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sexta-feira, 8 de setembro de 2017

Elipse como sendo o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a uma circunferência $d$, com centro $C$ e raio $r$, e que passa por um ponto $F\neq C$ interno à $d$

Nesta postagem, vamos responder a seguinte pergunta: Qual o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a uma circunferência $d$, com centro $C$ e raio $r$, e que passa por um ponto $F\neq C$ interno à $d$? Na postagem Associando pontos da circunferência a uma elipse ou hipérbole, apresenta uma construção que sugere que a resposta da nossa pergunta é uma elipse. Assim, vamos provar a nossa tese.


A definição mais usual da elipse é a seguinte:
Sejam $F_1$ e $F_2$ dois pontos distintos e uma distância $a \in \mathbb{R}_+$. A elipse de focos $F_1$ e $F_2$ é o lugar geométrico do ponto $P$ tal que soma das distâncias entre $P$ e os focos é igual a $2a$.
Figura 1
Na Figura 1, temos uma elipse cujos elementos são:
Focos $F_1$ e $F_2$;
Vértices $A_1$, $A_2$, $B_1$ e $B_2$;
Centro $C$;
Eixo maior $\overline{A_1A_2}=2a$;
Eixo menos $\overline{B_1B_2}=2b$;
Distância focal $\overline{F_1F_2}=2c$.
$a^2=b^2+c^2$

Seja $d$ uma circunferência com centro em $C$ e raio $r$ e considere um ponto $F\neq C$ interno a $d$. Sendo $P_1 \in d$ e $P$ um ponto equidistante de $P_1$ e $F$, pela arbitrariedade na escolha do ponto $P_1$, na Figura 2, apresentamos o lugar geométrico do ponto $P$, denominado por $c$.
Figura 2
Assim, temos $r=\overline{CP_1}$, vamos tomar $m\in\mathbb{R}$ tal que $$\begin{equation}\label{eq1}m=\overline{FP}=\overline{PP_1}\end{equation}$$. Deste modo, temos $$\begin{equation}\label{eq2}\overline{CP}=r-m\end{equation}$$

Portanto, a soma das distâncias do ponto $P$ aos pontos $C$ e $F$, respectivamente, é $$\begin{equation}\label{eq3}d(P,C)+d(P,F)=\overline{CP}+\overline{PF}=(r-m)+m=r\end{equation}$$

Assim, mostramos que $c$ é uma elipse de focos $C$ e $F$.

Observe a Figura 3, O ponto $M$ é ponto médio do segmento $\overline{CF}$, como $C$ e $F$ são focos da elipse $c$, então $M$ é centro de $c$. A reta $f$ é determinada pelos pontos $C$ e $F$; os pontos $X_1$ e $X_2$ pertencem a interseção entre $f$ e a circunferência $d$; $A_1$ é ponto médio de $F$ e $X_1$ e $A_2$ é ponto médio de $F$ e $X_2$, logo, $A_1,A_2\in c$; a reta $g$ é perpendicular à $f$ e passa por $M$ (ou seja, $g$ é a mediatriz de $\overline{CF}$); e os pontos $B_1$ e $B_2$ pertencem a interseção entre $g$ e $c$.
Figura 3

Tomando $\overline{FX_2}=2x$, para $x\in\mathbb{R}$, então $$\begin{equation}\label{eq4}\overline{CF}=r-2x\Rightarrow\overline{CM}=\overline{MF}=\dfrac{r-2x}{2}\end{equation}$$

Temos ainda que $$\overline{X_1F}=\overline{X_1C}+\overline{CF}=2r-2x$$ também podemos escrever $\overline{X_1F}$ como $$\overline{X_1F}=2\cdot\left(\overline{A_1C}+\overline{CF}\right)$$ assim, teremos $$2\cdot\left(\overline{A_1C}+\overline{CF}\right)=2r-2x\Rightarrow\overline{A_1C}+\overline{CF}=r-x\Rightarrow\overline{A_1C}+r-2x=r-x\Rightarrow\overline{A_1C}=x$$
logo $\overline{A_1C}=\overline{A_2F}$.

Como $A_1$ e $A_2$ são pontos de $c$ e de $f=\overline{CF}$, então, o segmento $\overline{A_1A_2}$ é o eixo maior de $c$ e temos $$\overline{A_1A_2}=x+r-2x+x=r$$
Como $B_1,B_2$ são pontos da reta $g$ que é perpendicular ao eixo maior e passa pelo centro $M$ da elipse $c$, então $\overline{B_1B_2}$ é o eixo menor de $c$, assim, temos a relação $$\begin{equation}\label{eq5}\overline{B_1F}^2=\overline{MB_1}^2+\overline{MF}^2\end{equation}$$
Sabendo que $\overline{B_1C}+\overline{B_1F}=r$ e que $g$ é mediatriz do segmento $\overline{CF}$, podemos concluir que $$\begin{equation}\label{eq6}\overline{B_1F}=\dfrac{r}{2}\end{equation}$$

Aplicando $\ref{eq4},\ref{eq6}$ em $\ref{eq5}$ temos
$$\left(\dfrac{r}{2}\right)^2=\overline{B_1M}^2+\left(\dfrac{r-2x}{2}\right)^2\Rightarrow\overline{B_1M}=\dfrac{\sqrt{x\left(2r-x\right)}}{2}$$

Assim, concluímos que o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a uma circunferência $d=\mathcal{C}(C,r)$ e que passa por um ponto $F$ interno à $d$ é a elipse $c$ com focos em $C$ e $F$, com eixo maior medindo $r$ e eixo menor medindo $\dfrac{\sqrt{x\left(2r-x\right)}}{2}$, onde $x$ é a distância de um dos focos e o extremo mais próximo do eixo maior.

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