GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Circunferência hiperbólica no Disco de Poincaré

Nesta postagem, mostraremos que uma h-circunferência é igual a uma circunferência no plano euclidiano, porém, o h-centro é distinto do centro e o modo de medir o raio também é diferente. Para melhor compreensão desta postagem, sugerimos a leitura das seguintes postagens: Inversão de circunferência em relação a outra circunferência e Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta. Assim, vamos construir uma h-circunferência a partir da Definição 3 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta transcrita a seguir:

Dado um h-ponto $C$ e uma h-distância $\rho$, definiremos a circunferência hiperbólica $\lambda$, ou h-circunferência, com h-centro em $C$ e h-raio $\rho$ o conjunto dos h-pontos que estão a uma h-distância $\rho$ do h-ponto $C$

Seja $P$ um h-ponto tal que $\rho=d_h(O,P)$ e seja $P_0\in\mathbb{H}$ um ponto genérico tal que $P$ e $P_0$ são equidistantes de $O$, no plano euclidiano, ver Figura 1.

Figura 1

Sendo $Z_1$ e $Z_3$ pontos ideais da h-reta $\overline{OP_0}$ e $Z_2$ e $Z_4$ pontos ideais da h-reta $\overline{OP}$. Temos:

$$\begin{matrix} d_h(O,P_0)=\left|\ln\dfrac{\overline{Z_3P_0}\cdot\overline{Z_1O}}{\overline{Z_1P_0}\cdot\overline{Z_3O}}\right|\\ \rho=d_h(O,P)=\left|\ln\dfrac{\overline{Z_4P}\cdot\overline{Z_2O}}{\overline{Z_2P}\cdot\overline{Z_4O}}\right| \end{matrix}$$

Como, no plano euclidiano, os pontos $P,P_0$ são equidistantes do $O$, então

$$\begin{matrix} \overline{Z_1P_0}\cong\overline{Z_2P}\\ \overline{Z_3P_0}\cong\overline{Z_4P}\\ \end{matrix}$$

E ainda temos que $Z_1,Z_2,Z_3,Z_4$ são equidistantes de $O$, desta forma, teremos  $d_h(O,P_0)=\rho$

Figura 2

No plano euclidiano, sabemos que o lugar geométrico de todos os pontos que estão a uma distância $\overline{OP}$ do ponto $O$ é a circunferência $\lambda$, que tem centro no ponto $O$ e raio $\overline{OP}$. Considerando ainda o plano euclidiano, sendo $P$ e $P_0$ equidistante de $O$, verificamos que $P$ e $P_0$ são também equidistantes de $O$ no plano hiperbólico, assim, vemos que o lugar geométrico do h-ponto $P_0$ é a circunferência $\lambda$. Como todos os h-pontos de $\lambda$ são equidistantes de $O$, pela Definição 3 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta, $\lambda$ é uma h-circunferência com h-centro $O$ e h-raio $\overline{OP}$. Podemos generalizar para toda h-circunferência, com h-centro em $O$ e que passa por um h-ponto $P\neq O$ é uma circunferência euclidiana com centro no ponto $O$ e raio $\overline{OP}$, ver Figura 2.

Vimos que se o h-centro de uma h-circunferência $\lambda$ for o h-ponto $O$, então, $\lambda$ é uma circunferência euclidiana, vamos mostrar a seguir que qualquer h-circunferência com h-centro diferente de $O$ é uma circunferência euclidiana.

Considere $r$ como um h-eixo de simetria arbitrário (ver Definição 2 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta). Se $O\in r$, então, $r$ é um diâmetro de $\alpha$ gerado por uma reta $r_0$. Deste modo, a reflexão da circunferência $\lambda$ em torno da h-reta $r$ será, no plano euclidiano, o simétrico da circunferência $\lambda$ em relação à reta $r_0$, que denominaremos por $\lambda'$. Como $r_0$ passa pelo centro de $\lambda$, então, $\lambda$ será simétrica a si mesmo, ou seja, $\lambda'=\lambda$, portanto, no plano hiperbólico, o simétrico da h-circunferência $\lambda$ em torno de um h-eixo $r$ que passa por seu centro $O$ será a própria h-circunferência $\lambda$, ver Figura 3.

Figura 3

Se $O\notin r$, ou seja, $r$ é uma h-reta gerada por uma circunferência $r_a$, então, o simétrico da h-circunferência $\lambda$ em relação à $r$, denominaremos por $\lambda'$, será, no plano euclidiano, o inverso de $\lambda$ em relação à circunferência $r_a$. De acordo com o Teorema 1 - Inversão de circunferência em relação a outra circunferência, o inverso de $\lambda$ em relação à $r_a$ será outra circunferência, $\lambda'$, ver Figura 4. Sendo $O'$ o simétrico de $O$ em relação à h-reta $r$, o Teorema 1 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta diz que a reflexão em torno de uma h-reta é uma isometria, ou seja, é uma aplicação que conserva distância e ângulo, então, como $O$ é um h-ponto que está a uma distância $\rho$ de qualquer ponto de $\lambda$, então $O'$ está a uma distância $\rho$ de qualquer ponto de $\lambda'$, portanto, a h-circunferência $\lambda'$ tem centro no ponto $O'$ e raio $\rho$.

Figura 4

Pela arbitrariedade na escolha da h-reta $r$ podemos generalizar que as circunferências hiperbólicas também são circunferências euclidianas, porém, o centro euclidiano não coincide com o centro hiperbólico a não ser que $O$ seja o h-centro.

Na Construção 1, feita no Geogebra, a h-circunferências $\lambda$ tem h-centro em $O$ e $A$ é um h-ponto de $\lambda$, onde $\rho=\overline{OA}$. Temos ainda que $r$ é um h-eixo de simetria, como pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$, $\lambda'$ e $O'$ são os simétricos de $\lambda$ e $O$ em torno de $r$, respectivamente, o h-ponto $Q$ pertence a $\lambda'$ e o ponto $E$ é o centro euclidiano de $\lambda'$. Os pontos na cor amarela podem ser movidos.

Construção 1

Observe que, em $\lambda'$, no plano euclidiano, $\overline{EQ}$ é o raio enquanto que, no plano hiperbólico, $\overline{O'Q}=\rho$ é o h-raio. 

Aplicação da matemática para tomar uma decisão

Já deve ter se deparado, num supermercado, onde, por exemplo, você quer comprar um chocolate em pó e verifica-se o mesmo produto vendido em embalagens de $400\text{g}$ e $1{,}3\text{kg}$ com os seguintes preços:

Que critério você utilizaria para fazer uma das seguintes escolhas para comprar o achocolatado: Leva três latas de $400\text{g}$ ou um pacote de $1{,}3\text{kg}$?

Elipse como sendo o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a uma circunferência $d$, com centro $C$ e raio $r$, e que passa por um ponto $F\neq C$ interno à $d$

Nesta postagem, vamos responder a seguinte pergunta: Qual o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a uma circunferência $d$, com centro $C$ e raio $r$, e que passa por um ponto $F\neq C$ interno à $d$? Na postagem Associando pontos da circunferência a uma elipse ou hipérbole, apresenta uma construção que sugere que a resposta da nossa pergunta é uma elipse. Assim, vamos provar a nossa tese.

Utilizando uma circunferência para construir uma hipérbole

Vamos fazer um estudo sobre a hipérbole que pode ser obtida a partida da construção da postagem no link http://www.benditamatematica.com/2017/07/associando-pontos-da-circunferencia-uma.html.

A definição mais usual para hipérbole é

Sejam $F_1$ e $F_2$ dois pontos distintos do planos e $2c$ é a distância entre eles. A hipérbole é o lugar geométrico do ponto $P$ tal que a diferença das distância entre $P$ e cada um dos focos é $2a$, com $0 < a < c$ 

Na Construção 1, vamos considerar que a circunferência $d$ tem raio $p$, ou seja, $\overline{CP_1}=p$, a distância entre $P_1$ e $P$ será $m$, como $P$ é equidistante de $P_1$ e $F$, então, $\overline{P_1P}=\overline{PF}=m$, ver Figura 1.

Figura 1

Assim, temos:

$$\left\{\begin{array}{l}

\overline{CP}=p+m \\

\overline{PF}=m

\end{array}\right.\Rightarrow \left|\overline{CP}-\overline{PF}\right|=\left|p+m-m\right|=p$$

Deste modo, verificamos que quando $F$ é externo a $d$, o lugar geométrico de $P$ é uma hipérbole com foco $C$ e $F$. Na Figura 2, os pontos $A_1$ e $A_2$ são os vértices da parábola, assim $\overline{A_1A_2}$ é o eixo focal, $A_1$ é associado ao ponto $A'_1$ e $A_2$ é associado ao ponto $A'_2$. Sendo $p$ o raio de $d$ e $n$ a distância entre $A_2$ e $F$, vamos determinar a medida $2a$ do eixo focal.

Figura 2

A distância entre $A_1$ e $F$ é

$$d(A'_1,F)=2p+2n$$

Como $A_1$ é ponto médio de $A'_1$ e $F$, então

$$d(A_1,F)=\frac{d(A'_1,F)}{2}=\frac{2p+2n}{2}=p+n$$

Veremos que a distância entre os vértices da hipérbole é igual ao raio da circunferência $d$

$$d(A_1,A_2)=d(A_1,F)-d(A_2,F)=p+n-n=p$$

Como $A_2$ é o ponto médio entre $A'_2$ e $F$, então, a distância, 2c, entre os focos $C$ e $F$ é

$$d(C,F)=d(C,A'_2)+d(A'_2,F)=p+2n$$

Na Figura 3, $M$ é o centro da hipérbole e $\overline{B_1B_2}$ é o eixo não focal. Então, $\overline{MA_2}=\dfrac{p}{2}$ e $\overline{B_1A_2}=\dfrac{p+2n}{2}$. Vamos determina a medida $2b$ do eixo não focal utilizando a relação

$$c^2=a^2+b^2\Rightarrow\left( \dfrac{p+2n}{2} \right)^2=\left( \dfrac{p}{2} \right)^2+b^2 \Rightarrow b=\dfrac{\sqrt{n\left( 2p+n \right)}}{2}\Rightarrow \overline{B_1B_2}=2b=\sqrt{n\left( 2p+n \right)}$$

Figura 3

Sejam as reta $t_1$ e $t_2$ tangentes à circunferência $d$ nos pontos $P_1$ e $P_2$, respectivamente, e passam por $F$. Neste caso, não há circunferência que tangencie $d$ em $P_1$ ou $P_2$ e passe por $F$. Desta forma, vamos mostrar que as mediatrizes de $\overline{P_1F}$ e $\overline{P_2F}$ são as assíntotas da parábola.

Sabemos que as assíntotas têm coeficientes angulares $\dfrac{b}{a}$ e $-\dfrac{b}{a}$ e passa pelo centro da hipérbole. Assim, considere a Figura 4.

Figura 4

A circunferência $e$ tem centro em $M$ e raio $c=\overline{MF}=\dfrac{p+2n}{2}$, $P_1$ pertence a interseção de $d$ e $e$ e $t_1=\overline{P_1F}$. 

O triângulo $\triangle CP_1F$ é retângulo em $P_1$, pois $C\widehat{P_1}F=90^\circ$ porque é o ângulo do arco capaz da diagonal  de $e$. Como $\overline{CP_1}=2a$ e $\overline{CF}=2c$, então $\overline{P_1F}=2b=\sqrt{n\left( 20+n \right)}$, por causa da relação $c^2=a^2+b^2$. Então, temos $$tg \left(C\widehat{P_1}F\right)=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{n\left( 20+n \right)}}{p}$$

A mediatriz $s$ de $P_1$ e $F$ é perpendicular a $\overline{P_1F}$, então, $s // \overline{CP_1}$ e, como $M$ é equidistante de $P_1$ e $F$, então $s$ passa por $M$, logo $s$ é assíntota da hipérbole. De forma análoga, podemos mostrar que a mediatriz entre entre $F$ e $P_2$, o outro ponto de interseção entre $d$ e $e$, é a outra assíntota da parábola, ver Figura 5.

Figura 5

Associando pontos da circunferência a uma elipse ou hipérbole

Na Revista do Professor de Matemática Nº 66 tem um artigo com o título Obtendo as cônicas com dobraduras que apresenta construções, que podem ser feitas no software de Geometria Dinâmica. Segue os passos da construção que fiz no Geogebra, os comandos apresentados em cada um dos passos deverão ser colocados no Campo Entrada, no Geogebra.

Pontos equidistantes do centro e de algum lado de um quadrado

Nesta postagem, vamos determinar o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do centro e de algum lado de um quadrado.

CONSTRUÇÃO 1

Vamos considerar um triângulo qualquer com vértices $A,B$ e $C$. Vamos determinar os conjunto de pontos que são equidistantes do ponto $C$ e do lado $\overline{AB}$.

Sendo $s$ a reta determinada pelos ponto $A$ e $B$, os pontos que estão a uma mesma distância do ponto $C$ e da reta $s$ são pontos pertencentes a parábola $\phi$ que tem foco no ponto $C$ e reta diretriz $s$.  Para limitar os pontos equidistantes de $C$ e do segmento $\overline{AB}$, é só limitar a parábola nos pontos $A'$ e $B'$ que são as interseções entre as perpendiculares de $s$, nos pontos $A$ e $B$, respectivamente, e a parábola $\phi$.

CONSTRUÇÃO 2
Vamos determinar o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do centro $C$ e de algum lado do quadrado $PQRS$.

Traçando as diagonais, dividiremos o quadrado $PQRS$ em quatro triângulos congruentes, $\triangle PCS, \triangle PCQ, \triangle QCR$ e $\triangle RCS$, ver figura a seguir.

Dessa forma, o ponto $C$ é vértice de todos os triângulos que compõe o quadrado $PQRS$ e, cada triângulo, possui um dos lados do quadrado. Vamos observar apenas $\triangle PCS$. Os pontos internos estão mais próximos do lado $\overline{PS}$ do que qualquer um dos outros três lados do quadrado ao contrário dos pontos externos ao triângulo, que estão mais próximos de algum dos outros três lados do quadrado do que do lado $\overline{PS}$. Por esta razão e pela Construção 1, os pontos equidistantes de $\overline{PS}$ e de $C$ são os pontos da parábola que tem foco em $C$ e diretriz $\overline{PS}$ e que são internos a $\triangle PCS$. 

De forma análoga, podemos encontrar os outros pontos que estão mais próximos de algum dos outros três lados do quadrado e de $C$.

5 TRUQUES MATEMÁTICOS QUE VÃO EXPLODIR SUA MENTE

GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Mediatriz e H-ponto médio no Disco de Poincaré

Nesta publicação veremos a definição de mediatriz no plano $\mathbb{H}$ e h-ponto médio de um segmento de h-reta.

Para uma boa compreensão das demonstrações, é importante que o leitor tenha conhecimento sobre a reflexão em torno de uma h-reta, para isso, sugerimos a leitura das publicações Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta e H-eixo de simetria no Disco de Poincaré.

Definição 1 - Seja $s$ um segmento de h-reta com extremos nos h-pontos $A$ e $B$. Dizemos que a h-reta $m$ é a mediatriz de $s$, ou de $A$ e $B$, se para todo h-ponto $P\in m$ temos $d_h(A,P)=d_h(B,P)$

 Proposição 1 - Os h-pontos $A$ e $A'$ são simétricos em relação à h-reta $s$ se, e somente se, $s$ é mediatriz de $A$ e $A'$.

DEMONSTRAÇÃO

$\left.\Rightarrow\right)$ Sendo $A$ e $A'$ simétricos em relação à $s$ e sendo $P\in s$ um h-ponto arbitrário, pela Definição 2 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta, temos que $\mathfrak{R}_s(P)=P$. Assim, conforme a Proposição 2 - Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta, temos $d_h(A,P)=d_h(A',P)$, portanto, pela arbitrariedade da escolha do h-ponto $P$,  $s$ é a mediatriz de $A$ e $A'$.
$\left.\Leftarrow\right)$  Sendo $s$ a mediatriz de $A$ e $A'$ e $P$ é um h-ponto qualquer de $s$, pelo Teorema 1 - H-eixo de simetria no Disco de Poincaré, existe uma única h-reta que reflete $A$ em $A'$. Como $d_h(A,P)=d_h(A',P)$, então, $P$ é um h-ponto do h-eixo de simetria, como $P$ é um h-ponto arbitrário de $s$, então, todos os h-pontos de $s$ pertencem ao h-eixo de simetria, isso implica que $s$ é o h-eixo de simetria que reflete $A$ em $A'$.

$\square$

Como consequência da Proposição 1, temos a unicidade da mediatriz

Corolário 1 - O segmento com extremos em $A$ e $B$ tem uma única mediatriz

DEMONSTRAÇÃO

Pela Proposição 1, a mediatriz de $A$ e $B$ também é o h-eixo de simetria de $A$ e $B$. Conforme o Teorema 1 - H-eixo de simetria no Disco de Poincaré, esta h-reta é única.

$\square$

Proposição 2- Sendo $A,B,P\in\mathbb{H}$ e $m$ a mediatriz de $A$ e $B$, se $d_h(A,P)=d_h(B,P)$, então $P\in m$.

DEMONSTRAÇÃO

Suponha que $P\notin m$, sem perda de generalização, vamos considerar que $P\notin\overline{AB}_h$, tomando $\overline{AB}_h$ como h-eixo de simetria, então, existe um único h-ponto $P'$ simétrico a $P$ em relação a $\overline{AB}_h$ e $d_h(A,P')=d_h(B,P')$. Desta forma, qualquer h-ponto $Q\in\overline{PP'}_h$ será equidistante de $A$ e $B$, ou seja, $d_h(A,Q)=d_h(B,Q)$ (neste blog não há a demonstração desta igualdade, mas ela pode ser facilmente feita). Pela arbitrariedade na escolha do h-ponto $Q$, então a h-reta $\overline{PP'}_h$ é mediatriz de $A$ e $B$, que é um absurdo, pois, pelo Colorário 1, a mediatriz é unica. Desta forma, todo h-ponto $P$ equidistante de $A$ e $B$ pertence a mediatriz destes h-pontos.

$\square$

Definição 2 - Considere os h-pontos $A,B$ e $M$. e a h-reta $r=\overline{AB}_h$. Dizemos que $M$ é o h-ponto médio de $A$ e $B$ se $M\in r$ e $d_h(A,M)=d_h(B,M)$.

Teorema 1 - A mediatriz de $A$ e $B$ é a h-reta perpendicular a $\overline{AB}_h$ e passa pelo h-ponto médio de $A$ e $B$.

DEMONSTRAÇÃO

Sendo $M$ o h-ponto médio e $m$ a mediatriz de $A$ e $B$, de imediato, verificamos que $M\in m$. Como $m$ também é o h-eixo de simetria de $A$ e $B$, então $m\perp\overline{AB}_h$.

$\square$

GEOMETRIA HIPERBÓLICA: H-eixo de simetria no Disco de Poincaré

Esta publicação visa preencher lacunas que ficaram da publicação Isometria no Disco de Poincaré: Reflexão em torno de uma h-reta, por esta razão, sugiro que a veja antes de continuar com a leitura desta publicação.


Teorema 1 - Sejam $A$ e $B$ h-pontos distintos, existe uma única h-reta $s$ tal que $\mathfrak{R}_s(A)=A'$.

DEMONSTRAÇÃO

Devemos considerar quatro situações, no plano $\mathbb{E}_\infty$: i) $A$ e $B$ são equidistantes de $O$; ii) $A,B$ e $O$ são pontos colineares e não-equidistantes; iii) $A,B$ e $O$ são ponto não-colineares e $A$ e $B$ não são equidistantes de $O$; e iv) $B=O$

A seguir está uma construção feita no Geogebra, onde é possível observar as construções que comprovam que a h-reta $s$ existe e é única.

Construção 1: Determinando o h-eixo de simetria conhecendo dois pontos simétricos

GEOMETRIA HIPERBÓLICA: Isometria no Disco de Poincaré - Reflexão em torno de uma h-reta

Nesta postagem conheceremos uma transformação no plano hiperbólico, reflexão em torno de uma h-reta, e provaremos que esta transformação é uma isometria.

Para o bom entendimento desta publicação, é importante que tenha conhecimento sobre o modelo de Disco proposto por Poincaré, para isso sugerismo a leitura da publicação Disco de Poincaré: ponto, reta e plano. Desta forma, o plano hiperbólico $\mathbb{H}$ será a região delimitada por uma circunferência $\alpha$, com centro num ponto $O$ e raio não-nulo. Também sugerimos a leitura da publicação Métrica no Disco de Poincaré para melhor conhecimento sobre a forma de medir a distância entre dois h-pontos no Disco de Poincaré.

Para boa compreensão das demonstrações, é necessário que o leitor tenha conhecimento sobre inversão na circunferência, caso não tenha, sugerimos a leitura das publicações (nesta ordem) Inversão na circunferência, Inversão de ponto interno à circunferência $\alpha$, Inversão de ponto externo a circunferência$\alpha$, Inversão de um ponto qualquer do plano euclidiano em relação a uma circunferência, Circunferências ortogonais, Inversão de reta em relação à circunferência, Inversão de circunferência em relação a outra circunferência, Inversão de ângulos formados por retas e circunferências e Centro do inverso de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão.

Para saber como construir h-retas, leia a publicação Construção de h-reta e H-retas perpendiculares.

jjjjjjjjjjjjjjjjjjj

Vamos definir isometria no plano $\mathbb{H}$, a definição a seguir encontrei no livro Isometria de Elon Lages Lima que foi adaptada para o plano hiperbólico.

Definição 1 - Seja uma aplicação $T:\mathbb{H}\rightarrow\mathbb{H}$, diremos que $T$ é uma isometria se:

1. $T$ é uma função biunívoca;
2. Para todo $A,B\in\mathbb{H}$ temos que $d_h(A,B)=d_h(T(A),T(B))$;
3. $T$ é uma aplicação conforme.

Vamos definir reflexão em torno de uma h-reta, considerando que no Disco de Poincaré foram definidas dois tipos de h-retas (clique aqui para ver os tipos de h-retas).

Definição 2 - Chamaremos de reflexão em torno de uma h-reta $r$ a função $\mathfrak{R}:\mathbb{H}\rightarrow\mathbb{H}$ definida como: para todo $A\in\mathbb{H}$, o reflexo de $A$ em relação a h-reta $r$ será o ponto $A'$, denotaremos por $\mathfrak{R}_r(A)=A'$, considerando a regra:

1. se $O\notin r$, então, no plano $\mathbb{E}_\infty$, $A$ é o inverso de $A'$ em relação à circunferência que gera $r$, ver Figura 1;
2. se $O\in r$, então, no plano $\mathbb{E}_\infty$, $A$ é reflexo de $A'$ em relação à reta que gera $r$, ver Figura 2.

Figura 1: Reflexão do $A$ em relação à
h-reta $r$ que não passa por $O$

Figura 2: Reflexão do $A$ em relação à
h-reta $r$ que passa por $O$

Diremos que $A$ e $A'$ são simétricos em relação à $r$ e $r$ será chamada de h-eixo de simetria.

Lema 1 - A reflexão em torno de uma h-reta transforma h-reta em h-reta.

DEMONSTRAÇÃO
Sejam $r$ e $s$ h-retas, sendo a primeira um h-eixo de simetria.

Se $O\in r$, então, a reflexão em torno da h-reta $r$ é igual à reflexão em torno da reta que gera $r$, denominada $\theta_r$. No plano $\mathbb{E}_\infty$, a reflexão em torno de uma reta é uma isometria, quer dizer que satisfaz condições da Definição 1 (função biunívoca e conserva distância e ângulo), considerando que a métrica do plano euclidiano, além disso, a reflexão em torno de uma reta transforma retas em retas e circunferências em circunferência. Como $\theta_r$ passa no ponto $O$, então, divide $\alpha$ em dois semicírculos, um simétrico ao outro em relação à $\theta_r$.

Figura 3: Reta $\theta_r$ divide $\alpha$ em dois semicírculos, $\alpha_1$ e $\alpha_2$, que são simétricos em relação a $\theta_r$

Se $O\in s$, então, $s$ é gerada por uma reta, denominaremos de $\theta_s$. Assim, o simétrico de $\theta_s$, em $\mathbb{E}_\infty$ é uma reta, $\theta_{s'}$, que também passa por $O$, então, o simétrico de $s$, $s'$, será um diâmetro de $\alpha$. Portanto, $s'$ é uma h-reta.

Figura 4: Reflexão da h-reta $s$ em torno da h-reta $r$ onde $O\in r,s$

Se $O\notin s$, então $s$ é gerada por uma circunferência, denominada $\beta_s$, ortogonal a $\alpha$. O simétrico de $\beta_s$ é outra circunferência, $\beta_{s'}$, também ortogonal a $\alpha$, neste caso, no plano $\mathbb{E}_\infty$, o simétrico do arco $s$, $s'$, é um arco de circunferência ortogonal a $\alpha$. Portanto, no plano $\mathbb{H}$, $s'$ é uma h-reta, ver Figura 5.

Figura 5: Reflexão da h-reta $s$ em torno da h-reta $r$ onde $O\in r$ e $O\notin s$ 

Vamos considerar que $O\notin r$, então, $r$ é uma h-reta gerada por um circunferência, que denominaremos de $\beta_r$, ortogonal a $\alpha$, ver Figura 6. Assim, $\beta_r$ divide o círculo $\alpha$ em duas regiões, uma inversa a outra em relação à $\beta_r$.

Figura 6: Circunferência $\beta_r$ divide $\alpha$ em duas regiões, $\alpha_a$ e $\alpha_b$, uma inversa a outra em relação a $\beta_r$

Sendo $s$ uma h-reta que passa por $O$, gerada pela reta $\theta_s$, e seja $O_r$ o centro da circunferência $\beta_r$, ver Figura 7. Se $\theta_s$ passa por $O_r$, então, o inverso de $\theta_s$ em relação a $\beta_r$ é a própria reta $\theta_s$ (ver Inversão de reta em relação à circunferência), veremos que o simétrico da h-reta $s$ em relação ao h-eixo simétrico $r$ é a própria h-reta $s$, ou seja, $\mathfrak{R}_r(s)=s$.

Figura 7: Reflexão de $s$ em torno de $r$ é a própria h-reta $s$

Se $O_r\notin\theta_s$, ver Figura 8, então, o inverso da reta $\theta_s$ em relação à circunferência $\beta_r$ será uma circunferência (ver Inversão de circunferência em relação a outra circunferência), denominada $\theta_{s'}$, que passa por $O_r$ e é ortogonal à circunferência $\alpha$ (ver Lema 2 - Circunferências ortogonais e Inversão de ângulos formados por retas e circunferências). Assim, o simétrico da h-reta $s$ em relação ao h-eixo de simétria $r$ é uma h-reta $s'$

Figura 8: $\mathfrak{R}_r(s)=s'$

Como a inversão é uma aplicação biunívoca, então a reflexão da h-reta $s'$, gerada pela circunferência $\theta_{s'}$ que passa por $O_r$, em torno da h-reta $r$ é a h-reta $s$ que passa por $O$.

Seja $\beta_s$ uma circunferência que não passa por $O_r$ e gera a h-reta $s$. O inverso da $\beta_s$ em relação a $\beta_r$ é outra circunferência, $\beta_{s'}$, que não passa por $O_r$ e é ortogonal a $\alpha$, ver Figura 9. Assim, a reflexão da h-reta $s$ em torno da h-reta $r$ será outra h-reta, $s'$, que não passa por $O$.

Figura 9: Reflexão da h-reta $s$ que não passa por $O$ gera pela circunferência $\beta_s$ que não passa por $O_r$

$\square$

Desta forma, mostramos que a reflexão em torno de uma h-reta transforma h-reta em h-reta. A seguir, veremos as proposições 1 e 2 que garantem que a reflexão em torno de uma h-reta satisfazem a Definição 1(a) e Definição 1(b), respectivamente.

Proposição 1 - A reflexão em torno de uma h-reta é uma função biunívoca.

DEMONSTRAÇÃO

Considerando o plano $\mathbb{E}_\infty$, tanto a inversão em relação à circunferência quanto a reflexão em torno de uma reta são aplicações biunívocas, por esta razão, a reflexão em torno de uma h-reta também é uma aplicação biunívoca.

$\square$

Proposição 2 - Sejam $A,A',B,B'\in\mathbb{H}$ e $r$ uma h-reta tais que $A'=\mathfrak{R}_r(A)$ e $B'=\mathfrak{R}_r(B)$. Então, $d_h(A,B)=d_h(A',B')$.

DEMONSTRAÇÃO

Inicialmente, se considerarmos que $A,B\in r$, para quaisquer das situações da Definição 2, teremos $A'=A$ e $B'=B$, desta forma,  $d_h(A,B)=d_h(A',B')$.  Assim, vamos considerar que ou $A\notin r$ ou $B\notin r$.

Sendo $O\in r$, ver a Figura 10, $Z_1$ e $Z_2$ são pontos ideais da h-reta determinada por $A$ e $B$, $\overline{AB}_h$, e $Z_3$ e $Z_4$ são pontos ideais da h-reta determinada por $A'$ e $B'$, $\overline{AB}_h$. Assim, teremos

$$\begin{equation}\label{equ1}


\left\{\begin{matrix}


d_h(A,B)=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|\\ \\


d_h(A',B')=\left|\ln\dfrac{\overline{A'Z_4}\cdot\overline{B'Z_3}}{\overline{A'Z_3}\cdot\overline{B'Z_4}}\right|


\end{matrix}\right.


\end{equation}$$

Como $A'$ e $B'$ são simétricos, respectivamente, a $A$ e a $B$, então a h-reta $\overline{A'B'}_h$ é simétrica à $\overline{AB}_h$, então, os pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$ são simétricos, respectivamente, aos pontos ideais $Z_4$ e $Z_3$, assim, no plano $\mathbb{E}_\infty$, $\overline{AZ_1}\cong\overline{A'Z_4},\overline{AZ_2}\cong\overline{A'Z_3},\overline{BZ_1}\cong\overline{B'Z_4},\overline{BZ_2}\cong\overline{B'Z_3}$, assim:

$$\begin{equation}\label{equ2}


\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}=\dfrac{\overline{A'Z_4}\cdot\overline{B'Z_3}}{\overline{A'Z_3}\cdot\overline{B'Z_4}}\Rightarrow \ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}=\ln\dfrac{\overline{A'Z_4}\cdot\overline{B'Z_3}}{\overline{A'Z_3}\cdot\overline{B'Z_4}}\Rightarrow d_h(A,B)=d_h(A',B')


\end{equation}$$

Essa demonstração também vale para quando $O\in\overline{AB}_h$.

Figura 10: $A'=\mathfrak{R}_r(A)$ e $B'=\mathfrak{R}_r(B)$ e $d_h(A,B)=d_h(A',B')$

Se $O\notin r$, ver Figura 11, a circunferência $\beta_r$ gera a h-reta $r$; $Z_1$ e $Z_2$ são pontos ideais da h-reta $\overline{AB}_h$, determinada pelos h-pontos $A$ e $B$. Os h-pontos $A'$ e $B'$ que são simétricos, respectivamente, a $A$ e a $B$, determinam a h-reta $\overline{A'B'}_h$ que tem pontos ideais $Z'_1$ e $Z'_2$. Assim, como, no plano $\mathbb{H}$, dois h-pontos determinam uma única h-reta e sendo $A'=\mathfrak{R}_r(A)$ e $B'=\mathfrak{R}_r(B)$, temos que $\overline{A'B'}_h$  e $\overline{AB}_h$ são simétricos em relação a h-reta $r$, então, $Z'_1$ e $Z'_2$ são simétricos, respectivamente, a $Z_1$ e $Z_2$ em relação a $r$. 

Figura 11: O h-eixo de simetria não passa pelo h-ponto $O$

Considerando o plano $\mathbb{E}_\infty$ e tomando $\beta_r$ como circunferência de inversão, os pontos $A$ e $Z_2$ são inversos, respectivamente, aos pontos $A'$ e $Z'_2$, assim, da Definição 1 - Inversão na circunferência (definição de ponto inverso), temos

$$\begin{equation}\label{equ3}


\overline{O_rA}\cdot\overline{O_rA'}=\overline{O_rZ_2}\cdot\overline{O_rZ'_2}\Rightarrow\dfrac{\overline{O_rA}}{\overline{O_rZ_2}}=\dfrac{\overline{O_rZ'_2}}{\overline{O_rA'}}


\end{equation}$$

Então, o triângulo $\triangle_{AO_rZ_2}$ é semelhante ao triângulo $\triangle_{Z'_2O_rA'}$. De forma análoga, podemos demonstrar que o triângulo $\triangle_{AO_rZ_1}$ é semelhante ao triângulo $\triangle_{Z'_1O_rA'}$, ver Figura 12.

Figura 12: $\left(\triangle_{AO_rZ_2},\triangle_{Z'_2O_rA'}\right)$ e  $\left(\triangle_{AO_rZ_1},\triangle_{Z'_1O_rA'}\right)$ são pares de triângulos semelhantes

Da relação entre os triângulos $\triangle_{AO_rZ_2}$ e $\triangle_{Z'_2O_rA'}$, temos

$$\begin{equation}\label{eq2}\dfrac{\overline{AZ_2}}{\overline{A'Z'_2}}=\dfrac{\overline{O_rA}}{\overline{O_rZ'_2}}\Rightarrow\overline{O_rA}=\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{O_rZ'_2}}{\overline{A'Z'_2}}\end{equation}$$

Da relação entre os triângulos $\triangle_{AO_rZ_1}$ e $\triangle_{Z'_1O_rA'}$, temos

$$\begin{equation}\label{eq1}\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{A'Z'_1}}=\dfrac{\overline{O_rA}}{\overline{O_rZ'_1}}\Rightarrow\overline{O_rA}=\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{O_rZ'_1}}{\overline{A'Z'_1}}\end{equation}$$

Da relação entre $\eqref{eq2}$ e $\eqref{eq1}$ temos

$$\begin{equation}\label{eq3}\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{O_rZ'_2}}{\overline{A'Z'_2}}=\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{O_rZ'_1}}{\overline{A'Z'_1}}\Rightarrow\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{A'Z'_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{A'Z'_2}}=\dfrac{\overline{O_rZ'_1}}{\overline{O_rZ'_2}}\end{equation}$$

Analogamente, podemos mostrar que o triângulo $\triangle_{BO_rZ_2}$ é semelhante ao triângulo $\triangle_{Z'_2O_rB'}$ e o triângulo $\triangle_{AO_rZ_1}$ é semelhante ao triângulo $\triangle_{Z'_1O_rA'}$, ver Figura 13.

Figura 13: $\left(\triangle_{BO_rZ_2},\triangle_{Z'_2O_rB'}\right)$ e  $\left(\triangle_{BO_rZ_1},\triangle_{Z'_1O_rB'}\right)$ são pares de triângulos semelhantes

Assim, podemos encontrar

$$\begin{equation}\label{eq4}\dfrac{\overline{BZ_2}\cdot\overline{B'Z'_1}}{\overline{BZ_1}\cdot\overline{B'Z'_2}}=\dfrac{\overline{O_rZ'_1}}{\overline{O_rZ'_2}}\end{equation}$$

De $\eqref{eq3} e $\eqref{eq4}$ teremos

$$\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{A'Z'_1}}{\overline{AZ_1}\cdot\overline{A'Z'_2}}=\dfrac{\overline{BZ_2}\cdot\overline{B'Z'_1}}{\overline{BZ_1}\cdot\overline{B'Z'_2}}\Rightarrow\dfrac{\overline{A'Z'_1}\cdot\overline{B'Z'_2}}{\overline{A'Z'_2}\cdot\overline{B'Z'_1}}=\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\Rightarrow\left|\ln\dfrac{\overline{A'Z'_1}\cdot\overline{B'Z'_2}}{\overline{A'Z'_2}\cdot\overline{B'Z'_1}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_1}}\right|\Rightarrow d_h(A',B')=d_h(A,B)$$

Suponha que a h-reta $\overline{AB}_h$, com pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$, passa pelo h-ponto $O$ e, no plano $\mathbb{E}_\infty$, a reta $\overline{AB}$ passa pelo ponto $O_r$, ver Figura 14. Como $\alpha$ e $\beta_r$ são circunferências ortogonais, então $Z_1$ e $Z_2$ são inversos em relação à $\beta_r$, isso implica que no plano $\mathbb{H}$, os pontos ideais $Z_1$ e $Z_2$ são simétricos em relação a $r$. Assim, no $\mathbb{E}_\infty$, temos

$$\begin{equation}\label{eq.col1}\overline{O_rA}\cdot\overline{O_rA'}=\overline{O_rZ_1}\cdot\overline{O_rZ_2}\end{equation}$$

A partir da igualdade $\eqref{eq.col1}$ podemos ter as seguintes proporções, $\dfrac{\overline{O_rZ_1}}{\overline{O_rA}}=\dfrac{\overline{O_rA'}}{\overline{O_rZ_2}}$ ou $\dfrac{\overline{O_rZ_2}}{\overline{O_rA}}=\dfrac{\overline{O_rA'}}{\overline{O_rZ_1}}$. Aplicando a propriedade da proporção $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}$, temos:

$$\begin{equation}\label{eq.col2}\left\{\begin{matrix}


\dfrac{\overline{O_rZ_1}}{\overline{O_rA}}=\dfrac{\overline{O_rA'}}{\overline{O_rZ_2}}\Rightarrow\dfrac{\overline{O_rZ_1}-\overline{O_rA}}{\overline{O_rA}}=\dfrac{\overline{O_rA'}-\overline{O_rZ_2}}{\overline{O_rZ_2}}\Rightarrow\dfrac{\overline{AZ_1}}{\overline{O_rA}}=\dfrac{\overline{A'Z_2}}{\overline{O_rZ_2}}\Rightarrow\overline{O_rA}=\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{O_rZ_2}}{\overline{A'Z_2}}\\


\\


\dfrac{\overline{O_rZ_2}}{\overline{O_rA}}=\dfrac{\overline{O_rA'}}{\overline{O_rZ_1}}\Rightarrow\dfrac{\overline{O_rA}-\overline{O_rZ_2}}{\overline{O_rA}}=\dfrac{\overline{O_rZ_1}-\overline{O_rA'}}{\overline{O_rZ_1}}\Rightarrow\dfrac{\overline{AZ_2}}{\overline{O_rA}}=\dfrac{\overline{A'Z_1}}{\overline{O_rZ_1}}\Rightarrow\overline{O_rA}=\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{O_rZ_1}}{\overline{A'Z_1}}


\end{matrix}\right.\end{equation}$$

De $\eqref{eq.col2}$ temos

$$\begin{equation}\label{eq.col3}


\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{O_rZ_2}}{\overline{A'Z_2}}=\dfrac{\overline{AZ_2}\cdot\overline{O_rZ_1}}{\overline{A'Z_1}}\Rightarrow\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{A'Z_1}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{A'Z_2}}=\dfrac{\overline{O_rZ_1}}{\overline{O_rZ_2}}


\end{equation}$$

Figura 14: Reta $\overline{AB}$ passa no ponto $O_r$

De forma análoga ao que foi feito em $\eqref{eq.col1},\eqref{eq.col2}$ e $\eqref{eq.col3}$, podemos chegar a

$$\begin{equation}\label{eq.col4}


\dfrac{\overline{BZ_1}\cdot\overline{B'Z_1}}{\overline{BZ_2}\cdot\overline{B'Z_2}}=\dfrac{\overline{O_rZ_1}}{\overline{O_rZ_2}}


\end{equation}$$

De $\eqref{eq.col3}$ e $\eqref{eq.col4}$ temos

$$\begin{equation}\label{eq.col5} \dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{A'Z_1}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{A'Z_2}}=\dfrac{\overline{BZ_1}\cdot\overline{B'Z_1}}{\overline{BZ_2}\cdot\overline{B'Z_2}}\Rightarrow\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_2}}=\dfrac{\overline{A'Z_1}\cdot\overline{B'Z_1}}{\overline{A'Z_2}\cdot\overline{B'Z_2}}\end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{eq.col6}\left|\ln\dfrac{\overline{AZ_1}\cdot\overline{BZ_2}}{\overline{AZ_2}\cdot\overline{BZ_2}}\right|=\left|\ln\dfrac{\overline{A'Z_1}\cdot\overline{B'Z_1}}{\overline{A'Z_2}\cdot\overline{B'Z_2}}\right|\Rightarrow d_h(A,B)=d_h(A',B') \end{equation}$$

$\square$

Teorema 1 - A reflexão em torno de uma h-reta é uma isometria.

DEMONSTRAÇÃO
As Proposições 1 e 2 garantem que a reflexão em torno de uma h-reta satisfazem  a Definição 1(a) e Definição 1(b). No plano $\mathbb{E}_\infty$, a reflexão em torno de uma reta é uma isometria, ou seja, é uma aplicação conforme (conserva ângulos), assim, no plano $\mathbb{H}$, se o h-eixo de simetria passa no ponto $O$, a reflexão em torno da h-reta conservará ângulos. Se o h-eixo de simetria não passa por $O$ a reflexão em torno da h-reta conservará ângulos, desta forma, a reflexão em torno de uma h-reta satisfaz a Definição 1(c).
$\square$
A seguir, a Construção 1 foi feita no Geogebra. Temos que $r$ é o h-eixo de simetria e determinada pelos h-pontos $P$ e $Q$; $s$ é uma h-reta determinada pelos h-pontos $A$ e $B$; $t$ é uma h-reta determinada pelos h-pontos $B$ e $C$, $Z_1$ e $Z_2$ são pontos ideais de $s$, $A',B',C',Z'_1$ e $Z'_2$ são os simétricos de $A,B,C,Z_1$ e $Z_2$, respectivamente.
Mova os h-pontos da cor amarela e observe a reflexão em torno da h-reta $r$. 

Construção 1: Reflexão em torno da h-reta $r$

ATUALIZADO EM 13/10/2017

Vamos considerar a definição a seguir para h-circunferências

Definição 3 - Dado um h-ponto $C$ e uma h-distância $\rho$, definiremos a circunferência hiperbólica $\lambda$, ou h-circunferência, com h-centro em $C$ e h-raio $\rho$ o conjunto dos h-pontos que estão a uma h-distância $\rho$ do h-ponto $C$.

Assim, podemos verificar que a reflexão em torno de uma h-reta transforma h-circunferências em h-circunferências com o mesmo h-raio.

Proposição 3 - Seja $\lambda$ uma h-circunferência com h-centro $C$ e h-raio $\rho$ e seja $\lambda'$ o simétrico de $\lambda$ em torno de uma h-reta $r$, então $\lambda'$ será uma h-circunferências com h-raio $\rho$.

DEMONSTRAÇÃO

Sendo $C'$ o simétrico de $C$ em torno de $r$, pelo Teorema 1, temos que $C'$ é um h-ponto que está a uma distância $\rho$ de qualquer h-ponto de $\lambda'$, assim, pela Definição 3, $\lambda'$ é uma h-circunferências com h-centro em $C'$ e h-raio $\rho$.

$\square$

Numa próxima postagem, veremos como é uma h-circunferência no modelo de Disco de Ponicaré.

Arco triplo

Recordação

Encontramos em livros didáticos cálculos relacionados ao seno, cosseno e tangente com ângulos notáveis (30°, 45° e 60°), podendo encontrar o seno, cosseno e a tangente dos ângulos que são múltiplos de 15°, utilizando a fórmula das relações trigonométricas da soma e subtração de ângulos. Vamos recordar!

Considere dois ângulos, $\alpha, \beta\in [0°, 360°[$, assim
$$\begin{equation}\label{eqtan}
\mathrm{tg}(\alpha)=\dfrac{\mathrm{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)}
\end{equation}$$

$$\begin{equation}\label{eqrf}
\mathrm{sen}^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1
\end{equation}$$

$$\begin{equation}\label{eqsenosoma}\mathrm{sen}(\alpha +\beta)=\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\cos(\beta) +\cos(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta)\end{equation}$$

A partir da Fórmula $\ref{eqsenosoma}$ é possível demonstra que
$$\begin{equation}\label{eqsct}\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(\alpha-\beta) & = & \mathrm{sen}(\alpha)\cdot\cos(\beta)-\cos(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta) \\
\cos(\alpha\pm\beta) & = & \cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)\mp\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta) \\
\mathrm{tg}(\alpha\pm\beta) & = & \dfrac{\mathrm{tg}(\alpha)\pm\mathrm{tg}(\beta)}{1\mp\mathrm{tg}(\alpha)\cdot\mathrm{tg}(\beta)}
\end{array}\right.\end{equation}$$

Assim, para calcular $\cos 15°$, vamos tomar $15°=45°-30°$, e utilizando a fórmula $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\mathrm{sen}(\beta)$, onde $\alpha=45°$ e $\beta=30°$, temos:

$$\cos 15°=\cos(45°-30°)=\cos(45°)\cdot\cos(30°)+\mathrm{sen}(45°)\cdot\mathrm{sen}(30°)$$

Como $\cos(45°)=\mathrm{sen}(45°)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos(30°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $\mathrm{sen}(30°)=\dfrac{1}{2}$, temos

$$\cos 15°=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$$

Também podemos encontrar $\mathrm{sen}(15°)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ e $\mathrm{tg}(15°)=\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}$ usando as Fórmulas $\eqref{eqsct}$.

Podemos calcular o seno, cosseno e a tangente de $75°$ se tomarmos $75°=45°+30°$.

$$\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(75^\circ)& = & \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \\
\cos(75^\circ)&= & \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\mathrm{tg}(75^\circ)&= & 2+\sqrt{3}
\end{array}\right.$$

Através das Fórmulas $\eqref{eqsenosoma}$ e $\eqref{eqsct}$ é possível demonstrar as fórmulas do ângulo (arco) duplo se considerarmos $2\alpha=\alpha+\alpha$.

$$\begin{equation}\label{eqad}
\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(2\alpha) & = &2\cdot\mathrm{sen}(\alpha)\cdot\cos(\alpha) \\
\cos(2\alpha)& = & \cos^2(\alpha)-\mathrm{sen}^2(\alpha) \\
\mathrm{tg}(2\alpha) & = & \dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\alpha)} {1-\mathrm{tg}^2(\alpha)}
\end{array}\right.
\end{equation}$$

Com as Fórmulas $\eqref{eqad}$ e $\eqref{eqrf}$, é possível demonstrar as fórmulas do ângulo (arco) metade, se considerarmos $2\alpha=\beta\Rightarrow\alpha=\dfrac{\beta}{2}$

$$\begin{equation}\label{eqam}
\left\{\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}\left( \dfrac{\beta}{2} \right ) & = & \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\beta)}{2}} \\
\cos\left( \dfrac{\beta}{2} \right )  & = &\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos(\beta)}{2}} \\
\mathrm{tg}\left( \dfrac{\beta}{2} \right )  & = & \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\beta)}{1+\cos(\beta)}}
\end{array}\right.
\end{equation}$$

Não demonstraremos as fórmulas acima, pois as demonstrações podem ser encontradas na internet e em livros didáticos de Matemática do Ensino Médio, a nossa recordação ficará limitada, apenas, em apresentar as fórmulas, pois serão necessárias para demonstrar a seguir.

Arco triplo

Vamos calcular $\mathrm{sen}(3\beta)$, para $\beta\in [0°,360°[$.

$$\mathrm{sen}(3\beta)=\mathrm{sen}(2\beta+\beta)=\mathrm{sen}(2\beta)\cdot\cos(\beta)+\cos(2\beta)\cdot\mathrm{sen}(\beta)=2\cdot\mathrm{sen}(\beta)\cdot\cos(\beta)\cdot\cos(\beta)+[\cos^2(\beta)-\mathrm{sen}^2(\beta)]\cdot\mathrm{sen}(\beta)\Rightarrow\mathrm{sen}(3\beta)=3\cdot\mathrm{sen}(\beta)\cos^2(\beta)-\mathrm{sen}^3(\beta)$$

Utilizando a relação fundamental da trigonometria (Fórmula $\eqref{eqrf}$), podemos fazer $\cos^2(\beta)=1-\mathrm{sen}^2(\beta)$

$$\mathrm{sen}(3\beta)=3\cdot\mathrm{sen}(\beta)[1-\mathrm{sen}^2(\beta)]-\mathrm{sen}^3(\beta)$$

$$\mathrm{sen}(3\beta)=3\mathrm{sen}(\beta)-4\mathrm{sen}^3(\beta)$$

Vamos determinar $\cos(3\beta)$

$\cos(3\beta)=\cos(2\beta+\beta)=\cos(2\beta)\cdot\cos(\beta)-\mathrm{sen}(2\beta)\cdot\mathrm{sen}(\beta)=[\cos^2(\beta)-\mathrm{sen}^2(\beta)])\cdot\cos(\beta)-2\cdot\mathrm{sen}(\beta)\cdot\cos(\beta)\cdot\mathrm{sen}(\beta)=\cos^3(\beta)-3\cos(\beta)\mathrm{sen}^2(\beta)=\cos^3(\beta)-3\cos(\beta)\cdot[1-\cos^2(\beta)]$

$$\cos(3\beta)=4\cos^3(\beta)-3\cos(\beta)$$

Vejamos para $\mathrm{tg}(3\beta)$, utilizando a Fórmula $\eqref{eqtan}$

$$\mathrm{tg}(3\beta)=\mathrm{tg}(2\beta+\beta)=\dfrac{\mathrm{tg}(2\beta)+\mathrm{tg}(\beta)}{1-\mathrm{tg}(2\beta)\cdot\mathrm{tg}(\beta)}=
\dfrac{\dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}+\mathrm{tg}(\beta)}{1-\dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}\cdot\mathrm{tg}(\beta)}=
\dfrac{\dfrac{2\cdot\mathrm{tg}(\beta)+\mathrm{tg}(\beta)-\mathrm{tg}^3(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}}{\dfrac{1-\mathrm{tg}^2(\beta)-2\cdot\mathrm{tg}^2(\beta)}{1-\mathrm{tg}^2(\beta)}}\Rightarrow\mathrm{tg}(3\beta)=\dfrac{3\mathrm{tg}(\beta)-\mathrm{tg}^3(\beta)}{1-3\mathrm{tg}^2(\beta)}$$

Desse modo, temos as seguintes fórmulas para ângulo (arco) triplo
$$\begin{equation}\label{eqat}\left\{
\begin{array}{rcl}
\mathrm{sen}(3\beta)&=&3\mathrm{sen}(\beta)-4\mathrm{sen}^3(\beta) \\
\cos(3\beta)&=&4\cos^3(\beta)-3\cos(\beta) \\
\mathrm{tg}(3\beta)&=&\dfrac{3\mathrm{tg}(\beta)-\mathrm{tg}^3(\beta)}{1-3\mathrm{tg}^2(\beta)}
\end{array}\right.\end{equation}$$

Considerações

As fórmulas para arcos triplos, para quem gosta de Matemática, são bem divertidas de serem determinadas, mas apresentam poucas utilidades, pois podem ser substituídas pelas fórmulas já encontradas em livros didáticos do Ensino Médio. Mas vale apena pedir para os alunos as encontrar!

Centro do inverso de uma circunferência que não passa pelo centro de inversão

Sei que o título desta postagem é tão complicado de se compreender quanto o 5º postulado de Euclides:

Se duas linhas intersectam uma terceira linha de tal forma que a soma dos ângulos internos em um lado é menor que dois ângulos retos, então as duas linhas devem se intersectar neste lado se forem estendidas indefinidamente. (Wikipedia)

O objetivo é determinar o centro de uma circunferência $\beta'$ que é o inverso de outra circunferência, chamada de $\beta$, em relação a uma circunferência $\alpha$. Veremos, a seguir, que apesar de um enunciado tão complicado de entender, o teorema é bem compreensível.

Teorema 1 - Considere as circunferências $\alpha$ com centro em $A$ e $\beta$ com centro em $B$, onde $\beta$ não passa por $A$. Sendo $\beta '$ o inverso de $\beta$ em relação a $\alpha$ e $A'$ o inverso de $A$ em relação a $\beta$, então, $A''$, inverso de $A'$ em relação a $\alpha$, é o centro da circunferência $\beta'$, ver Figura 1.

Figura 1: $A''$ é o centro da circunferência $\beta'$ inversa de $\beta$ em relação a $\alpha$

DEMONSTRAÇÃO

Veja a Figura 2, a reta $r$ passa pelos pontos $A$ e $B$, como $A'$ é o inverso de $A$ em relação a $\beta$, então $A'\in r$ (ver Definição 1 - Inversão na circunferência) e como $B$ é o centro de $\beta$, então $r$ é ortogonal a $\beta$ (ver Lema 2 - Circunferências ortogonais). A circunferência $\varepsilon$ passa pelos pontos $A$ e $A'$, como $A$ e $A'$ são inversos em relação a $\beta$, então $\varepsilon$ é ortogonal a $\beta$ (ver Teorema 1 - Circunferências ortogonais). A reta $\varepsilon '$ é inversa a $\varepsilon$ em relação a $\alpha$ (ver Teorema 1 - Inversão de circunferência em relação a outra circunferência), como $\varepsilon$ e $\beta$ são ortogonais, então $\varepsilon '$ e $\beta'$ também são ortogonais (ver Inversão de ângulos formados por retas e circunferências), então, conforme o Lema 2 - Circunferências ortogonais, $\varepsilon '$ passa pelo centro de $\beta '$. Como $r$ passa pelo centro $A$ de $\alpha$, então, o inverso de $r$, em relação a $\alpha$, é a própria reta $r$, dessa forma, $r$ também é ortogonal a $\beta'$, assim, sendo $O$ o centro de $\beta'$, então, $O\in\varepsilon'\cap r$. Como $A,A'\in\varepsilon\cap r$ e o inverso de $A$ é o ponto ideal $\Omega$ e $A'$ é $A''$, em relação a $\alpha$, então, $\{\Omega,A''\}=\varepsilon '\cap r$. Portanto, temos que $O=A''$, ou seja, $A''$ é o centro da circunferência $\beta '$.

$\square$

Figura 2: Demonstração do Teorema 1

Este teorema é válido para $\alpha\cap\beta\neq\phi$ desde que $\beta$ não passe pelo centro de $\alpha$, pois, se $\beta$ passasse por $A$, então $\beta'$ seria uma reta.

Considerações

Este teorema tem importante aplicação na Geometria Hiperbólica, especificamente, no Modelo de Disco de Poincaré. Com ele, poderemos determinar circunferências no plano hiperbólico.

Referência Bibliográfica

MUNARETTO, Ana Cristina Corrêa. Resolução do problema de Apolônio por meio de inversão: Um roteiro de estudo para a formação de Professores em Geometria. 2010. 61 f. Monografia (Especialização) - Curso de Pós-graduação em Expressão Gráfica, Departamento de Expressão Gráfica, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2010.