overline{OR}\neq 0$ no plano euclidiano.

    A construção a seguir, feita no Geogebra, é para determinar a inversão do ponto $P$ em relação a circunferência $\alpha$ independente do ponto ser interno ou externo à circunferência de inversão.

    1- Trace a semirreta $s=\overrightarrow{OP}$;
    2- Trace a reta $t$ perpendicular a $s$ passando por $O$ e marque os pontos $A$ e $B$ interseção entre $t$ e $\alpha$;
    3- Trace a semirreta $u=\overrightarrow{AP}$ e marque o ponto $C$ interseção entre $u$ e $\alpha$; e
    4- Trace a semirreta $v=\overrightarrow{BC}$ e marque o ponto $P'$ interseção entre $s$ e $v$.

    Os pontos $P$ e $P'$ são inversos em relação a circunferência $\alpha$.

    JUSTIFICATIVA

    O angulo $\angle BCA$ é retângulo, pois é o ângulo do arco capaz $\overline{AB}$, logo, o triângulo $\triangle_{ABC}$ é retângulo em $C$.

    As reta $t$ e a semirreta $s$ são perpendiculares no ponto $O$ (ver passo 2 da construção geométrica), então os triângulos $\triangle_{BP'O}$ e $\triangle_{APO}$ são retângulos em $O$.

    Os triângulo $\triangle_{ABC}$ e $\triangle_{BP'O}$ são semelhantes, observe:

    I) $\angle BCA\equiv\angle P'OB$, pois são reto;
    II) $\angle ABC\equiv\angle OBP'$, pois é ângulo comum aos dois triângulos; e
    III) $\angle CAB\equiv\angle BP'O$, pela soma dos ângulo internos de um triângulo. 
    Pelos caso Ângulo-Ângulo-Ângulo os triângulos $\triangle_{ABC}$ e $\triangle_{BP'O}$ são semelhantes.
    Analogamente, podemos mostrar que os triângulos $\triangle_{APO}$ e $\triangle_{ABC}$ são semelhantes. Assim, $\triangle_{APO}$ e $\triangle_{BP'O}$ também são semelhantes. Desta forma
    $$\dfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\dfrac{\overline{OA}}{\overline{OP'}}\Rightarrow\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=\overline{OB}\cdot\overline{OA}$$
    Como $\overline{OB}=\overline{OA}=r$, então $$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2$$

    Por fim, $P$ e $P'$ estão sobre uma semirreta com origem em $O$, então $P$ e $P'$ são inversos em relação a circunferência $\alpha$.
    $\square$

    Referência

    SOUZA, Carlos Bino de. GEOMETRIA HIPERBÓLICA: A consistência do Modelo de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 24 jun. 2016.

    quinta-feira, 14 de julho de 2016

    Inversão de ponto externo a circunferência $\alpha$

    Nesta postagem, realizaremos uma construçãogeométrica para determinar a inversão de um ponto externo à circunferência de inversão.


    Considere a circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r\neq 0$ e o ponto $P$ externo a circunferência $\alpha$, na construção abaixo. Mova o ponto $R$ para alterar o raio $r$ de $\alpha$ e também mova o ponto $P$ na região do plano externo a $\alpha$.


    1- Trace a semirreta $s=\overrightarrow{OP}$ e marque o ponto médio $M$ entre $O$ e $P$;
    2- Trace a circunferência $\beta$ com centro em $M$ e raio $\overline{OM}$ e marque o ponto $A=\alpha\cap\beta$;
    3- Trace a reta $t$ perpendicular a $s$ passando por $A$ e marque o ponto $P'=t\cap s$ que é o ponto inverso de $P$ em relação a $\alpha$.

    JUSTIFICANDO A CONSTRUÇÃO

    Para que $P$ e $P'$ sejam inversos em relação a circunferência $\alpha$, temos que mostrar que eles satisfazem os seguintes critérios (da definição de ponto inverso)

    1. Estão numa semirreta com origem em $O$;
    2. $\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2$.

    O triângulo $\triangle_{OAP}$ é retângulo em $A$, pois $\overline{OP}$ é diâmetro de $\beta$, então, $90^\circ$ é arco capaz de $\overline{OP}$ e $\overline{AP}$ é uma altura do triângulo $\triangle_{OAP}$, pois $t$ é perpendicular a $s$ no ponto $P$. Conforme as relações métricas no triângulo retângulo $$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=\overline{OA}^2=r^2$$ e $P$ e $P'$ estão numa semirreta com origem em $O$, assim, $P$ e $P'$ são inversos em relação a circunferência $\alpha$.
    $\square$

    REFERÊNCIAS



    KILHIAN, Kleber. Relações métricas no triângulo retângulo. 2015. Disponível em: <http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2015/04/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo.html>. Acesso em: 14 jul. 2016.

    MUNIZ NETO, Antonio Caminha. Geometria. Rio de Janeiro: Sbm, 2013. 502 p.

    SOUZA, Carlos Bino de. GEOMETRIA HIPERBÓLICA: A consistência do Modelo de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 24 jun. 2016.

    Inversão de ponto interno à circunferência $\alpha$

    Vamos determinar, por meio de construções geométricas, o ponto inverso $P'$ do ponto $P$ que é interno à circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r$.


    Para construção, vamos considerar uma circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r\neq 0$e o ponto $P$ interno a $\alpha$.

    A construção a seguir foi feita no Geogebra, nele é possível mover o ponto $P$ e o ponto $R$ para modificar o raio de $\alpha$. Clique no botões "Próximo" e "Anterior" para verificar a construção geométrica que determina o ponto $P'$, inverso a $P$ em relação a circunferência $\alpha$.



    1- Semirreta $s=\overrightarrow{OA}$;

    2- Reta $t$ perpendicular a $s$ passando por $P$. Marcamos o ponto $A=\alpha\cap t$; e

    3- Reta $v$ tangente a $\alpha$ no ponto $A$. Temos então ponto $P'=v\cap s$ que é o inverso do ponto $P$ em relação a $\alpha$.

    JUSTIFICATIVA DA CONSTRUÇÃO
    Para justificar a construção basta mostrar que $P$ e $P'$ satisfaz a definição de ponto inverso, ou seja, os seguintes critérios:

    1. $P$ e $P'$ estão sobre uma semirreta com origem em $O$ e
    2. $\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2$.

    Na construção, imediatamente verificamos que $P$ e $P'$ estão sobre a semirreta $s$ que tem origem em $O$, satisfaz o critério 1.

    Vamos mostrar que $P$ e $P'$ satisfaz o critério 2. Temos o triângulo $\triangle_{AOP'}$ retângulo em $A$ (não vamos demonstrar que o triângulo $\triangle_{AOP'}$ é retângulo em $A$, mas se tiver curiosidade em ver a demonstração que $\overline{OA}$ e a reta $v$ são perpendiculares sugerimos a leitura de Souza(2014, p. 45)) com altura $\overline{AP}$ (pois $t\perp s$). Conforme as relações métricas no triângulo retângulo
    $$\overline{OP'}\cdot\overline{OP}=\overline{OA}^2$$

    Como $\overline{OA}=r$, temos
    $$\overline{OP'}\cdot\overline{OP}=r^2$$


    $\square$

    Referências

    KILHIAN, Kleber. Relações métricas no triângulo retângulo. 2015. Disponível em: . Acesso em: 14 jul. 2016.

    SOUZA, Carlos Bino de. Geometria Hiperbólica: Consistência do Modelo de Disco de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Ufrpe, Recife, 2014. Disponível em: . Acesso em: 14 jul. 2016.

    quarta-feira, 13 de julho de 2016

    Inversão na circunferência


    A inversão na circunferência é uma transformação que associa um ponto interno de uma circunferência a um único ponto externo da mesma circunferência. Esta transformação é importante para realizar construções no h-plano tais como h-retas e estabelecer a reflexão de uma h-reta.


    Nesta postagem, definiremos pontos inversos, ponto ideal, plano de inversão e inversão na circunferência e veremos que a inversão na circunferência é uma relação biunívoca.


    DEFINIÇÃO 1

    Considere $\alpha$ uma circunferência de centro $O$ e raio $r$ e os pontos $P$ e $P'$ distintos de $O$. Dizemos que $P'$ é ponto inverso de $P$ em relação a $\alpha$ se pertencerem a uma semirreta com origem em $O$ e $$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2$$ onde $\overline{OP}$ e $\overline{OP'}$ são as medidas dos respectivos segmentos de reta.

    Na Construção 1, feita no Geogebra, verificamos que o ponto $P'$ é inverso a $P$ em relação a circunferência $\alpha$.
    Construção 1: Mova o ponto $P$ e observe que a relação com $P'$ satisfaz a Definição 1
    Como consequência da Definição 1 verificamos que $P'$ é o único ponto inverso de $P$ e $P$ é o único ponto inverso de $P'$ em relação a circunferência $\alpha$.

    COROLÁRIO 1

    Considere o ponto $P$ e a circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r$. Só há um único ponto $P'$ inverso a $P$ e $P$ é inverso a $P'$ em relação a $\alpha$.

    DEMONSTRAÇÃO

    Da Definição 1, os pontos $P$ e $P'$ estão sobre uma semirreta $t$ com orgiem em $O$, onde
    $$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2\Rightarrow\overline{OP'}=\dfrac{r^2}{\overline{OP}}$$

    Além disso, há uma relação posicional entre o ponto $P$ e a circunferência $\alpha$:

    1. $P$ pode ser um ponto interno a $\alpha$, ou seja, $\overline{OP} < r$;
    2. $P$ pode ser um ponto de $\alpha$, ou seja, $\overline{OP}=r$; e
    3. $P$ pode ser um ponto externo a $\alpha$, ou seja, $\overline{OP} > r$.

    Se $\overline{OP}=r$, então $\overline{OP'}=r$. Como $P$ é o único ponto que dista $r$ do ponto $O$ sobre a semirreta $t$, logo $P=P'$.

    Se $P$ é um ponto interno de $\alpha$, então $P'$ é único e externo a $\alpha$.
    $$\overline{OP} < r \Rightarrow \dfrac{r}{\overline{OP}} > 1\Rightarrow\overline{OP'}=\dfrac{r^2}{\overline{OP}} > r$$

    De forma análoga, podemos mostrar que se $P$ é um ponto externo a $\alpha$, então $P'$ é único e interno a $\alpha$.

    $\square$

    Ainda considerando a circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r$ e os pontos $P$ e $P'$ sobre uma semirreta $t$ com origem $O$, onde $$\overline{OP'}=\dfrac{r^2}{\overline{OP}}$$.
    Se $P$ estiver próximo de $\alpha$, $P'$ também se aproxima de $\alpha$, ou seja $$\lim_{\overline{OP}\rightarrow r}\left( \dfrac{r^2}{\overline{OP}}\right)=r$$
    Se $P$ se aproxima de $O$, $P'$ fica cada vez mais distante, tendendo ao infinito $$\lim_{\overline{OP}\rightarrow 0}\left( \dfrac{r^2}{\overline{OP}}\right)=\infty$$
    Se quisermos que o ponto $O$ tenha um ponto inverso em relação a circunferência $\alpha$, é necessário que este ponto esteja no infinito e pela arbitrariedade na escolha do ponto $O$, este pondo deve estar infinitamente distante de qualquer ponto. Como o infinito não incide no plano euclidiano, também é necessário que exista um plano que contenha o ponto que está no infinito. Assim, vamos definir o ponto no infinito e o plano que contem esse ponto.

    DEFINIÇÃO 2
    Seja $\mathbb{E}$ o plano euclidiano e $\Omega$ um ponto, que chamaremos de ponto ideal, tal que para todo $P\in\mathbb{E}$, $\overline{P\Omega}=\infty$ e $\Omega$ pertence a qualquer reta que incide em $\mathbb{E}$.

    DEFINIÇÃO 3
    Chamaremos de plano de inversão, denotaremos por $\mathbb{E}_\infty$, o plano determinado pelo plano euclidiano adicionado pelo ponto ideal.
    $$\mathbb{E}_\infty=\mathbb{E}\cup\{\Omega\}$$

    Agora, podemos definir a transformação que associa cada ponto no interior de uma circunferência a um ponto externo a circunferência.

    DEFINIÇÃO 4
    Seja $\alpha$ uma circunferência de centro $O$ e raio $r$. A transformação geométrica em $\mathbb{E}_\infty$ que associa cada ponto $P$ ao seu inverso $P'$ em relação à $\alpha$ e é tal que $O$ é o inverso de $\Omega$ e $\Omega$ é o inverso de $O$ é denominada inversão na circunferência, $\alpha$ será denominada circunferência de inversão e O é o centro de inversão

    Pelo Colorário 1, todo ponto $P\neq O$ e não pertencente a $\alpha$ tem um único ponto inverso $P'$ em $\mathbb{E}_\infty$, se $P$ é um ponto de $\alpha$, então $P$ é o próprio ponto inverso e o inverso de $O$ é $\Omega$ e o inverso de $\Omega$ é $O$, em relação a $\alpha$, então, a inversão na circunferência á um aplicação biunívoca.

    Referências

    MIRANDA, Danielle de. Posição relativa entre ponto e circunferência. Disponível em: <http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicao-relativa-entre-ponto-circunferencia.htm>. Acesso em: 13 jul. 2016.

    SOUZA, Carlos Bino de. GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Consistência do Modelo de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 26 ago. 2014.


    segunda-feira, 11 de julho de 2016

    GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Propriedades da Métrica do Disco de Poincaré

    Considerando três h-pontos $A$, $B$ e $C$, a distância entre dois h-pontos conserva as seguintes propriedades:

    $\left. P_1 \right)$ $d_h(A,B)\geq 0$, sendo que $d_h(A,B)=0\Leftrightarrow A=B$.



    DEMONSTRAÇÃO

    Considerando a h-reta $t$ que passa por $A$ e $B$ com pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$, independente da h-reta $t$ ser um diâmetro $\alpha$ ou um arco de circunferência ortogonal a $\alpha$, os valores para $\overline{AZ_1}, \overline{AZ_2}, \overline{BZ_1}$ e $\overline{BZ_2}$  são positivos, pois representam distâncias no plano euclidiano, assim:

    $$\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}> 0$$

    Se $0<\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}<1$, então
    $$d_h(A,B)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|=\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}\right) ^{-1}\right|=\left|-\ln\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}\right|=\ln\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}>0$$

    Se $\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}>1$, então

    $$d_h(A,B)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|>1$$

    Assim, provamos que a distância de dois h-pontos não assume valores negativos, agora vamos mostrar que $d_h(A,B)=0\Leftrightarrow A=B$. Considere ainda a h-reta $t$ que passa pelos h-pontos $A$ e $B$ com pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$.

    $\left.\Rightarrow\right)$ Já vimos que se $A=B$ então $d_h(A,B)=0$

    $\left.\Leftarrow\right)$ Se
    $$\begin{equation}d_h(A,B)=0\Rightarrow\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|=\left|\ln 1\right|\Rightarrow\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}=1 \end{equation}$$
    $$\begin{equation}\label{eq1}  \overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}=\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}\end{equation}$$

    No Disco de Poincaré, a h-reta $t$ pode ser a) um diâmetro de $\alpha$ ou b) um arco de circunferência ortogonal $\alpha$, para continuidade da demonstração vamos considerar cada um destes casos.

    a) Se $t$ é um diâmetro de $\alpha$ e, por absurdo, $A$ e $B$ são h-pontos distintos, ver Figura 1, temos que $\overline{AZ_1}=\overline{AB}+\overline{BZ_1}$ e $\overline{BZ_2}=\overline{AB}+\overline{AZ_2}$, substituindo em $\eqref{eq1}$ temos:

    $$\begin{equation}\label{eq2} \left( \overline{AB}+\overline{BZ_1} \right)\cdot\left( \overline{AB}+\overline{AZ_2} \right) = \overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}\end{equation}$$


    Figura 1: H-reta $t$ que passa por $A$ e $B$
    com pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$
    Assim, verificamos que $\overline{AB}=0$, que é absurdo, pois consideramos que $A$ e $B$ são distintos. Logo, $A=B$


    b) Vamos considerar que a h-reta $t$ é um arco de circunferência ortogonal à $\alpha$, então os pontos $A, B, Z_1$ e $Z_2$ formam os triângulo $\triangle_{AZ_2Z_1}$ e $\triangle_{BZ_2Z_1}$ no plano euclidiano, ver Figura 2.

    Figura 2: Triângulos $\triangle_{AZ_2Z_1}$ e $\triangle_{BZ_2Z_1}$ no plano euclidiano
    Verificamos em $\eqref{eq1}$ que os triângulos $\triangle_{AZ_2Z_1}$ e $\triangle_{BZ_2Z_1}$ são semelhantes onde os lados $\overline{AZ_2}$ e $\overline{BZ_2}$ são correspondentes, assim como os lados $\overline{AZ_1}$ e $\overline{BZ_1}$ também são correspondentes, portanto, $\overline{Z_2Z_1}$ é o terceiro lado correspondente nos dois triângulos, então:

    $$\overline{AZ_2}=\overline{BZ_2} \\ \overline{AZ_1}=\overline{BZ_1}$$

    Logo, $A=B$


    $\square$

    $\left. P_2 \right)$ $d_h(A,B)=d_h(B,A)$

    DEMONSTRAÇÃO

    $$d_h(A,B)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|=\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}\right)^{-1}\right|=\left|-\ln\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{BZ_1}\cdot\overline{AZ_2}}{\overline{BZ_2}\cdot\overline{AZ_1}}\right|=d_h(B,A)$$

    $\square$

    $\left. P_3 \right)$ A métrica do Disco de Poincaré satisfaz a desigualdade triangular.

    Para demonstração desta propriedade, utilizaremos a mesma definição de pontos colineares no plano euclidiano e enunciaremos a desigualdade triangular como um teorema, mas não faremos a sua demonstração, pois extrapola os objetivos desta postagem, mas quem tiver interesse sugerimos MUNIZ NETO (2013, cap 4).

    DEFINIÇÃO 1
    Sejam $A,B$ e $C$ h-pontos, diremos que eles são colineares se existir uma h-reta $t$ que passa por estes h-pontos, caso contrário, diremos que eles são não-colineares.

    TEOREMA 1
    Em todo triângulo, cada lado tem comprimento menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados.

    Assim como no plano euclidiano, se os h-pontos $A,B$ e $C$ forem colineares, com $B$ entre $A$ e $C$ (a relação está entre no h-plano é a mesma no plano euclidiano, ver Figura 3) teremos:
    $$\begin{equation}\label{dt1}d_h(A,B)+d_h(B,C)=d_h(A,C)\end{equation}$$

    Figura 3: $B$ está entre $A$ e $C$
    Vejamos a demonstração de $\eqref{dt1}$

    $$d_h(A,B)+d_h(B,C)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|+\left|\ln\dfrac{\overline{BZ_1}\cdot\overline{CZ_2}}{\overline{BZ_2}\cdot\overline{CZ_1}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_1}\cdot\overline{CZ_2}}{\overline{BZ_2}\cdot\overline{CZ_1}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{CZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{CZ_1}}\right|=d_h(A,C)$$
    $\square$

    Vamos considerar os h-pontos não-colineares  $A,B$ e $O$ ($O$ é o centro de $\alpha$ no plano euclidiano) que formam um triângulo hiperbólico ou h-triângulo, que denominaremos por $\blacktriangle_{OAB}$, ver Figura 4.
    Figura 4: h-triângulo $\blacktriangle_{AOB}$


    Vamos provar que $$\begin{equation}\label{dt2}d_h(A,O)+d_h(O,B)>d_h(A,B)\end{equation}$$ DEMONSTRAÇÃO

    No plano euclidiano, a menor distância do ponto $A$ para $\alpha$ é $\overline{AZ_6}$, assim, verificamos que $\overline{AZ_6}<\overline{AZ_2}\Rightarrow\dfrac{1}{\overline{AZ_6}}>\dfrac{1}{\overline{AZ_2}}$. A maior distância entre o ponto $A$ e $\alpha$ é  $\overline {AZ_5}$, então temos $\overline{AZ_5}>\overline{AZ_1}$, Assim:
    $$\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}>\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}$$
    Analogamente, temos:
    $$\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}>\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}$$
    Assim,
    $$\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}>\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}\Rightarrow\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_6}}{\overline{OZ_5}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_4}}{\overline{OZ_3}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}>\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}$$
    Lembrando que $\overline{OZ_6}=\overline{OZ_5}=\overline{OZ_4}=\overline{OZ_3}=r$ e $r$ é o raio de $\alpha$. Portando
    $$\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_6}}{\overline{OZ_5}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_4}}{\overline{OZ_3}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}>\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}\Rightarrow \\

    \left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_6}}{\overline{OZ_5}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_4}}{\overline{OZ_3}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}\right)\right|>\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}\right)\right|\Rightarrow \\

    \left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_6}}{\overline{OZ_5}}\right)\right|+\left|\ln\left(\dfrac{\overline{OZ_4}}{\overline{OZ_3}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}\right)\right|>\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}\right)\right|\Rightarrow \\

    d_h(A,O)+d_h(O,B)>d_h(A,B)$$
    $\square$

    Podemos utilizar reflexão numa h-reta para mostrar que $d_h(A,B)+d_h(B,O)>d_(A,O)$ e $d_h(A,B)+d_h(A,O)>d_h(B,O)$ assim como provar para três h-pontos não-colineares, $A,B$ e $C$, distintos de $O$ que $d_h(A,B)+d_h(B,C)>d_h(A,C)$. Não mostraremos o processo de reflexão numa h-reta, mas se o leitor tiver interesso sobre o assunto, indicamos Souza (2014, p. 87-92)

    REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

    ANDRADE, Plácido Francisco de. Introdução à Geometria Hiperbólica: O modelo de Poincaré. Rio de Janeiro: Sbm, 2013. 263 p. (Textos Universitários).

    MUNIZ NETO, Antonio Caminha. Geometria. Rio de Janeiro: Sbm, 2013. 502 p.

    SOUZA, Carlos Bino de. Geometria Hiperbólica: Consistência do Modelo de Disco de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Ufrpe, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 25 jun. 2016.