GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Ângulo no h-plano

No h-plano, vamos considerar duas h-retas que se intersetam num h-ponto $A$, a medida do ângulo formado por essas h-retas no h-ponto $A$ obedecerá as seguintes condições:


I - se as h-retas são arco de circunferências, o ângulo formado por elas em $A$ será igual ao ângulo formado pelas retas tangentes a cada arco no ponto $A$ (ver Definição 1 - Circunferências ortogonais);

II - se uma das h-retas é um arco de circunferência e a outra um segmento de reta, o ângulo formado por elas em $A$ é o ângulo formado entre o segmento de reta e a reta tangente ao arco de circunferência no ponto $A$;

III - se as h-retas forem segmentos de reta, ou elas são coincidentes, ou se intersetam no ponto $O$, ou seja $A=O$, e o ângulo formado por elas é o mesmo ângulo formado pelos segmento no plano euclidiano.

Observa na Construção 1, feita no Geogebra, os h-ângulos formados nos h-pontos $A$, $B$ e $O$.

Construção 1: h-ângulos

GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Construção de h-reta

Atualizada em 30/07/2016 as 13:41

A geometria hiperbólica satisfaz os quatro primeiros postulados de Euclides. Deste modo, dois h-pontos determinam uma única h-reta. Ainda é possível determinar uma h-reta conhecendo um dos seus h-pontos e um dos pontos ideais ou conhecendo os dois pontos ideais.

Nesta postagem, veremos construções de h-retas determinadas por dois h-pontos, por um h-ponto e um ponto ideal e por dois pontos ideais, auxiliados pelo software Geogebra.

Considere o h-plano determinado pela circunferência $\alpha$, com centro no ponto $O$ e raio $r\neq 0$.

I-Construção da h-reta $s$ determinada pelos h-pontos $A$ e $B$.

Uma h-reta pode ser um diâmetro de $\alpha$ ou um arco de circunferência ortogonal a $\alpha$, Se os pontos $A$, $B$ e $O$ forem colineares, no plano euclidiano, então a h-reta $s$ é o diâmetro de $\alpha$ que passa por $A$ e $B$. A construção a seguir considera apenas $A$, $B$ e $O$ não-colineares.

Construção 1: h-reta $s$ determinada pelos h-pontos $A$ e $B$

1 - Marque o ponto $A'$ é inverso a $A$ em relação a circunferência $\alpha$, clique aqui para ver construções geométricas para determinar o ponto inverso;

2 - Faça a circunferência $\beta$ que passa pelos pontos $A,A'$ e $B$ e marque os pontos $Z_1$ e $Z_2$, interseção entre $\alpha$ e $\beta$. Os pontos $Z_1$ e $Z_2$ são os pontos ideais da h-reta $s$; e

3 - O arco $Z_1Z_2$, no interior de $\alpha$, é a h-reta $s$ determinada pelos h-pontos $A$ e $B$.

Como $A$ e $A'$ são inversos em relação a $\alpha$ e a circunferência $\beta$ passa por estes pontos, então $\beta$ é ortogonal a $\alpha$ (ver Teorema 1 - Circunferências ortogonais), por isso que o arco $Z_1Z_2$ é uma h-reta e é a única que passa por $A$ e $B$, pois só há uma única circunferência no plano euclidiano que passa pelos pontos $A, A'$ e $B$.

II-Construção da h-reta $t$ que passa pelo h-ponto $A$ e tem ponto ideal $Z_1$

Se $A, O$ e $Z_1$ forem colineares, $t$ é o diâmetro de $\alpha$ que passa por $A$ e $Z_1$. Para construção a seguir, vamos considerar que $A, O$ e $Z_1$ são não-colineares.

Poderíamos repetir a Construção 1, mas vamos apresentar outra alternativa.

Construção 2: h-reta determinada por um h-ponto e um ponto ideal

1 - $m$ é a mediatriz do segmento $\overline{AZ_1}$, $n$ é a reta tangente a $\alpha$ em $Z_1$ e $Q$ é o ponto de interseção entre $n$ e $m$;

2 - $\beta$ é a circunferência de centro $Q$ e raio $\overline{QZ_1}$ e $Z_2$ pertence à interseção entre $\alpha$ e $\beta$; e

3 - o arco $t=Z_1Z_2$ é a h-reta determinada pelo h-ponto $A$ e o ponto ideal $Z_1$.

O ponto $Q$ pertence à mediatriz de $\overline{AZ_1}$, então $\overline{QZ_1}=\overline{QA}$, assim, a circunferência $\beta$ passa por $A$. Como a reta $n$, que é tangente a $\alpha$ no ponto $Z_1$, passa pelo centro $Q$ da circunferência $\beta$, então $\alpha$ e $\beta$ são ortogonais (ver Colorário 1 - Circunferências ortogonais) e $\beta$ é a única circunferência ortogonal a $\alpha$ que tem centro em $Q$ (ver Lema 3 - Circunferências ortogonais). Por fim, a h-reta $t$  é a única que passa por $A$ e tem pontos ideais $Z_1$ e Z_2$.

III-Construção da h-reta $u$ determinada pelos pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$

Se $O, Z_1$ e $Z_2$ forem colineares, $u$ é o diâmetro de $\alpha$ com extremos em $Z_1$ e $Z_2$. Para a construção a seguir, vamos considerar que $O, Z_1$ e $Z_2$ são não-colineares.

Construção 3: h-reta $u$ determinada pelos pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$

1 - As retas $f$ e $g$ são tangentes a $\alpha$ em $Z_1$ e $Z_2$, respectivamente;
2 - O ponto $Q$ pertence à interseção entre $f$ e $g$; e
3 - $u$ é o arco de extremos $Z_1$ e $Z_2$ e centro em $Q$.

Conforme o Colorário 1 - Circunferências ortogonais, a circunferência que de centro em $Q$ e raio $\overline{QZ_1}$ é ortogonal a $\alpha$ e, conforme Lema 3 - Circunferências ortogonais, esta circunferência é unica, logo só há uma única h-reta $u$ determinada pelos pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$.

Circunferências ortogonais

Através da construção de circunferências ortogonais, poderemos determinar h-retas e realizar transformações geométricas no h-plano. Veremos teoremas importantes que fundamentam a construção de uma circunferência ortogonal a uma circunferência dada.

Definição 1 - Considere duas circunferências, $C_1$ e $C_2$, que se intersetam em dois pontos, $A_1$ e $A_2$, no plano euclidiano. Sejam $r$ e $s$ retas que tangenciam, respectivamente, $C_1$ e $C_2$ no ponto $A_1$. O ângulo $\theta$ formado por $C_1$ e $C_2$ no ponto $A_1$ é o ângulo formado por $r$ e $s$ no ponto $A_1$. Se $\theta$ for $90^\circ$, dizemos que $C_1$ e $C_2$ são circunferências ortogonais.

Figura 1: $\theta$ é o ângulo formado por $C_1$ e $C_2$
Se $\theta=90^\circ$ então $C_1$ é ortogonal a $C_2$

Lema 1 - Sejam $C_1$ e $C_2$ circunferências que se intersetam nos pontos $A_1$ e $A_2$. O ângulo $\theta$ formado por $C_1$ e $C_2$ no ponto $A_1$ é congruente ao ângulo $\gamma$ formado por $C_1$ e $C_2$ no ponto $A_2$.

Figura 2: $\theta$ e $\gamma$ são congruentes

DEMONSTRAÇÃO

Considere as retas $r$ e $s$ tangentes, respectivamente, a $C_1$ e $C_2$ no ponto $A_1$, as retas $t$ e $u$ tangentes, respectivamente, a $C_1$ e $C_2$ no ponto $A_2$ e os pontos $E$, interseção entre $u$ e $s$, e $F$, interseção entre $r$ e $t$, ver Figura 3.

Figura 3: Demonstração que $\theta$ e $\gamma$ são congruentes

As retas $r$ e $s$ são tangentes a $C_1$ e se intersetam no ponto $F$, então $\overline{A_1F}=\overline{A_2F}$. De forma análoga, podemos mostrar que $\overline{A_1E}=\overline{A_2E}$. Assim, pelo caso Lado-Lado-Lado, os triângulo $\triangle_{A_1EF}$ e $\triangle_{A_2FE}$ são congruentes, logo, os ângulo $\theta$ e $\gamma$ são congruentes.

$\square$

Lema 2 - Considere a circunferência $C$ com centro num ponto arbitrário $O$ e raio $r\neq o$ e a reta $s$. A reta $s$ é ortogonal à circunferência $C$ se e somente se passar por $O$.

DEMONSTRAÇÃO

$\left.\Rightarrow\right)$ Considere os pontos $P$ e $Q$, interseções entre a reta $s$ e a circunferência $C$ , e a reta $t$, tangente a $C$ no ponto $P$. Se $s$ é ortogonal a $C$ então $s\perp t$. Vamos mostrar que a reta $s$ passa pelo ponto $O$, centro da circunferência $C$.

Considere que $s$ é secante a $C$ mas não passa por $O$, ver Figura 4. Assim, o ângulo central $\angle POQ$ é o dobro do ângulo formado pelas retas $s$ e $t$ no ponto $P$, ou seja, $\angle POQ = 180^\circ$. Assim, as semirretas $\overrightarrow{OP}$ e $\overrightarrow{OQ}$ estão na mesma reta, o que é absurdo. Logo, $s$ passa pelo ponto $O$.

Figura 4: Reta $s$ é ortogonal a circunferência $C$

$\left.\Leftarrow\right)$ Vamos considerar o ponto $P$, uma das interseções entre a reta $s$ e a circunferência $C$ e a reta $t$ tangente a $C$ no ponto $P$. Sendo $O$, centro da circunferência $C$, um dos pontos da reta $s$, vamos provar que $s\perp t$, assim, $s$ será ortogonal a $C$.

Vamos supor que $s$ e $t$ não sejam perpendiculares. Assim, existe um ponto $M\in t$ tal que $\overline{OM}\perp t$, por hipótese, os segmentos $\overline{OM}$ e $\overline{OP}$ não são coincidentes por que $\overline{OP}$ e $t$ não são perpendiculares. O ponto $M $ divide a reta $t$ em duas semirretas opostas. Vamos determinar na semirreta oposta a que tem o ponto $P$ o ponto $P'$ tal que $\overline{MP}\cong\overline{MP'}$ . Assim, os triângulo $\triangle_{OMP}$ e $\triangle_{OMP'}$ são congruentes, caso LAL, pois $\overline{OM}$ é o lado comum aos triângulos, $\overline{OM}$ é perpendicular a $t$ e $\overline{MP}\cong\overline{MP'}$, logo, $\overline{OP}\cong\overline{OP'}$, ver Figura 5, o que implica em $P'\in C$ que é absurdo, pois, por hipótese, a reta $t$ intercepta a circunferência $C$ apenas no ponto $P$. Portanto, a reta $s$ é ortogonal à circunferência $C$.

Figura 5: reta $s$ passa pelo ponto $C$

$\square$

Como consequência do Lema 2, se duas circunferências, $C_1$ e $C_2$, são ortogonais no ponto $P$ e as retas $r$ e $s$ são tangentes, respectivamente, a $C_1$ e $C_2$ em $P$, então $r$ passa pelo centro de $C_2$ e $s$ passa pelo centro de $C_1$, ver Figura 6.

 - 

Figura 6: $r$ passa pelo centro $O_2$ de $C_2$ e $s$ passa pelo centro $O_1$ de $C_1$

Colorário 1 - Sejam $C_1$ e $C_2$ circunferências ortogonais que se intersetam no ponto $P$, $r$ é uma reta tangente a $C_1$ no ponto $P$ e $s$ é uma reta tangente a $C_2$ no ponto $P$. Então, $r$ incide no centro de $C_2$ e $s$ incide no centro de $C_1$.

Lema 3 - Seja $P$ um ponto externo a uma circunferência $C$. Só há uma única circunferência ortogonal a $C$ com centro em $P$.

DEMONSTRAÇÃO
Digamos que existe uma circunferência ortogonal a $C$ que tem centro no ponto $P$, que denotaremos por $D$. Portanto, $D$ intercepta $C$ em dois pontos, $A$ e $B$. Pelo Corolário 1, a reta tangente a $C$ no ponto $A$ passa por $P$, assim como a reta tangente a $C$ no ponto $B$ também passa no ponto $P$. Como as retas $\overleftrightarrow{AP}$ e $\overleftrightarrow{BP}$ são tangentes a $C$, então $\overline{AP}\equiv\overline{BP}$ e não são nulos, pois $A$ e $B$ pertencem a circunferência $C$ e, por hipótese, $P$ é externo a $C$. Logo, a existência da circunferência $D$, ortogonal a $C$, com centro no ponto $P$ está condicionada a existência das retas $\overleftrightarrow{AP}$ e $\overleftrightarrow{BP}$ tangentes à circunferência $C$.

A construção abaixo foi feita no Geogebra e nos auxiliará na demonstração da existência das retas $\overleftrightarrow{AP}$ e $\overleftrightarrow{BP}$ tangentes a $C$ para todo ponto $P$ externo a $C$.

1 - Marque o ponto médio $M$ entre $O$ e $P$;

2- Trace a circunferência $T$ com centro em $M$ e raio $\overline{MP}$ e marque os pontos $A$ e $B$, intercessão entre $C$ e $D$;
3- Trace as retas $\overleftrightarrow{AP}$ e $\overleftrightarrow{BP}$
4- Trace a circunferência $D$ com centro em $P$ e raio $\overline{AP}$.
A circunferência $D$ é ortogonal a $C$.

O ângulo $\angle OAP$ mede $90^\circ$, pois é o ângulo do arco capaz do diâmetro $\overline{OP}$ da circunferência $T$, como $\overline{OA}$ é raio da circunferência $C$, então $\overleftrightarrow{AP}$ é tangente a $C$. De forma análoga, provamos que $\overleftrightarrow{BP}$ é tangente a $C$. Assim, os pontos $A$ e $B$ só existirão se $P$ for um ponto externo a circunferência $C$. Logo, para todo $P$ externo à circunferência $C$ existe circunferência ortogonal a $C$ com centro no ponto $P$.

Vamos provar que a circunferência $D$ é única.

Suponhamos que existe uma ponto $A'$ distinto de $A$ e $B$ tal que a circunferência $T'$ com centro em $P$ e raio $\overline{A'P}$ é ortogonal à circunferência $C$. Então, o triângulo $\triangle_{OA'P}$ é retângulo em $A'$ e o ângulo $\angle OA'P$ é o ângulo do arco capaz do diâmetro $\overline{OP}$ da circunferência $T$, que é absurdo, pois $T$ interseta $C$ apenas em $A$ e $B$ que são distintos de $A'$. Logo, a circunferência $D$ é única.

$\square$

Teorema 1 - Seja $C$ uma circunferência de centro $O$ e raio $r\neq 0$. Os pontos $P$ e $P'$ são inversos à circunferência $C$ se, e somente se, qualquer circunferência que passa por $P$ e $P'$ é ortogonal à circunferência $C$.

DEMONSTRAÇÃO

$\left.\Rightarrow\right)$ Na Figura 7, os pontos $P$ e $P'$ são inversos em relação a circunferência $C$ que tem centro no ponto $O$. $D$ é uma circunferência arbitrária que passa por $P$ e $P'$ e tem centro num ponto $Q$. O ponto $A$ é uma das interseções entre $C$ e $D$ e $M$ é o ponto médio do segmento $\overline{PP'}$. Para provar que $D$ é ortogonal a $C$ é necessário mostrar que as retas $\overleftrightarrow{OA}$ e $\overleftrightarrow{AQ}$ são perpendiculares, para isso basta provar que o triângulo $\triangle_{OAQ}$ é retângulo em $A$.

Figura 7: Circunferência $D$ passa por $P$ e $P'$ e é ortogonal a $C$

Como $P$ e $P'$ são pontos da circunferência $D$, então $\overline{QP}\equiv\overline{QP'}$,  assim, o triângulo $\triangle_{PQP'}$ é isósceles. Sendo $M$ o ponto médio de $\overline{PP'}$, os segmento $\overline{PP'}$ e $\overline{QM}$ são perpendiculares. Portanto, o triângulo $\triangle_{OQM}$ é retângulo em $M$: $$\begin{equation}\label{OQM}\overline{OQ}^2=\overline{QM}^2+\overline{OM}^2\end{equation}$$

Temos ainda que $$\begin{equation}\overline{PP'}=\overline{MP}+\overline{MP'}=2\cdot\overline{MP}\end{equation}$$

$$\begin{equation}\label{MP} \overline{OP'}=\overline{OP}+\overline{PP'}=\overline{OP}+2\cdot\overline{MP} \Rightarrow
\overline{MP} =\dfrac{\overline{OP'}-\overline{OP}}{2}  \end{equation}$$

$$\begin{equation} \label{OM}\overline{OM}=\overline{OP}+\overline{MP}=\overline{OP}+\dfrac{\overline{OP'}-\overline{OP}}{2}\Rightarrow\overline{OM}=\dfrac{\overline{OP'}+\overline{OP}}{2}\end{equation}$$

O triângulo $\triangle_{QMP}$ é retângulo em $M$, então $$\begin{equation}\label{QM}\overline{QP}^2=\overline{QM}^2+\overline{MP}^2\Rightarrow
\overline{QM}^2=\overline{QP}^2-\overline{MP}^2=\overline{QP}^2-\left( \dfrac{\overline{OP'}-\overline{OP}}{2} \right)^2\Rightarrow \\
\overline{QM}^2=\overline{QP}^2+\dfrac{2\cdot\overline{OP'}\cdot\overline{OP}-(\overline{OP'}+\overline{OP})}{4}\end{equation}$$

Fazendo $\eqref{OM}$ e $\eqref{QM}$ em $\eqref{OQM}$ temos
$$\begin{equation}\overline{OQ}^2=\overline{QP}^2+\dfrac{2\cdot\overline{OP'}\cdot\overline{OP}-(\overline{OP'}+\overline{OP})}{4}+\left(\dfrac{\overline{OP'}+\overline{OP}}{2}\right)^2= \\ \overline{QP}^2+\dfrac{2\cdot\overline{OP'}\cdot\overline{OP}-(\overline{OP'}+\overline{OP})}{4}+\dfrac{2\cdot\overline{OP'}\cdot\overline{OP}+(\overline{OP'}+\overline{OP})}{4}\end{equation}=\overline{QP}^2+\overline{OP'}\cdot\overline{OP}$$

Por hipótese, $P$ e $P'$ são inversos em relação a $C$ e $A$ é um ponto de $C$ e $D$, então
$$\begin{equation}\left\{\begin{array}{l}\overline{OP'}\cdot\overline{OP}=\overline{OA}^2 \\ \overline{QP}=\overline{QA}\end{array}\right.\end{equation}$$

Temos $$\overline{OQ}^2=\overline{QA}^2+\overline{OA}^2$$

Verificamos que o triângulo $\triangle_{OAQ}$ é retângulo em $A$, pois satisfaz o Teorema de Pitágoras.

$\left.\Leftarrow\right)$ Na Figura 8, $C$ e $D$ são circunferências ortogonais no ponto $A$. O ponto $O$ é o centro de $C$ e $h$ é um semirreta com origem em $O$ que intercepta $D$ nos pontos $P$ e $P'$.

Figura 8: $C$ e $D$ são ortogonais no ponto $A$

Aplicando potência de ponto em relação à circunferência $D$, temos $$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=\overline{OA}^2$$ Como $\overline{OA}$ é raio da circunferência $C$, então $P$ e $P'$ são inversos em relação a $C$

$\square$

REFERÊNCIAS

KILHIAN, Kleber. Teorema do Ângulo Inscrito. 2011. Disponível em: <http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/10/teorema-do-angulo-inscrito.html>. Acesso em: 18 jul. 2016.

POTÊNCIA de ponto. 2012. Disponível em: <http://www.colegioweb.com.br/angulos-e-arcos-na-circunferencia-potencia-de-ponto/potencia-de-ponto.html>. Acesso em: 26 jul. 2016.

SOUZA, Carlos Bino de. Geometria Hiperbólica: Consistência do Modelo de Disco de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Ufrpe, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 25 jun. 2016.

Inversão de um ponto qualquer do plano euclidiano em relação a uma circunferência

Considere os pontos distintos $O, P$ e $R$ e uma circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r=\overline{OR}\neq 0$ no plano euclidiano.

A construção a seguir, feita no Geogebra, é para determinar a inversão do ponto $P$ em relação a circunferência $\alpha$ independente do ponto ser interno ou externo à circunferência de inversão.

1- Trace a semirreta $s=\overrightarrow{OP}$;
2- Trace a reta $t$ perpendicular a $s$ passando por $O$ e marque os pontos $A$ e $B$ interseção entre $t$ e $\alpha$;
3- Trace a semirreta $u=\overrightarrow{AP}$ e marque o ponto $C$ interseção entre $u$ e $\alpha$; e
4- Trace a semirreta $v=\overrightarrow{BC}$ e marque o ponto $P'$ interseção entre $s$ e $v$.

Os pontos $P$ e $P'$ são inversos em relação a circunferência $\alpha$.

JUSTIFICATIVA

O angulo $\angle BCA$ é retângulo, pois é o ângulo do arco capaz $\overline{AB}$, logo, o triângulo $\triangle_{ABC}$ é retângulo em $C$.

As reta $t$ e a semirreta $s$ são perpendiculares no ponto $O$ (ver passo 2 da construção geométrica), então os triângulos $\triangle_{BP'O}$ e $\triangle_{APO}$ são retângulos em $O$.

Os triângulo $\triangle_{ABC}$ e $\triangle_{BP'O}$ são semelhantes, observe:

I) $\angle BCA\equiv\angle P'OB$, pois são reto;
II) $\angle ABC\equiv\angle OBP'$, pois é ângulo comum aos dois triângulos; e
III) $\angle CAB\equiv\angle BP'O$, pela soma dos ângulo internos de um triângulo. 

Pelos caso Ângulo-Ângulo-Ângulo os triângulos $\triangle_{ABC}$ e $\triangle_{BP'O}$ são semelhantes.

Analogamente, podemos mostrar que os triângulos $\triangle_{APO}$ e $\triangle_{ABC}$ são semelhantes. Assim, $\triangle_{APO}$ e $\triangle_{BP'O}$ também são semelhantes. Desta forma
$$\dfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\dfrac{\overline{OA}}{\overline{OP'}}\Rightarrow\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=\overline{OB}\cdot\overline{OA}$$
Como $\overline{OB}=\overline{OA}=r$, então $$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2$$

Por fim, $P$ e $P'$ estão sobre uma semirreta com origem em $O$, então $P$ e $P'$ são inversos em relação a circunferência $\alpha$.

$\square$

Referência

SOUZA, Carlos Bino de. GEOMETRIA HIPERBÓLICA: A consistência do Modelo de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 24 jun. 2016.

Inversão de ponto externo a circunferência $\alpha$

Nesta postagem, realizaremos uma construçãogeométrica para determinar a inversão de um ponto externo à circunferência de inversão.

Considere a circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r\neq 0$ e o ponto $P$ externo a circunferência $\alpha$, na construção abaixo. Mova o ponto $R$ para alterar o raio $r$ de $\alpha$ e também mova o ponto $P$ na região do plano externo a $\alpha$.

1- Trace a semirreta $s=\overrightarrow{OP}$ e marque o ponto médio $M$ entre $O$ e $P$;
2- Trace a circunferência $\beta$ com centro em $M$ e raio $\overline{OM}$ e marque o ponto $A=\alpha\cap\beta$;
3- Trace a reta $t$ perpendicular a $s$ passando por $A$ e marque o ponto $P'=t\cap s$ que é o ponto inverso de $P$ em relação a $\alpha$.

JUSTIFICANDO A CONSTRUÇÃO

Para que $P$ e $P'$ sejam inversos em relação a circunferência $\alpha$, temos que mostrar que eles satisfazem os seguintes critérios (da definição de ponto inverso)

1. Estão numa semirreta com origem em $O$;
2. $\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2$.

O triângulo $\triangle_{OAP}$ é retângulo em $A$, pois $\overline{OP}$ é diâmetro de $\beta$, então, $90^\circ$ é arco capaz de $\overline{OP}$ e $\overline{AP}$ é uma altura do triângulo $\triangle_{OAP}$, pois $t$ é perpendicular a $s$ no ponto $P$. Conforme as relações métricas no triângulo retângulo $$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=\overline{OA}^2=r^2$$ e $P$ e $P'$ estão numa semirreta com origem em $O$, assim, $P$ e $P'$ são inversos em relação a circunferência $\alpha$.

$\square$

REFERÊNCIAS

KILHIAN, Kleber. Relações métricas no triângulo retângulo. 2015. Disponível em: <http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2015/04/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo.html>. Acesso em: 14 jul. 2016.

MUNIZ NETO, Antonio Caminha. Geometria. Rio de Janeiro: Sbm, 2013. 502 p.

SOUZA, Carlos Bino de. GEOMETRIA HIPERBÓLICA: A consistência do Modelo de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 24 jun. 2016.

Inversão de ponto interno à circunferência $\alpha$

Vamos determinar, por meio de construções geométricas, o ponto inverso $P'$ do ponto $P$ que é interno à circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r$.

Para construção, vamos considerar uma circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r\neq 0$e o ponto $P$ interno a $\alpha$.

A construção a seguir foi feita no Geogebra, nele é possível mover o ponto $P$ e o ponto $R$ para modificar o raio de $\alpha$. Clique no botões "Próximo" e "Anterior" para verificar a construção geométrica que determina o ponto $P'$, inverso a $P$ em relação a circunferência $\alpha$.

1- Semirreta $s=\overrightarrow{OA}$;

2- Reta $t$ perpendicular a $s$ passando por $P$. Marcamos o ponto $A=\alpha\cap t$; e

3- Reta $v$ tangente a $\alpha$ no ponto $A$. Temos então ponto $P'=v\cap s$ que é o inverso do ponto $P$ em relação a $\alpha$.

JUSTIFICATIVA DA CONSTRUÇÃO
Para justificar a construção basta mostrar que $P$ e $P'$ satisfaz a definição de ponto inverso, ou seja, os seguintes critérios:

1. $P$ e $P'$ estão sobre uma semirreta com origem em $O$ e
2. $\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2$.

Na construção, imediatamente verificamos que $P$ e $P'$ estão sobre a semirreta $s$ que tem origem em $O$, satisfaz o critério 1.

Vamos mostrar que $P$ e $P'$ satisfaz o critério 2. Temos o triângulo $\triangle_{AOP'}$ retângulo em $A$ (não vamos demonstrar que o triângulo $\triangle_{AOP'}$ é retângulo em $A$, mas se tiver curiosidade em ver a demonstração que $\overline{OA}$ e a reta $v$ são perpendiculares sugerimos a leitura de Souza(2014, p. 45)) com altura $\overline{AP}$ (pois $t\perp s$). Conforme as relações métricas no triângulo retângulo
$$\overline{OP'}\cdot\overline{OP}=\overline{OA}^2$$

Como $\overline{OA}=r$, temos

$$\overline{OP'}\cdot\overline{OP}=r^2$$

$\square$

Referências

KILHIAN, Kleber. Relações métricas no triângulo retângulo. 2015. Disponível em: . Acesso em: 14 jul. 2016.

SOUZA, Carlos Bino de. Geometria Hiperbólica: Consistência do Modelo de Disco de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Ufrpe, Recife, 2014. Disponível em: . Acesso em: 14 jul. 2016.

Inversão na circunferência

A inversão na circunferência é uma transformação que associa um ponto interno de uma circunferência a um único ponto externo da mesma circunferência. Esta transformação é importante para realizar construções no h-plano tais como h-retas e estabelecer a reflexão de uma h-reta.

Nesta postagem, definiremos pontos inversos, ponto ideal, plano de inversão e inversão na circunferência e veremos que a inversão na circunferência é uma relação biunívoca.

DEFINIÇÃO 1

Considere $\alpha$ uma circunferência de centro $O$ e raio $r$ e os pontos $P$ e $P'$ distintos de $O$. Dizemos que $P'$ é ponto inverso de $P$ em relação a $\alpha$ se pertencerem a uma semirreta com origem em $O$ e $$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2$$ onde $\overline{OP}$ e $\overline{OP'}$ são as medidas dos respectivos segmentos de reta.

Na Construção 1, feita no Geogebra, verificamos que o ponto $P'$ é inverso a $P$ em relação a circunferência $\alpha$.

Construção 1: Mova o ponto $P$ e observe que a relação com $P'$ satisfaz a Definição 1

Como consequência da Definição 1 verificamos que $P'$ é o único ponto inverso de $P$ e $P$ é o único ponto inverso de $P'$ em relação a circunferência $\alpha$.

COROLÁRIO 1

Considere o ponto $P$ e a circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r$. Só há um único ponto $P'$ inverso a $P$ e $P$ é inverso a $P'$ em relação a $\alpha$.

DEMONSTRAÇÃO

Da Definição 1, os pontos $P$ e $P'$ estão sobre uma semirreta $t$ com orgiem em $O$, onde
$$\overline{OP}\cdot\overline{OP'}=r^2\Rightarrow\overline{OP'}=\dfrac{r^2}{\overline{OP}}$$

Além disso, há uma relação posicional entre o ponto $P$ e a circunferência $\alpha$:

1. $P$ pode ser um ponto interno a $\alpha$, ou seja, $\overline{OP} < r$;
2. $P$ pode ser um ponto de $\alpha$, ou seja, $\overline{OP}=r$; e
3. $P$ pode ser um ponto externo a $\alpha$, ou seja, $\overline{OP} > r$.

Se $\overline{OP}=r$, então $\overline{OP'}=r$. Como $P$ é o único ponto que dista $r$ do ponto $O$ sobre a semirreta $t$, logo $P=P'$.

Se $P$ é um ponto interno de $\alpha$, então $P'$ é único e externo a $\alpha$.
$$\overline{OP} < r \Rightarrow \dfrac{r}{\overline{OP}} > 1\Rightarrow\overline{OP'}=\dfrac{r^2}{\overline{OP}} > r$$

De forma análoga, podemos mostrar que se $P$ é um ponto externo a $\alpha$, então $P'$ é único e interno a $\alpha$.

$\square$

Ainda considerando a circunferência $\alpha$ de centro $O$ e raio $r$ e os pontos $P$ e $P'$ sobre uma semirreta $t$ com origem $O$, onde $$\overline{OP'}=\dfrac{r^2}{\overline{OP}}$$.

Se $P$ estiver próximo de $\alpha$, $P'$ também se aproxima de $\alpha$, ou seja $$\lim_{\overline{OP}\rightarrow r}\left( \dfrac{r^2}{\overline{OP}}\right)=r$$

Se $P$ se aproxima de $O$, $P'$ fica cada vez mais distante, tendendo ao infinito $$\lim_{\overline{OP}\rightarrow 0}\left( \dfrac{r^2}{\overline{OP}}\right)=\infty$$

Se quisermos que o ponto $O$ tenha um ponto inverso em relação a circunferência $\alpha$, é necessário que este ponto esteja no infinito e pela arbitrariedade na escolha do ponto $O$, este pondo deve estar infinitamente distante de qualquer ponto. Como o infinito não incide no plano euclidiano, também é necessário que exista um plano que contenha o ponto que está no infinito. Assim, vamos definir o ponto no infinito e o plano que contem esse ponto.

DEFINIÇÃO 2
Seja $\mathbb{E}$ o plano euclidiano e $\Omega$ um ponto, que chamaremos de ponto ideal, tal que para todo $P\in\mathbb{E}$, $\overline{P\Omega}=\infty$ e $\Omega$ pertence a qualquer reta que incide em $\mathbb{E}$.

DEFINIÇÃO 3

Chamaremos de plano de inversão, denotaremos por $\mathbb{E}_\infty$, o plano determinado pelo plano euclidiano adicionado pelo ponto ideal.

$$\mathbb{E}_\infty=\mathbb{E}\cup\{\Omega\}$$

Agora, podemos definir a transformação que associa cada ponto no interior de uma circunferência a um ponto externo a circunferência.

DEFINIÇÃO 4

Seja $\alpha$ uma circunferência de centro $O$ e raio $r$. A transformação geométrica em $\mathbb{E}_\infty$ que associa cada ponto $P$ ao seu inverso $P'$ em relação à $\alpha$ e é tal que $O$ é o inverso de $\Omega$ e $\Omega$ é o inverso de $O$ é denominada inversão na circunferência, $\alpha$ será denominada circunferência de inversão e O é o centro de inversão. 

Pelo Colorário 1, todo ponto $P\neq O$ e não pertencente a $\alpha$ tem um único ponto inverso $P'$ em $\mathbb{E}_\infty$, se $P$ é um ponto de $\alpha$, então $P$ é o próprio ponto inverso e o inverso de $O$ é $\Omega$ e o inverso de $\Omega$ é $O$, em relação a $\alpha$, então, a inversão na circunferência á um aplicação biunívoca.

Referências

MIRANDA, Danielle de. Posição relativa entre ponto e circunferência. Disponível em: <http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicao-relativa-entre-ponto-circunferencia.htm>. Acesso em: 13 jul. 2016.

SOUZA, Carlos Bino de. GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Consistência do Modelo de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 26 ago. 2014.

GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Propriedades da Métrica do Disco de Poincaré

Considerando três h-pontos $A$, $B$ e $C$, a distância entre dois h-pontos conserva as seguintes propriedades:

$\left. P_1 \right)$ $d_h(A,B)\geq 0$, sendo que $d_h(A,B)=0\Leftrightarrow A=B$.



DEMONSTRAÇÃO

Considerando a h-reta $t$ que passa por $A$ e $B$ com pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$, independente da h-reta $t$ ser um diâmetro $\alpha$ ou um arco de circunferência ortogonal a $\alpha$, os valores para $\overline{AZ_1}, \overline{AZ_2}, \overline{BZ_1}$ e $\overline{BZ_2}$  são positivos, pois representam distâncias no plano euclidiano, assim:

$$\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}> 0$$

Se $0<\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}<1$, então
$$d_h(A,B)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|=\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}\right) ^{-1}\right|=\left|-\ln\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}\right|=\ln\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}>0$$

Se $\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}>1$, então

$$d_h(A,B)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|>1$$

Assim, provamos que a distância de dois h-pontos não assume valores negativos, agora vamos mostrar que $d_h(A,B)=0\Leftrightarrow A=B$. Considere ainda a h-reta $t$ que passa pelos h-pontos $A$ e $B$ com pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$.

$\left.\Rightarrow\right)$ Já vimos que se $A=B$ então $d_h(A,B)=0$

$\left.\Leftarrow\right)$ Se
$$\begin{equation}d_h(A,B)=0\Rightarrow\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|=\left|\ln 1\right|\Rightarrow\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}=1 \end{equation}$$
$$\begin{equation}\label{eq1}  \overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}=\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}\end{equation}$$

No Disco de Poincaré, a h-reta $t$ pode ser a) um diâmetro de $\alpha$ ou b) um arco de circunferência ortogonal $\alpha$, para continuidade da demonstração vamos considerar cada um destes casos.

a) Se $t$ é um diâmetro de $\alpha$ e, por absurdo, $A$ e $B$ são h-pontos distintos, ver Figura 1, temos que $\overline{AZ_1}=\overline{AB}+\overline{BZ_1}$ e $\overline{BZ_2}=\overline{AB}+\overline{AZ_2}$, substituindo em $\eqref{eq1}$ temos:

$$\begin{equation}\label{eq2} \left( \overline{AB}+\overline{BZ_1} \right)\cdot\left( \overline{AB}+\overline{AZ_2} \right) = \overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}\end{equation}$$

Figura 1: H-reta $t$ que passa por $A$ e $B$
com pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$

Assim, verificamos que $\overline{AB}=0$, que é absurdo, pois consideramos que $A$ e $B$ são distintos. Logo, $A=B$

b) Vamos considerar que a h-reta $t$ é um arco de circunferência ortogonal à $\alpha$, então os pontos $A, B, Z_1$ e $Z_2$ formam os triângulo $\triangle_{AZ_2Z_1}$ e $\triangle_{BZ_2Z_1}$ no plano euclidiano, ver Figura 2.

Figura 2: Triângulos $\triangle_{AZ_2Z_1}$ e $\triangle_{BZ_2Z_1}$ no plano euclidiano

Verificamos em $\eqref{eq1}$ que os triângulos $\triangle_{AZ_2Z_1}$ e $\triangle_{BZ_2Z_1}$ são semelhantes onde os lados $\overline{AZ_2}$ e $\overline{BZ_2}$ são correspondentes, assim como os lados $\overline{AZ_1}$ e $\overline{BZ_1}$ também são correspondentes, portanto, $\overline{Z_2Z_1}$ é o terceiro lado correspondente nos dois triângulos, então:

$$\overline{AZ_2}=\overline{BZ_2} \\ \overline{AZ_1}=\overline{BZ_1}$$

Logo, $A=B$

$\square$

$\left. P_2 \right)$ $d_h(A,B)=d_h(B,A)$

DEMONSTRAÇÃO

$$d_h(A,B)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|=\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}\right)^{-1}\right|=\left|-\ln\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{BZ_1}\cdot\overline{AZ_2}}{\overline{BZ_2}\cdot\overline{AZ_1}}\right|=d_h(B,A)$$

$\square$

$\left. P_3 \right)$ A métrica do Disco de Poincaré satisfaz a desigualdade triangular.

Para demonstração desta propriedade, utilizaremos a mesma definição de pontos colineares no plano euclidiano e enunciaremos a desigualdade triangular como um teorema, mas não faremos a sua demonstração, pois extrapola os objetivos desta postagem, mas quem tiver interesse sugerimos MUNIZ NETO (2013, cap 4).

DEFINIÇÃO 1
Sejam $A,B$ e $C$ h-pontos, diremos que eles são colineares se existir uma h-reta $t$ que passa por estes h-pontos, caso contrário, diremos que eles são não-colineares.

TEOREMA 1
Em todo triângulo, cada lado tem comprimento menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados.

Assim como no plano euclidiano, se os h-pontos $A,B$ e $C$ forem colineares, com $B$ entre $A$ e $C$ (a relação está entre no h-plano é a mesma no plano euclidiano, ver Figura 3) teremos:
$$\begin{equation}\label{dt1}d_h(A,B)+d_h(B,C)=d_h(A,C)\end{equation}$$

Figura 3: $B$ está entre $A$ e $C$

Vejamos a demonstração de $\eqref{dt1}$

$$d_h(A,B)+d_h(B,C)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|+\left|\ln\dfrac{\overline{BZ_1}\cdot\overline{CZ_2}}{\overline{BZ_2}\cdot\overline{CZ_1}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_1}\cdot\overline{CZ_2}}{\overline{BZ_2}\cdot\overline{CZ_1}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{CZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{CZ_1}}\right|=d_h(A,C)$$

$\square$

Vamos considerar os h-pontos não-colineares  $A,B$ e $O$ ($O$ é o centro de $\alpha$ no plano euclidiano) que formam um triângulo hiperbólico ou h-triângulo, que denominaremos por $\blacktriangle_{OAB}$, ver Figura 4.

Figura 4: h-triângulo $\blacktriangle_{AOB}$

Vamos provar que $$\begin{equation}\label{dt2}d_h(A,O)+d_h(O,B)>d_h(A,B)\end{equation}$$ DEMONSTRAÇÃO

No plano euclidiano, a menor distância do ponto $A$ para $\alpha$ é $\overline{AZ_6}$, assim, verificamos que $\overline{AZ_6}<\overline{AZ_2}\Rightarrow\dfrac{1}{\overline{AZ_6}}>\dfrac{1}{\overline{AZ_2}}$. A maior distância entre o ponto $A$ e $\alpha$ é  $\overline {AZ_5}$, então temos $\overline{AZ_5}>\overline{AZ_1}$, Assim:
$$\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}>\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}$$
Analogamente, temos:
$$\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}>\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}$$
Assim,
$$\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}>\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}\Rightarrow\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_6}}{\overline{OZ_5}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_4}}{\overline{OZ_3}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}>\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}$$
Lembrando que $\overline{OZ_6}=\overline{OZ_5}=\overline{OZ_4}=\overline{OZ_3}=r$ e $r$ é o raio de $\alpha$. Portando
$$\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_6}}{\overline{OZ_5}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_4}}{\overline{OZ_3}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}>\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}\Rightarrow \\

\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_6}}{\overline{OZ_5}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_4}}{\overline{OZ_3}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}\right)\right|>\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}\right)\right|\Rightarrow \\

\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_5}}{\overline{AZ_6}}\cdot\dfrac{\overline{OZ_6}}{\overline{OZ_5}}\right)\right|+\left|\ln\left(\dfrac{\overline{OZ_4}}{\overline{OZ_3}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_3}}{\overline{BZ_4}}\right)\right|>\left|\ln\left(\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{AZ_2}}\cdot\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}\right)\right|\Rightarrow \\

d_h(A,O)+d_h(O,B)>d_h(A,B)$$

$\square$

Podemos utilizar reflexão numa h-reta para mostrar que $d_h(A,B)+d_h(B,O)>d_(A,O)$ e $d_h(A,B)+d_h(A,O)>d_h(B,O)$ assim como provar para três h-pontos não-colineares, $A,B$ e $C$, distintos de $O$ que $d_h(A,B)+d_h(B,C)>d_h(A,C)$. Não mostraremos o processo de reflexão numa h-reta, mas se o leitor tiver interesso sobre o assunto, indicamos Souza (2014, p. 87-92)

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANDRADE, Plácido Francisco de. Introdução à Geometria Hiperbólica: O modelo de Poincaré. Rio de Janeiro: Sbm, 2013. 263 p. (Textos Universitários).

MUNIZ NETO, Antonio Caminha. Geometria. Rio de Janeiro: Sbm, 2013. 502 p.

SOUZA, Carlos Bino de. Geometria Hiperbólica: Consistência do Modelo de Disco de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Ufrpe, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 25 jun. 2016.

GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Métrica no Disco de Poincaré

OS PROBLEMAS DA MÉTRICA EUCLIDIANA NO H-PLANO DO DISCO DE POINCARÉ

Na geometria hiperbólica, o plano é uma região ilimitada, porém o plano hiperbólico do Disco de Poincaré é uma região restrita no plano euclidiano, se determinássemos a distância de dois h-pontos da mesma forma que determinamos a distância de dois pontos em $\mathbb{E}$, o maior comprimento seria menor que $2\cdot r$ (diâmetro de $\alpha$).

Figura 1: Maior distância euclidiana entre dois h-pontos

Diante deste problema, é necessário adotar uma métrica para o h-plano que possibilite alterar seu comprimento quando um dos pontos se aproxima de $\alpha$ dando a noção de infinidade, além disso, tem o fato da h-reta que passa por dois h-pontos depender da posição relativa destes com $O$ em $\mathbb{E}$, pois, no Disco de Poincaré, a geodésica pode ser um segmento ou um arco de circunferência ortogonal a $\alpha$ no plano euclidiano.

DISTÂNCIA ENTRE DOIS H-PONTOS

Para seu modelo, Poincaré propôs a seguinte forma de medir a distância entre dois h-pontos:

Considere dois h-pontos distintos, $A$ e $B$, e a h-reta $t$ que passa por $A$ e $B$ com pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$. A distância entre dois h-pontos, $A$ e $B$, no h-plano, denominado por $d_h(A,B)$, é:
$$d_h(A,B)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|$$
onde $\overline{AZ_1}$, $\overline{BZ_2}, \overline{AZ_2}$ e $\overline{BZ_1}$ representam a medida euclidiana dos respectivos segmentos.

Vamos mostrar que se $A=B$ então $d_h(A,B)=0$. Observando a Figura 2, se fixarmos o h-ponto $A$ e movermos o h-ponto $B$ sobre a h-reta $t$ de modo que coincida com $A$, no plano euclidiano, a medida do segmento $\overline{BZ_2}$ será igual à medida do segmento $\overline{AZ_2}$ e a medida do segmento $\overline{BZ_1}$ será igual à medida do segmento $\overline{AZ_1}$. Assim,
$$d_h(A,B)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{AZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{AZ_1}}\right|=\left|\ln 1 \right|=0$$

Figura 2: distância entre dois h-pontos

Agora, vamos mostrar que com a métrica proposta por Poincaré, o h-plano do seu modelo de Disco é infinito. Consideremos os h-pontos $A,B$ e $B'$ pertencentes a h-reta $t$ que tem do pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$, ver Figura 3. Vamos fixar os pontos $A$ e $B$ e aproximar $B'$ de $Z_1$, então teremos $\overline{B'Z_1}<\overline{BZ_1}$ e $\overline{B'Z_2}>\overline{BZ_2}$, assim:
$$\dfrac{\overline{B'Z_2}}{\overline{B'Z_1}}>\dfrac{\overline{BZ_2}}{\overline{BZ_1}}\Rightarrow \dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{B'Z_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{B'Z_1}}>\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{AZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{AZ_1}}\Rightarrow\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{B'Z_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{B'Z_1}}\right|>\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|\Rightarrow d_h(A,B')>d_h(A,B)$$

Assim, quanto mais próximo $B'$ estiver de $Z_1$, maior será a distância de entre $A$ e $B'$, portanto, se $B'$ tender a $Z_1$, a distância entre $A$ e $B'$ tende ao infinito.

Figura 3: $\lim_{B'\rightarrow Z_1} d_h(A,B')=\infty$ 

Abaixo, está uma construção feita no Geogebra, onde podemos movimentar os h-pontos $A$ e $B$ e observar a distância entre eles no h-plano.

Construção 1: Distância dos h-pontos $A$ e $B$ no h-plano

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANDRADE, Plácido Francisco de. Introdução à Geometria Hiperbólica: O modelo de Poincaré. Rio de Janeiro: Sbm, 2013. 263 p. (Textos Universitários).

SOUZA, Carlos Bino de. Geometria Hiperbólica: Consistência do Modelo de Disco de Poincaré. 2014. 114 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - Profmat, Ufrpe, Recife, 2014. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/1474>. Acesso em: 25 jun. 2016.