Solução de Sistemas Lineares pelo Método da Comparação

Quando igualar expressões é a chave para encontrar as soluções ocultas!

Se você está começando a explorar o universo dos sistemas lineares, já deve ter conhecido dois métodos clássicos e poderosos para resolvê-los:
- O intuitivo método da substituição, que explicamos detalhadamente neste link;
- E o eficiente método da adição, ideal quando queremos eliminar variáveis de forma estratégica, disponível neste outro link.

Agora que você já conhece essas abordagens, é hora de ampliar ainda mais seu repertório e descobrir mais uma ferramenta poderosa: o método da comparação. Neste post, vamos te guiar passo a passo por essa técnica que se baseia em uma ideia simples, mas muito elegante: igualar expressões algébricas que representam a mesma variável.

Prepare-se para mergulhar em uma explicação clara, com exemplos resolvidos, vantagens e desvantagens, tudo com a linguagem leve e didática que você já conhece aqui no Bendita Matemática. Vamos juntos?

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🧠 Como funciona o método da comparação?

A ideia é simples:

1. Isolamos a mesma variável em cada equação do sistema;
2. Igualamos as expressões obtidas (já que ambas representam a mesma variável);
3. Resolvemos a equação resultante e substituímos o valor encontrado para descobrir a outra variável.

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✅ Exemplo resolvido (equações já isoladas)

Vamos resolver o sistema:

$$ \begin{cases} x = 2y + 1 \\ x = y - 3 \end{cases} $$

🔹 Passo 1: As duas equações já estão com \(x\) isolado

$$ x = 2y + 1 \quad \text{e} \quad x = y - 3 $$

🔹 Passo 2: Comparar as expressões

$$ 2y + 1 = y - 3 $$

Resolvendo:

$$ 2y - y = -3 - 1 \Rightarrow y = -4 $$

🔹 Passo 3: Substituir o valor de \(y\)

$$ x = y - 3 = -4 - 3 = -7 $$

✅ Solução do sistema:

$$ x = -7, \quad y = -4 $$

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🔄 Exemplo com manipulação algébrica prévia

Considere agora o sistema:

$$ \begin{cases} 3x - y = 7 \\ x + 2y = 4 \end{cases} $$

🔹 Passo 1: Isolar a mesma variável (vamos escolher \(x\))

Da primeira equação:

$$ 3x - y = 7 \Rightarrow x = \frac{y + 7}{3} $$

Da segunda equação:

$$ x + 2y = 4 \Rightarrow x = 4 - 2y $$

🔹 Passo 2: Comparar as expressões

$$ \frac{y + 7}{3} = 4 - 2y $$

Multiplicando ambos os lados por 3:

$$ y + 7 = 12 - 6y \Rightarrow y + 6y = 12 - 7 \Rightarrow 7y = 5 \Rightarrow y = \frac{5}{7} $$

🔹 Passo 3: Substituir o valor de \(y\)

$$ x = 4 - 2 \cdot \frac{5}{7} = \frac{28 - 10}{7} = \frac{18}{7} $$

✅ Solução do sistema:

$$ x = \frac{18}{7}, \quad y = \frac{5}{7} $$

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🎯 Vantagens do Método da Comparação

• 👀 Visual e direto: ideal quando as equações já estão com a variável isolada;
• ✍️ Reforça o conceito de igualdade entre expressões algébricas;
• 📚 Didático: excelente para quem está começando a estudar sistemas.

⚠️ Desvantagens

• 🧮 Pode exigir manipulação algébrica extra se as equações não estiverem isoladas;
• ❗ Frações complicadas podem surgir dependendo dos coeficientes.

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💬 Conclusão: comparar também é resolver!

O método da comparação nos lembra que, se duas expressões são iguais à mesma variável, então elas são igualmente entre si. Essa lógica simples nos permite transformar um sistema em uma equação e resolver com clareza e segurança.

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